Matematyka PP — Maj 2025

Upraszczamy pierwiastki

Zauważmy, że $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$. Zatem różnica pod nawiasem to:

$\sqrt{32}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}.$

Podnosimy do kwadratu

${\left(3\sqrt{2}\right)}^2=3^2\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2=9\cdot 2=18.$

Odpowiedź: B. 18.

Wyłączamy wspólny czynnik z licznika

W liczniku każdy składnik jest potęgą liczby $5$. Najmniejszą z nich jest $5^{12}$ — wyłączamy ją przed nawias:

$5^{12}+5^{13}+5^{14}=5^{12}\left(1+5+5^2\right)=5^{12}\left(1+5+25\right)=5^{12}\cdot 31.$

Dzielimy przez $5^{12}$

$\frac{5^{12}\cdot 31}{5^{12}}=31.$

Odpowiedź: B. 31.

Zapisujemy $2{\log }_{3}2$ jako logarytm potęgi

Korzystamy ze wzoru $a{\log }_{b}c={\log }_b{c}^a$:

$2{\log }_{3}2={\log }_3{2}^2={\log }_{3}4.$

Stosujemy wzór na logarytm ilorazu

${\log }_{3}108-{\log }_{3}4={\log }_3\frac{108}{4}={\log }_{3}27.$

Obliczamy logarytm

Skoro $27=3^3$, to ${\log }_{3}27=3$.

Odpowiedź: A. 3.

Rozwijamy oba kwadraty

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ oraz $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$(3x+2{)}^2=9x^2+12x+4,$ $(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9.$

Odejmujemy

$(3x+2{)}^2-(2x-3{)}^2=9x^2+12x+4-\left(4x^2-12x+9\right).$

Opuszczamy nawias, pamiętając o zmianie znaków:

$=9x^2+12x+4-4x^2+12x-9=5x^2+24x-5.$

Odpowiedź: C. $5x^2+24x-5$.

Zapisujemy liczbę nieparzystą w wygodnej postaci

Skoro $n$ jest nieparzysta, możemy ją zapisać jako $n=2l+1$, gdzie $l$ jest liczbą całkowitą nieujemną.

Podstawiamy i przekształcamy

$3n^2+2n+7=3(2l+1{)}^2+2(2l+1)+7.$

Rozwijamy kwadrat $(2l+1{)}^2=4l^2+4l+1$:

$=3\left(4l^2+4l+1\right)+4l+2+7=12l^2+12l+3+4l+9.$

Porządkujemy wyrazy:

$=12l^2+16l+12.$

Wyłączamy czynnik $4$

$12l^2+16l+12=4\left(3l^2+4l+3\right).$

Wniosek

Liczba $3l^2+4l+3$ jest całkowita (bo $l$ jest całkowite), więc $4\left(3l^2+4l+3\right)$ jest podzielne przez $4$. To kończy dowód.

Przekształcamy lewą stronę

Opuszczamy nawias:

$3-2(1-2x)=3-2+4x=1+4x.$

Nierówność przyjmuje postać:

$1+4x\ge 2x-17.$

Rozwiązujemy nierówność liniową

Przenosimy $2x$ na lewą stronę, a liczby na prawą:

$4x-2x\ge -17-1,$ $2x\ge -18,$ $x\ge -9.$

Wynik

Zbiorem rozwiązań jest przedział $[-9,+\infty )$ — na osi zaznaczamy półprostą od $-9$ (z zamalowanym końcem) w prawo.

Odpowiedź: D.

Rozkładamy równanie na czynniki

Równanie $2x(x+3)(x^2+25)=0$ jest już w postaci iloczynowej. Iloczyn jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem.

Analizujemy poszczególne czynniki

• $2x=0\Rightarrow x=0$,
• $x+3=0\Rightarrow x=-3$,
• $x^2+25=0\Rightarrow x^2=-25$ — to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych (kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny).

Wniosek

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: $x=-3$ oraz $x=0$.

Odpowiedź: A.

Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki

W pierwszym ułamku: licznik $x^2+x=x(x+1)$, a mianownik jest kwadratem sumy: $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$. Zatem

$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot \frac{x+2}{x}=\frac{x(x+1)}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x+2}{x}.$

Skracamy

Dla $x\ne 0$ i $x\ne -2$ możemy skrócić $x$ oraz jeden czynnik $(x+2)$:

$=\frac{(x+1)}{(x+2)}.$

Odpowiedź: C. $\frac{x+1}{x+2}$.

Wprowadzamy oznaczenia i budujemy model

Niech $x$ — kwota przyznana zespołowi A, $y$ — kwota przyznana zespołowi B. Z treści wynikają dwa warunki:

$\{\begin{array}{l}x+y=1200000,\\ 0,13x+0,11y=146700.\end{array}$

(pierwsze równanie: podział całego budżetu; drugie: zespół A zużył $13\%$ swoich środków, a B — $11\%$ swoich).

Rozwiązujemy układ metodą podstawiania

Z pierwszego równania $y=1200000-x$. Podstawiamy do drugiego:

$0,13x+0,11\left(1200000-x\right)=146700,$ $0,13x+132000-0,11x=146700,$ $0,02x=14700,$ $x=\frac{14700}{0,02}=735000.$

Odpowiedź

Zespołowi A przyznano $735000$ zł.

Sprowadzamy do postaci ogólnej

Mnożymy nawias i przenosimy wszystko na jedną stronę:

$3\left(2x^2+1\right)<11x,$ $6x^2+3<11x,$ $6x^2-11x+3<0.$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu

$\Delta =(-11{)}^2-4\cdot 6\cdot 3=121-72=49,\sqrt{\Delta }=7.$

$x_1=\frac{11-7}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},x_2=\frac{11+7}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}.$

Odczytujemy zbiór rozwiązań

Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane do góry i wartości ujemne przyjmuje między miejscami zerowymi:

$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{3}{2}\right).$

Odpowiedź: $x\in \left(\frac{1}{3},\frac{3}{2}\right)$.

Funkcja jest określona trzema wzorami na przylegających przedziałach; jej wykres składa się z odcinka rosnącego na $[-4,-2]$, poziomego odcinka o wartości $3$ na $(-2,2]$ oraz odcinka malejącego $-3x+9$ na $(2,4)$.

1. Dziedzina

Dziedzina to suma wszystkich przedziałów: $[-4,-2]\cup (-2,2]\cup (2,4)=[-4,4)$. Prawy koniec jest otwarty (przedział $(2,4)$ nie obejmuje $4$).

$D=[-4,4).$

2. Zbiór wartości

• Na $[-4,-2]$ mamy $f(x)=x+5$, więc wartości od $f(-4)=1$ do $f(-2)=3$.
• Na $(-2,2]$ funkcja jest stała i równa $3$.
• Na $(2,4)$ mamy $f(x)=-3x+9$, malejąca; przy $x\to 2^{+}$ wartość dąży do $3$ (bez osiągnięcia), a przy $x\to 4^{-}$ do $-3$ (bez osiągnięcia).

Łącznie funkcja przyjmuje wszystkie wartości większe od $-3$ i nie większe niż $3$:

$ZW=(-3,3].$

3. Argumenty, dla których $f(x)>0$

Na $[-4,-2]$: $x+5>0$ dla całego przedziału (najmniejsza wartość $1>0$). Na $(-2,2]$: wartość $3>0$. Na $(2,4)$: $-3x+9>0\iff x<3$. Zatem funkcja jest dodatnia dla $x\in [-4,3)$.

$[-4,3).$

4. Rozwiązania równania $f(x)=3$

Wartość $3$ funkcja przyjmuje w punkcie $x=-2$ (koniec pierwszego odcinka) i na całym poziomym odcinku $(-2,2]$. Łącznie:

$[-2,2].$

Postać kanoniczna z wierzchołkiem

Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(3,6)$, więc wzór funkcji zapisujemy jako:

$f(x)=a(x-3{)}^2+6,a\ne 0.$

Wyznaczamy współczynnik $a$

Parabola przechodzi przez punkt $(0,3)$, więc $f(0)=3$:

$a(0-3{)}^2+6=3,$ $9a+6=3,$ $9a=-3,$ $a=-\frac{1}{3}.$

Wynik

$f(x)=-\frac{1}{3}(x-3{)}^2+6.$

Oś symetrii paraboli

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek. Wierzchołek ma pierwszą współrzędną $x=3$, więc osią symetrii jest prosta

$x=3.$

Odpowiedź: A. $x=3$.

Miejsca zerowe funkcji $g$

Funkcja $g(x)=f(x)-3$ ma miejsca zerowe tam, gdzie $f(x)=3$, czyli w punktach przecięcia paraboli z poziomą prostą $y=3$.

Wykorzystujemy symetrię paraboli

Oba te punkty leżą symetrycznie względem osi symetrii paraboli, czyli prostej $x=3$. Środek odcinka o końcach $x_1,x_2$ leży więc na tej osi:

$\frac{x_1+x_2}{2}=3\Rightarrow x_1+x_2=6.$

Odpowiedź: 6.

Kiedy funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego

Funkcja $f(x)=(3-m)x-4$ jest liniowa. Ma dokładnie jedno miejsce zerowe, gdy współczynnik kierunkowy jest różny od zera. Nie ma miejsca zerowego wtedy, gdy staje się funkcją stałą (niezerową), czyli gdy współczynnik przy $x$ jest równy zeru:

$3-m=0\Rightarrow m=3.$

Wówczas $f(x)=-4$ dla każdego $x$ — funkcja stała, która nigdy nie przyjmuje wartości $0$.

Odpowiedź: C. $m=3$.

Obliczamy kolejne wyrazy z rekurencji

Dane: $a_1=2$ oraz $a_{n+1}=2a_n+1$.

$a_2=2a_1+1=2\cdot 2+1=5,$ $a_3=2a_2+1=2\cdot 5+1=11.$

Odpowiedź: D. 11.

Wypisujemy wyrazy

Z zadania 14.1: $a_1=2,a_2=5,a_3=11$.

Czy ciąg jest arytmetyczny?

Sprawdzamy różnice kolejnych wyrazów:

$a_2-a_1=5-2=3,a_3-a_2=11-5=6.$

Różnice nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny — stwierdzenie 1 jest fałszywe (F).

Czy ciąg jest geometryczny?

Sprawdzamy ilorazy:

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{2},\frac{a_3}{a_2}=\frac{11}{5}.$

Ilorazy nie są równe, więc ciąg nie jest geometryczny — stwierdzenie 2 jest fałszywe (F).

Odpowiedź: F, F.

Warunek ciągu arytmetycznego

Ciąg $(2m+11,m^2+3,5-m)$ jest arytmetyczny, gdy wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiednich:

$m^2+3=\frac{(2m+11)+(5-m)}{2}=\frac{m+16}{2}.$

Rozwiązujemy równanie

$2\left(m^2+3\right)=m+16,$ $2m^2+6=m+16,$ $2m^2-m-10=0.$

Obliczamy wyróżnik:

$\Delta =(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-10)=1+80=81,\sqrt{\Delta }=9.$

$m_1=\frac{1-9}{4}=-2,m_2=\frac{1+9}{4}=\frac{5}{2}.$

Wybieramy ciąg malejący

Sprawdzamy oba przypadki:

• Dla $m=-2$: ciąg to $(7,7,7)$ — jest stały, nie jest malejący. Odrzucamy.
• Dla $m=\frac{5}{2}$: ciąg to $\left(16,\frac{37}{4},\frac{5}{2}\right)=\left(16;9,25;2,5\right)$ — kolejne wyrazy maleją, więc ciąg jest malejący.

Wynik

Jedyną wartością spełniającą oba warunki jest

$m=\frac{5}{2}.$

Wyznaczamy iloraz

W ciągu geometrycznym $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$.

Obliczamy czwarty wyraz

$a_4=a_1\cdot q^3=27\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3=27\cdot \frac{1}{27}=1.$

Odpowiedź: B. 1.

Zapisujemy tangens przez sinus i cosinus

Korzystamy z $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Warunek:

$\sqrt{3}\cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2\sin \alpha .$

Upraszczamy

Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\sin \alpha \ne 0$ oraz $\cos \alpha >0$. Dzielimy obie strony przez $\sin \alpha$:

$\frac{\sqrt{3}}{\cos \alpha }=2\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Odpowiedź: C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Odczytujemy dane

Trójkąt $ABC$ ma kąt prosty przy wierzchołku $A$ (bo $BC$ jest przeciwprostokątną). Punkt $D$ jest środkiem $AB$, więc $|AD|=\frac{|AB|}{2}=\frac{6}{2}=3$. Środkowa $|CD|=5$.

Obliczamy $|AC|$ z trójkąta $ACD$

Trójkąt $ACD$ ma kąt prosty przy $A$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$|AC|=\sqrt{|CD{|}^2-|AD{|}^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$

Tangens kąta $\alpha =\angle ADC$

W trójkącie prostokątnym $ACD$ kąt $\alpha$ leży przy wierzchołku $D$. Naprzeciw niego jest przyprostokątna $AC=4$, a przy nim przyprostokątna $AD=3$:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{4}{3}.$

Odpowiedź: D. $\frac{4}{3}$.

Obliczamy przeciwprostokątną $BC$

Z zadania 18.1 wiemy, że $|AC|=4$ oraz $|AB|=6$, a kąt prosty jest przy $A$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$|BC|=\sqrt{|AB{|}^2+|AC{|}^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.$

Sinus kąta $\beta =\angle ABC$

Kąt $\beta$ leży przy wierzchołku $B$. Naprzeciw niego znajduje się przyprostokątna $AC=4$, a przeciwprostokątną jest $BC$:

$\sin \beta =\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}.$

Odpowiedź: A. $\frac{2}{\sqrt{13}}$.

Kąt środkowy i kąt wpisany

Kąt $BCA$ o mierze $50^{\circ }$ jest kątem wpisanym opartym na łuku $AB$. Kąt środkowy $AOB$ oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy:

$|\angle AOB|=2\cdot 50^{\circ }=100^{\circ }.$

Trójkąt równoramienny $AOB$

Odcinki $OA$ i $OB$ są promieniami okręgu, więc trójkąt $AOB$ jest równoramienny. Kąty przy podstawie $AB$ są równe:

$|\angle ABO|=|\angle BAO|=\frac{180^{\circ }-100^{\circ }}{2}=\frac{80^{\circ }}{2}=40^{\circ }.$

Odpowiedź: C. $40^{\circ }$.

Ustalamy odpowiedniość wierzchołków

Trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne. Z zapisu podobieństwa odpowiadają sobie kolejno wierzchołki: $A\leftrightarrow B$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow A$. Stąd proporcja odpowiednich boków:

$\frac{|AB|}{|BD|}=\frac{|CA|}{|AB|}.$

Podstawiamy dane

$|AB|=3$, $|CA|=4$:

$\frac{3}{|BD|}=\frac{4}{3}.$

Obliczamy $|BD|$

$|BD|=\frac{3\cdot 3}{4}=\frac{9}{4}=2,25.$

Odpowiedź: B. $2,25$.

Obliczamy trzeci bok z twierdzenia cosinusów

Dane: $|AB|=11$, $|BC|=12$, $|\angle ABC|=60^{\circ }$. Bok $AC$ leży naprzeciw kąta $60^{\circ }$:

$|AC{|}^2=11^2+12^2-2\cdot 11\cdot 12\cdot \cos 60^{\circ }=121+144-264\cdot \frac{1}{2}=265-132=133.$

Zatem $|AC|=\sqrt{133}\approx 11,5$.

Stwierdzenie 1 — czy trójkąt jest równoramienny?

Boki mają długości $11$, $12$ oraz $\sqrt{133}$ — wszystkie różne, więc trójkąt nie jest równoramienny. Stwierdzenie 1 jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 2 — pole trójkąta

Korzystamy ze wzoru $P=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$ dla boków wychodzących z kąta $60^{\circ }$:

$P=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 12\cdot \sin 60^{\circ }=66\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=33\sqrt{3}.$

Stwierdzenie 2 jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P.

Punkt $S$ jest środkiem przekątnej

W kwadracie przekątne przecinają się w punkcie $S$, który jest ich wspólnym środkiem. Zatem $S$ jest środkiem odcinka $AC$, a odcinek $AS$ to połowa przekątnej.

Obliczamy długość $|AS|$

$|AS|=\sqrt{(4-1{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$

Cała przekątna

$|AC|=2\cdot |AS|=2\cdot 5=10.$

Odpowiedź: C. 10.

Warunek równoległości prostych

Proste dane w postaci kierunkowej są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (i różne wyrazy wolne). Współczynniki kierunkowe to $m-2$ oraz $-4$:

$m-2=-4\Rightarrow m=-2.$

Sprawdzenie

Dla $m=-2$ proste to $k:y=-4x+5$ oraz $l:y=-4x+1$ — różne wyrazy wolne ($5\ne 1$), więc są to dwie różne proste równoległe.

Odpowiedź: B. $(-2)$.

Promień okręgu

Punkt $P=(0,0)$ leży na okręgu o środku $S=(2,4)$, więc promień to odległość $|SP|$:

$r^2=(2-0{)}^2+(4-0{)}^2=4+16=20.$

Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku $(a,b)$ i promieniu $r$ ma postać $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$. Podstawiamy $a=2$, $b=4$, $r^2=20$:

$(x-2{)}^2+(y-4{)}^2=20.$

Odpowiedź: B.

Analiza przekroju osiowego

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o ramionach równych tworzącej $l=8$ i kącie przy wierzchołku (kąt rozwarcia) $120^{\circ }$. Wysokość stożka $H$ dzieli ten kąt na połowę, więc w trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość $H$, promień $r$ i tworzącą $l$ kąt przy wierzchołku wynosi $\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$.

Obliczamy promień podstawy

Promień leży naprzeciw kąta $60^{\circ }$, a tworząca jest przeciwprostokątną:

$r=l\cdot \sin 60^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3},r^2=48.$

Obliczamy wysokość

$H=l\cdot \cos 60^{\circ }=8\cdot \frac{1}{2}=4.$

Objętość stożka

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}H=\frac{1}{3}\pi \cdot 48\cdot 4=64\pi .$

Odpowiedź: $V=64\pi$.

Krawędź sześcianu

Objętość sześcianu o krawędzi $a$ wynosi $a^3=729$, więc

$a=\sqrt[3]{729}=9.$

Przekątna sześcianu

Przekątna (przestrzenna) sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a\sqrt{3}$:

$d=9\sqrt{3}.$

Odpowiedź: A. $9\sqrt{3}$.

Ustalamy strukturę liczby

Szukamy liczb trzycyfrowych $\overline{htj}$ (setki–dziesiątki–jedności) nieparzystych, w których cyfra $0$ występuje dokładnie raz.

• Cyfra setek $h$ nie może być zerem (liczba trzycyfrowa), więc $h\ne 0$.
• Cyfra jedności $j$ musi być nieparzysta ($1,3,5,7,9$), więc $j\ne 0$.

Zatem jedynym miejscem, w którym może pojawić się $0$, jest cyfra dziesiątek. Warunek „dokładnie jeden raz'' oznacza więc, że dziesiątki $=0$ (a setki i jedności i tak nie mogą być zerami).

Zliczamy przypadki (reguła mnożenia)

• setki: $h\in \{1,2,\dots ,9\}$ — $9$ możliwości,
• dziesiątki: $0$ — ustalone,
• jedności: $j\in \{1,3,5,7,9\}$ — $5$ możliwości.

$9\cdot 1\cdot 5=45.$

Odpowiedź: A. 45.

Przestrzeń zdarzeń

Rzucamy kostką dwa razy, więc wszystkich wyników jest $|\Omega |=6\cdot 6=36$ (każdy jednakowo prawdopodobny).

Zdarzenia sprzyjające

Suma oczek równa $11$ zachodzi dla par $(5,6)$ oraz $(6,5)$ — czyli dwa zdarzenia sprzyjające.

Prawdopodobieństwo

$P(A)=\frac{2}{36}.$

Odpowiedź: D. $\frac{2}{36}$.

Zapisujemy warunek na średnią

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb jest równa $3$, więc ich suma wynosi $7\cdot 3=21$:

$1+2+3+4+5+x+y=21.$

Obliczamy $x+y$

Suma znanych liczb to $1+2+3+4+5=15$, zatem

$15+x+y=21\Rightarrow x+y=6.$

Odpowiedź: C. 6.

Klasa liczy $24$ uczniów; każdy słupek diagramu podaje, ilu uczniów otrzymało daną ocenę (od $1$ do $6$).

Mediana

Medianę wyznaczamy z uporządkowanego rosnąco zestawu $24$ ocen. Dla parzystej liczby danych mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów — tu 12. i 13. w kolejności. Odczytując z diagramu skumulowaną liczbę uczniów (dodając słupki od najniższej oceny), 12. ocena wypada na wartości $4$, a 13. na wartości $5$, więc

$\text{mediana}=\frac{4+5}{2}=4,5.$

Dominanta

Dominanta to ocena występująca najczęściej, czyli odpowiadająca najwyższemu słupkowi diagramu. Najwięcej uczniów otrzymało ocenę $6$, zatem

$\text{dominanta}=6.$

Odpowiedź: mediana $=4,5$, dominanta $=6$.

Wyrażamy krawędzie przez $x$

Z wierzchołka $B$ wychodzą trzy krawędzie: $BA$, $BC$ i $BF$. Ich suma długości wynosi $15$, przy czym $|AB|=x$ oraz $|BC|=4$:

$x+4+|BF|=15\Rightarrow |BF|=11-x.$

Wzór na pole powierzchni całkowitej

Prostopadłościan ma trzy pary ścian o polach $|AB|\cdot |BC|$, $|AB|\cdot |BF|$ oraz $|BC|\cdot |BF|$:

$P=2(|AB|\cdot |BC|+|AB|\cdot |BF|+|BC|\cdot |BF|).$

Podstawiamy $|AB|=x$, $|BC|=4$, $|BF|=11-x$:

$P(x)=2[4x+x(11-x)+4(11-x)]=2(4x+11x-x^2+44-4x)=2(-x^2+11x+44),$ $P(x)=-2x^2+22x+88.$

Dziedzina

Długości krawędzi muszą być dodatnie: $x>0$ oraz $|BF|=11-x>0$, czyli $x<11$. Stąd

$D=(0,11).$

Największe pole

Wykresem $P$ jest parabola o ramionach skierowanych w dół ($a=-2<0$), więc wartość największą przyjmuje w wierzchołku:

$x_W=-\frac{b}{2a}=-\frac{22}{2\cdot (-2)}=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}.$

Wartość $\frac{11}{2}=5,5$ należy do dziedziny $(0,11)$.

Wynik

$P(x)=-2x^2+22x+88,D=(0,11),$

a największe pole powierzchni całkowitej ma prostopadłościan, w którym $x=\frac{11}{2}$.