Matematyka PP — Maj 2024 (Formuła 2015)

Krok 1. Zapisujemy zmiany procentowe jako mnożniki. Podwyżka o $20\%$ to przemnożenie przez $1,2$, a późniejsza obniżka o $10\%$ to przemnożenie przez $0,9$.

Krok 2. Cena końcowa. Po obu zmianach cena wynosi $x\cdot 1,2\cdot 0,9=1,08x$, a wiemy, że jest to $81$ zł: $1,08x=81.$

Krok 3. Rozwiązujemy. $x=\frac{81}{1,08}=75.$

Odpowiedź: C. $75$ zł.

Krok 1. Sprowadzamy obie liczby do potęg liczby $2$. Mamy $16=2^4$ oraz $8=2^3$, więc: ${\left(\frac{1}{16}\right)}^8=16^{-8}=(2^4{)}^{-8}=2^{-32},8^{16}=(2^3{)}^{16}=2^{48}.$

Krok 2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie (dodajemy wykładniki): $2^{-32}\cdot 2^{48}=2^{-32+48}=2^{16}.$

Odpowiedź: B. $2^{16}$.

Krok 1. Zapisujemy definicję logarytmu. Szukamy takiej liczby $y$, że $(\sqrt{3}{)}^y=9$.

Krok 2. Sprowadzamy obie strony do tej samej podstawy $3$. Mamy $\sqrt{3}=3^{1/2}$ oraz $9=3^2$, więc równanie $(\sqrt{3}{)}^y=9$ zapisujemy jako: $3^{y/2}=3^2.$

Krok 3. Porównujemy wykładniki. $\frac{y}{2}=2\Rightarrow y=4.$

Odpowiedź: C. $4$.

Krok 1. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów. Wyrażenie ma postać $P^2-Q^2=(P-Q)(P+Q)$, gdzie $P=2a+b$ oraz $Q=2a-b$.

Krok 2. Obliczamy różnicę i sumę. $P-Q=(2a+b)-(2a-b)=2b,P+Q=(2a+b)+(2a-b)=4a.$

Krok 3. Mnożymy. $(2a+b{)}^2-(2a-b{)}^2=2b\cdot 4a=8ab.$

Odpowiedź: B. $8ab$.

Krok 1. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę. Dodajemy $x$ do obu stron i odejmujemy $1$: $-\frac{3}{2}x+x<\frac{2}{3}-1.$

Krok 2. Redukujemy wyrazy podobne. $-\frac{1}{2}x<-\frac{1}{3}.$

Krok 3. Dzielimy przez liczbę ujemną $-\frac{1}{2}$ — zmieniamy znak nierówności. $x>\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot (-2)=\frac{2}{3}.$

Odpowiedź: D. $\left(\frac{2}{3},+\infty \right)$.

Krok 1. Korzystamy z własności iloczynu równego zero. Iloczyn jest zerem, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem, więc rozwiązujemy po kolei: $x=0$, $x+2=0$ oraz $x^2+9=0$.

Krok 2. Analizujemy każdy czynnik.

• $x=0$ daje rozwiązanie $x=0$.
• $x+2=0$ daje rozwiązanie $x=-2$.
• $x^2+9=0$ oznacza $x^2=-9$ — brak rozwiązań rzeczywistych, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny.

Krok 3. Wybieramy największe z rozwiązań rzeczywistych. Rozwiązaniami są $x=0$ oraz $x=-2$; największa z nich to $0$.

Odpowiedź: B. $0$.

Krok 1. Ustalamy dziedzinę. Mianownik nie może być zerem, więc $x\ne -2$ oraz $x\ne 3$.

Krok 2. Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest zerem (a mianownik różny od zera): $x+1=0\Rightarrow x=-1.$

Krok 3. Sprawdzamy dziedzinę. Liczba $-1$ różni się od $-2$ i od $3$, więc jest dopuszczalna.

Równanie ma więc dokładnie jedno rozwiązanie: $x=-1$.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Warunek na liczbę drzew. Razem posadzono $1960$ drzew, więc $x+y=1960$.

Krok 2. Drzewa, które pozostały. W pierwszym sadzie uschło $5\%$ drzew, więc pozostało $0,95x$. W drugim sadzie uschło $10\%$, więc pozostało $0,9y$.

Krok 3. Warunek procentowy. Liczba drzew pozostałych w drugim sadzie to $60\%$ liczby drzew pozostałych w pierwszym sadzie: $0,9y=0,6\cdot 0,95x.$

Układ równań to więc $x+y=1960$ oraz $0,6\cdot 0,95x=0,9y$.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Zapisujemy warunek na średnią trzech liczb. $\frac{a+b+c}{3}=9\Rightarrow a+b+c=27.$

Krok 2. Średnia sześciu liczb. W zestawie $a,a,b,b,c,c$ każda liczba występuje dwa razy, a więc suma wynosi $2(a+b+c)$ i dzielimy przez $6$ liczb: $\frac{2(a+b+c)}{6}=\frac{2\cdot 27}{6}=\frac{54}{6}=9.$

Podwojenie każdej wartości wraz z podwojeniem liczby danych nie zmienia średniej.

Odpowiedź: A. $9$.

Krok 1. Co oznacza „proste równoległe”. Dwie proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy (to samo $a$ we wzorze $y=ax+b$).

Krok 2. Odczytujemy z rysunku kierunek prostych. Obie proste na rysunku są opadające (funkcje malejące), więc współczynnik kierunkowy obu prostych musi być ten sam i ujemny.

Krok 3. Sprawdzamy opcje. W opcji A obie proste mają ten sam współczynnik $a=-\frac{3}{2}$ — są równoległe i opadają, co zgadza się z rysunkiem. W opcji B współczynniki ($\frac{3}{2}$ i $-\frac{2}{3}$) są różne — proste nie są równoległe. W opcji C obie proste mają współczynnik dodatni $\frac{3}{2}$ — byłyby rosnące, nie opadające. W opcji D współczynniki są różne ($-\frac{3}{2}$ i $\frac{3}{2}$) — proste nie są równoległe.

Jedynie opcja A opisuje dwie proste równoległe, opadające, zgodne z rysunkiem.

Odpowiedź: A.

Krok 1. Odczytujemy z wykresu poszczególne fragmenty funkcji. Dla $x\in (-6,-1⟩$ wykres jest odcinkiem poziomym na wysokości $y=4$ (punkt w $x=-6$ jest wyłączony — zaznaczony pustym kółkiem, ale w $x=-1$ włączony). Dla $x\in ⟨-1,1⟩$ wykres opada odcinkiem od $y=4$ do $y=1$. Dla $x\in ⟨1,6⟩$ wykres jest odcinkiem poziomym na wysokości $y=1$ (punkt w $x=6$ jest zaznaczony pełnym kółkiem — włączony).

Krok 2. Dodatkowy punkt. W $x=-6$ zaznaczono również pełny punkt na wysokości $y=3$ — to osobna, izolowana wartość funkcji, ale $3$ i tak leży wewnątrz przedziału $⟨1,4⟩$, więc nie zmienia to zbioru wartości.

Krok 3. Składamy zbiór wartości. Odcinek poziomy $y=4$ daje wartość $4$, odcinek opadający daje wszystkie wartości od $1$ do $4$, a odcinek poziomy $y=1$ daje wartość $1$. Łącznie zbiorem wartości jest cały przedział $⟨1,4⟩$ (końce $1$ i $4$ są osiągane, więc są domknięte).

Odpowiedź: C. $⟨1,4⟩$.

Krok 1. Warunek na funkcję malejącą. Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest malejąca, gdy współczynnik przy $x$ jest ujemny. Tutaj współczynnikiem tym jest $-2k+3$, więc potrzebujemy: $-2k+3<0.$

Krok 2. Rozwiązujemy nierówność. $-2k<-3\Rightarrow k>\frac{3}{2}$ (dzieląc przez liczbę ujemną $-2$, zmieniamy znak nierówności).

Odpowiedź: D. $\left(\frac{3}{2},+\infty \right)$.

Krok 1. Miejsce zerowe funkcji $f$. $3x+6=0\Rightarrow x=-2.$

Krok 2. To samo miejsce zerowe ma funkcja $g$. Podstawiamy $x=-2$ do wzoru $g(x)=ax+7$ i przyrównujemy do zera: $a\cdot (-2)+7=0.$

Krok 3. Rozwiązujemy względem $a$. $-2a=-7\Rightarrow a=\frac{7}{2}.$

Odpowiedź: D. $\frac{7}{2}$.

Krok 1. Odczytujemy wierzchołek paraboli z rysunku. Wykres ma najwyższy punkt (wierzchołek) w punkcie $(1,9)$ — parabola jest skierowana ramionami do dołu.

Krok 2. Zapisujemy wzór w postaci kanonicznej. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej o wierzchołku $(p,q)$ to $f(x)=a(x-p{)}^2+q$. Tutaj $p=1$, $q=9$, a ponieważ ramiona paraboli są skierowane do dołu, współczynnik $a$ jest ujemny; z rysunku (np. z miejsc zerowych $x=-2$ i $x=4$) wynika, że $a=-1$. Wzór to zatem: $f(x)=-(x-1{)}^2+9.$

Odpowiedź: B.

Krok 1. Korzystamy z symetrii paraboli. Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, czyli tutaj względem prostej $x=1$ (patrz zadanie 14.).

Krok 2. Znajdujemy punkt symetryczny do $x=-4$. Odległość od $x=-4$ do osi symetrii $x=1$ wynosi $1-(-4)=5$. Punkt symetryczny leży więc po drugiej stronie osi, w odległości $5$ od niej: $1+5=6.$

Krok 3. Wniosek. Ponieważ $-4$ i $6$ są symetryczne względem $x=1$, funkcja przyjmuje w nich tę samą wartość: $f(-4)=f(6).$

Odpowiedź: A.

Krok 1. Wyznaczamy różnicę ciągu. Między $a_4$ i $a_6$ jest dwukrotny skok o różnicę $r$, czyli $a_6=a_4+2r$: $16=-2+2r\Rightarrow 2r=18\Rightarrow r=9.$

Krok 2. Wyznaczamy $a_5$. Wyraz $a_5$ jest o jedną różnicę większy od $a_4$: $a_5=a_4+r=-2+9=7.$

Odpowiedź: C. $7$.

Krok 1. Przypominamy definicję ilorazu ciągu geometrycznego. Iloraz $q$ to stosunek dowolnego wyrazu do wyrazu poprzedniego: $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Krok 2. Liczymy ten stosunek ze wzoru ogólnego. $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^n}{2^{n-1}}=2^{n-(n-1)}=2^1=2.$

Odpowiedź: C. $2$.

Krok 1. Analizujemy znak każdego czynnika. Dla $n\ge 1$ mamy zawsze $n+2>0$ (bo $n+2\ge 3$). Zatem znak iloczynu $b_n=(n+2)(7-n)$ zależy tylko od znaku czynnika $7-n$.

Krok 2. Kiedy $7-n>0$? Nierówność $7-n>0$ jest równoważna $n<7$, czyli dla naturalnych $n$ spełniają ją $n=1,2,3,4,5,6$ — to $6$ wartości.

Krok 3. Sprawdzamy granicę. Dla $n=7$ mamy $7-n=0$, więc $b_7=0$ (wyraz nie jest dodatni). Dla $n\ge 8$ czynnik $7-n$ jest ujemny, więc $b_n<0$.

Dodatnich wyrazów jest zatem $6$ (dla $n=1,\dots ,6$).

Odpowiedź: A. $6$.

Krok 1. Wyłączamy $\sin 20°$ przed nawias. ${\sin }^{3}20°+{\cos }^{2}20°\cdot \sin 20°=\sin 20°\left({\sin }^{2}20°+{\cos }^{2}20°\right).$

Krok 2. Korzystamy z tożsamości Pitagorasowej. Dla każdego kąta ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, więc wyrażenie w nawiasie jest równe $1$: $\sin 20°\cdot 1=\sin 20°.$

Odpowiedź: B. $\sin 20°$.

Krok 1. Wyznaczamy $\sin \alpha$ z tożsamości Pitagorasowej. ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}.$ Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, $\sin \alpha >0$, więc: $\sin \alpha =\frac{12}{13}.$

Krok 2. Liczymy tangens. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{12/13}{5/13}=\frac{12}{5}.$

Odpowiedź: B. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{12}{5}$.

Krok 1. Stosujemy wzór na pole równoległoboku z dwóch boków i kąta między nimi. $P=a\cdot b\cdot \sin \gamma =3\cdot 4\cdot \sin 120°.$

Krok 2. Obliczamy $\sin 120°$. Kąt $120°=180°-60°$, a $\sin (180°-\beta )=\sin \beta$, więc $\sin 120°=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Krok 3. Podstawiamy. $P=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$

Odpowiedź: B. $6\sqrt{3}$.

Krok 1. Wskazujemy podobne trójkąty. Odcinek $AB$ jest równoległy do $MK$, więc trójkąt $CAB$ jest podobny do trójkąta $CMK$ (kąt przy wierzchołku $C$ jest wspólny, a kąty przy podstawach są równe jako odpowiadające przy prostych równoległych) — cecha kąt-kąt.

Krok 2. Zapisujemy proporcję boków odpowiadających sobie. Bokowi $AB$ w małym trójkącie odpowiada bok $MK$ w dużym, a bokowi $CA$ odpowiada bok $CM$: $\frac{AB}{MK}=\frac{CA}{CM}⟹\frac{6}{24}=\frac{3}{CM}.$

Krok 3. Wyznaczamy $CM$. $CM=\frac{3\cdot 24}{6}=12.$

Krok 4. Obliczamy $MA$. Punkt $A$ leży na boku $CM$ między $C$ i $M$, więc $MA=CM-CA=12-3=9$.

Odpowiedź: C. $9$.

Krok 1. Kąt środkowy odpowiadający kątowi wpisanemu. Kąt $ACB=42°$ jest kątem wpisanym opartym na łuku $AB$. Kąt środkowy $ASB$, oparty na tym samym łuku, jest dwukrotnie większy: $|\angle ASB|=2\cdot 42°=84°.$

Krok 2. Trójkąt $ASB$ jest równoramienny. Odcinki $SA$ i $SB$ są promieniami okręgu, więc $|SA|=|SB|$ — trójkąt $ASB$ jest równoramienny, a kąty przy podstawie $AB$ (czyli $\angle SAB$ i $\angle SBA$) są równe.

Krok 3. Obliczamy kąt przy podstawie. Suma kątów w trójkącie to $180°$: $2\cdot |\angle SAB|=180°-84°=96°,$ $|\angle SAB|=48°.$

Kąt $BAS$ to właśnie kąt $SAB$, więc jego miara to $48°$ — jest to kąt ostry.

Odpowiedź: C. $48°$.

Krok 1. Warunek prostopadłości prostych. Dwie proste o współczynnikach kierunkowych $a_1$ i $a_2$ są prostopadłe, gdy $a_1\cdot a_2=-1$. Tutaj $a_1=m+1$ oraz $a_2=-2$: $(m+1)\cdot (-2)=-1.$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie. $m+1=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\Rightarrow m=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}.$

Odpowiedź: A. $\left(-\frac{1}{2}\right)$.

Krok 1. Zapisujemy współczynnik kierunkowy jako stosunek zmian współrzędnych. Dla punktów $A=(2,-4)$ i $B=(0,b)$ leżących na tej samej prostej: $\frac{b-(-4)}{0-2}=\frac{1}{2}.$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie. $\frac{b+4}{-2}=\frac{1}{2}\Rightarrow b+4=-1\Rightarrow b=-5.$

Odpowiedź: A. $(-5)$.

Krok 1. Wyznaczamy długość boku podstawy. Podstawą jest sześciokąt foremny o boku $a$, którego pole wyraża się wzorem $P=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$. Podstawiamy $P=15\sqrt{3}$: $\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=15\sqrt{3}.$

Krok 2. Rozwiązujemy względem $a^2$. $a^2=15\sqrt{3}\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{30}{3}=10\Rightarrow a=\sqrt{10}.$

Krok 3. Liczymy pole ściany bocznej. Ściana boczna to prostokąt o wymiarach $a\times H$, gdzie $H=6$ to wysokość graniastosłupa: $P_{\text{boczna}}=a\cdot H=\sqrt{10}\cdot 6=6\sqrt{10}.$

Odpowiedź: C. $6\sqrt{10}$.

Krok 1. Co to jest najdłuższa przekątna graniastosłupa sześciokątnego. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym najdłuższą przekątną jest odcinek łączący wierzchołek dolnej podstawy z wierzchołkiem górnej podstawy leżącym po przeciwnej stronie sześciokąta (naprzeciwko) — jej rzutem na płaszczyznę podstawy jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego (przechodząca przez środek podstawy).

Krok 2. Jak wyznaczyć kąt nachylenia do podstawy. Kąt nachylenia odcinka do płaszczyzny to kąt między tym odcinkiem a jego rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Powstaje on w trójkącie prostokątnym utworzonym przez: wysokość graniastosłupa, rzut przekątnej na podstawę (czyli przekątną sześciokąta) oraz samą przekątną graniastosłupa — szukany kąt leży właśnie przy podstawie, między przekątną podstawy i przekątną graniastosłupa.

Krok 3. Sprawdzamy rysunki. Trzeba znaleźć rysunek, na którym zaznaczony odcinek łączy wierzchołek dolnej podstawy z przeciwległym (najdalszym) wierzchołkiem górnej podstawy, a zaznaczony kąt leży między tym odcinkiem i przekątną podstawy biegnącą przez środek sześciokąta. Taką sytuację przedstawia rysunek D — na pozostałych rysunkach zaznaczone odcinki łączą wierzchołki, które nie są najdalszą parą wierzchołków sześciokąta (czyli są to krótsze przekątne), więc zaznaczony na nich kąt nie jest kątem nachylenia najdłuższej przekątnej.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Zapisujemy wzór na objętość ostrosłupa. Podstawą jest kwadrat o boku $a$, a wzór na objętość to $V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H$, gdzie $H$ to wysokość ostrosłupa.

Krok 2. Podstawiamy dane. $64=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot 12=4a^2.$

Krok 3. Rozwiązujemy względem $a$. $a^2=16\Rightarrow a=4.$

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1. Rozpoznajemy typ zliczania. Każdy kod to inne ustawienie (permutacja) tych samych czterech różnych cyfr — każda występuje raz.

Krok 2. Stosujemy regułę mnożenia. Na pierwszą pozycję kodu mamy $4$ możliwe cyfry, na drugą — $3$ pozostałe, na trzecią — $2$, a na czwartą — już tylko $1$: $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4!=24.$

Odpowiedź: C. $24$.

Krok 1. Przenosimy wszystko na jedną stronę. Odejmujemy $3x$ od obu stron, aby po prawej zostało zero: $x^2-3x-4\le 0.$

Krok 2. Szukamy miejsc zerowych trójmianu $x^2-3x-4$. Liczymy wyróżnik ($a=1$, $b=-3$, $c=-4$): $\Delta =(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)=9+16=25,\sqrt{\Delta }=5.$ Miejsca zerowe: $x_1=\frac{3-5}{2}=-1,x_2=\frac{3+5}{2}=4.$

Krok 3. Ustalamy znak trójmianu. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a=1>0$), więc parabola jest skierowana ramionami do góry — przyjmuje wartości niedodatnie (czyli $\le 0$) między miejscami zerowymi, łącznie z nimi (nierówność jest nieostra).

Odpowiedź: $x\in ⟨-1,4⟩$.

Krok 1. Rozwijamy lewą stronę nierówności. $(3x+y)(x+3y)=3x^2+9xy+xy+3y^2=3x^2+10xy+3y^2.$

Krok 2. Przenosimy $16xy$ na lewą stronę. $3x^2+10xy+3y^2-16xy>0⟺3x^2-6xy+3y^2>0.$

Krok 3. Zwijamy lewą stronę do kwadratu. Wyłączamy $3$ przed nawias i rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: $3x^2-6xy+3y^2=3(x^2-2xy+y^2)=3(x-y{)}^2.$

Krok 4. Korzystamy z założenia $x\ne y$. Skoro $x\ne y$, to $x-y\ne 0$, a kwadrat liczby różnej od zera jest zawsze dodatni, więc $(x-y{)}^2>0$, a tym bardziej: $3(x-y{)}^2>0.$

Przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność $(3x+y)(x+3y)>16xy$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $y\ne x$. To należało wykazać.

Odpowiedź: Wykazano, że $(3x+y)(x+3y)-16xy=3(x-y{)}^2>0$ dla $x\ne y$.

Krok 1. Wyznaczamy drugie miejsce zerowe z symetrii wykresu. Parabola jest symetryczna względem prostej $x=-2$, więc oba miejsca zerowe są równo odległe od tej prostej. Miejsce zerowe $x_1=1$ jest odległe od $-2$ o $1-(-2)=3$, więc drugie miejsce zerowe leży o $3$ w drugą stronę: $x_2=-2-3=-5.$

Krok 2. Zapisujemy $f$ w postaci iloczynowej. $f(x)=(x-1)(x-(-5))=(x-1)(x+5).$

Krok 3. Rozwijamy do postaci ogólnej. $f(x)=x^2+5x-x-5=x^2+4x-5.$

Porównując ze wzorem $f(x)=x^2+bx+c$, odczytujemy: $b=4,c=-5.$

Odpowiedź: $b=4$, $c=-5$.

Krok 1. Zapisujemy dane za pomocą $a_1$ i różnicy $r$. Trzeci wyraz to $a_3=a_1+2r$, więc: $a_1+2r=-1.(\text{I})$

Krok 2. Zapisujemy warunek na sumę piętnastu wyrazów. Wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to $S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$. Dla $n=15$: $S_{15}=\frac{2a_1+14r}{2}\cdot 15=-165.$ Dzieląc obie strony przez $15$, a potem przez $2$: $2a_1+14r=-22⟹a_1+7r=-11.(\text{II})$

Krok 3. Rozwiązujemy układ równań (I) i (II). Odejmujemy (I) od (II): $(a_1+7r)-(a_1+2r)=-11-(-1),$ $5r=-10,$ $r=-2.$

Odpowiedź: Różnica ciągu jest równa $r=-2$.

Krok 1. Korzystamy z własności przekątnych równoległoboku. Przekątne równoległoboku przecinają się w swoich środkach, więc punkt $P$ jest środkiem odcinka $AC$.

Krok 2. Wyznaczamy współrzędne punktu $C$. Ze wzoru na środek odcinka $P=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)$ mamy: $\frac{-2+x_C}{2}=6\Rightarrow x_C=14,\frac{6+y_C}{2}=7\Rightarrow y_C=8.$ Zatem $C=(14,8)$.

Krok 3. Obliczamy długość odcinka $BC$ ze wzoru na odległość punktów $B=(10,2)$ i $C=(14,8)$: $|BC|=\sqrt{(14-10{)}^2+(8-2{)}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.$

Odpowiedź: $|BC|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Krok 1. Wyznaczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych. Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para $(x,y)$, gdzie $x,y\in K$ (losowanie ze zwracaniem, więc liczby mogą się powtarzać). Z reguły mnożenia: $|\Omega |=5\cdot 5=25.$

Krok 2. Kiedy suma dwóch liczb jest parzysta? Suma dwóch liczb naturalnych jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie są parzyste albo obie są nieparzyste. W zbiorze $K=\{5,6,7,8,9\}$ liczby parzyste to $6,8$ (dwie liczby), a nieparzyste to $5,7,9$ (trzy liczby).

Krok 3. Liczymy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu $A$. Korzystając z reguły mnożenia i reguły dodawania:

• obie liczby parzyste: $2\cdot 2=4$ pary,
• obie liczby nieparzyste: $3\cdot 3=9$ par.

Razem: $|A|=4+9=13.$

Krok 4. Obliczamy prawdopodobieństwo. $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{13}{25}.$

Odpowiedź: $P(A)=\frac{13}{25}$.

Krok 1. Wprowadzamy oznaczenia. Niech $a$ oznacza długość krawędzi podstawy (kwadratu), a $H$ — wysokość graniastosłupa. Z treści zadania stosunek $\frac{a}{H}=\frac{1}{4}$, więc: $H=4a.$

Krok 2. Wykorzystujemy objętość, aby znaleźć $a$. Objętość graniastosłupa o podstawie kwadratowej to $V=a^2\cdot H$: $a^2\cdot 4a=108\Rightarrow 4a^3=108\Rightarrow a^3=27\Rightarrow a=3.$ Stąd wysokość: $H=4\cdot 3=12.$

Krok 3. Wyznaczamy przekątną podstawy. Podstawą jest kwadrat o boku $a=3$, więc jego przekątna (z twierdzenia Pitagorasa) ma długość: $d_{\text{podst}}=a\sqrt{2}=3\sqrt{2}.$

Krok 4. Wyznaczamy przekątną graniastosłupa. Przekątna graniastosłupa, wysokość $H$ i przekątna podstawy tworzą trójkąt prostokątny (przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną): $d^2=H^2+d_{\text{podst}}^2=12^2+(3\sqrt{2}{)}^2=144+18=162,$ $d=\sqrt{162}=9\sqrt{2}.$

Krok 5. Obliczamy cosinus kąta $\alpha$. Kąt $\alpha$ leży między przekątną graniastosłupa i jej rzutem na podstawę, czyli przekątną podstawy — to one tworzą kąt $\alpha$ w trójkącie prostokątnym, gdzie przekątna podstawy jest przyprostokątną przyległą do kąta $\alpha$, a przekątna graniastosłupa — przeciwprostokątną: $\cos \alpha =\frac{d_{\text{podst}}}{d}=\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}=\frac{1}{3}.$

Krok 6. Obliczamy pole powierzchni całkowitej. Powierzchnia całkowita to dwie podstawy (kwadraty o boku $a$) plus cztery ściany boczne (prostokąty $a\times H$): $P_c=2a^2+4aH=2\cdot 3^2+4\cdot 3\cdot 12=18+144=162.$

Odpowiedź: $\cos \alpha =\frac{1}{3}$, a pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe $162$.