Matematyka PP — Maj 2026

Rozłóżmy wyrażenie na części i policzmy je po kolei.

Krok 1. Pierwszy składnik. Korzystamy z własności $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$: $\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{\frac{25}{8}\cdot 2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}.$

Krok 2. Drugi składnik. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność: $2^{-1}=\frac{1}{2}.$

Krok 3. Dodajemy: $\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3.$

Wynik jest równy $3$, co odpowiada opcji C.

Odpowiedź: C. 3

Przy procencie składanym po każdym roku odsetki dolicza się do kapitału i w kolejnym roku procent naliczany jest już od powiększonej kwoty.

Krok 1. Mnożnik roczny. Oprocentowanie 6% rocznie oznacza, że po każdym roku kapitał mnożymy przez $1+0,06=1,06$.

Krok 2. Kapitał po dwóch latach. Ponieważ lokata trwa dwa lata, mnożnik podnosimy do kwadratu: $10000\cdot 1,06^2=10000\cdot 1,1236=11236\text{zł}.$

Krok 3. Same odsetki. Odsetki to różnica między kwotą końcową a wpłaconym kapitałem: $11236-10000=1236\text{zł}.$

Uwaga: gdyby odsetki liczyć „prosto” (po 600 zł rocznie), wyszłoby 1200 zł — ale przy procencie składanym w drugim roku 6% liczymy również od pierwszych odsetek, stąd 36 zł więcej.

Odpowiedź: B. 1236 zł

Wyrażenie $\sqrt{5\sqrt{5}}$ zapiszemy w postaci potęgi o podstawie 5.

Krok 1. Wewnętrzny pierwiastek. Pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku $\frac{1}{2}$: $\sqrt{5}=5^{1/2}.$

Krok 2. Iloczyn pod zewnętrznym pierwiastkiem. Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki (pamiętając, że $5=5^1$): $5\cdot 5^{1/2}=5^{1+\frac{1}{2}}=5^{3/2}.$

Krok 3. Zewnętrzny pierwiastek. Pierwiastek kwadratowy to podniesienie do potęgi $\frac{1}{2}$, a przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy: $\sqrt{5^{3/2}}={\left(5^{3/2}\right)}^{1/2}=5^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}=5^{3/4}.$

Odpowiedź: C. $5^{3/4}$

Skorzystamy z własności logarytmów mówiącej, że różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu.

Krok 1. Łączymy logarytmy: ${\log }_{8}4-{\log }_{8}32={\log }_8\frac{4}{32}={\log }_8\frac{1}{8}.$

Krok 2. Obliczamy logarytm. Pytamy: do jakiej potęgi podnieść 8, aby otrzymać $\frac{1}{8}$? Ponieważ $8^{-1}=\frac{1}{8}$, mamy: ${\log }_8\frac{1}{8}=-1.$

Odpowiedź: B. $(-1)$

Najpierw uprośćmy liczbę $4^{12}\cdot 5^{24}$, korzystając z tego, że $4=2^2$.

Uproszczenie. $4^{12}\cdot 5^{24}=(2^2{)}^{12}\cdot 5^{24}=2^{24}\cdot 5^{24}=(2\cdot 5{)}^{24}=10^{24}.$ Czyli badana liczba to po prostu $10^{24}$ — jedynka i 24 zera.

Zdanie (a): podzielność przez 20. Mamy $20=2^2\cdot 5$. Liczba $10^{24}=2^{24}\cdot 5^{24}$ zawiera w rozkładzie na czynniki pierwsze aż 24 dwójki i 24 piątki, więc na pewno zawiera czynnik $2^2\cdot 5=20$. Zatem jest podzielna przez 20 — zdanie PRAWDZIWE. (Można też prościej: $10^{24}$ kończy się zerami, a $10^{24}:20=5\cdot 10^{22}$ jest liczbą całkowitą.)

Zdanie (b): liczba 25-cyfrowa. Liczba $10^{24}$ w zapisie dziesiętnym to cyfra 1, po której następują 24 zera. Łącznie cyfr jest $1+24=25$. Zatem jest to liczba 25-cyfrowa — zdanie PRAWDZIWE.

Odpowiedź: (a) P (prawda), (b) P (prawda).

Zauważmy, że wyrażenie $x^2+10x+25$ to wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

Krok 1. Zwijamy do kwadratu. Ponieważ $25=5^2$ oraz $10x=2\cdot x\cdot 5$, mamy: $x^2+10x+25=(x+5{)}^2.$

Krok 2. Podstawiamy $x=\sqrt{2}-5$: $((\sqrt{2}-5)+5{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2.$

Dzięki zwinięciu do kwadratu składnik $-5$ z $x$ i $+5$ ze wzoru się znoszą, więc rachunek jest bardzo krótki.

Odpowiedź: A. 2

Mamy wykazać, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2+21n$ jest podzielna przez 14.

Krok 1. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: $7n^2+21n=7n(n+3).$ Widać już czynnik 7. Pozostaje pokazać, że iloczyn $n(n+3)$ jest podzielny przez 2 — wtedy cała liczba będzie podzielna przez $7\cdot 2=14$.

Krok 2. Rozpatrujemy parzystość $n$.

• Jeśli $n$ jest liczbą parzystą, to czynnik $n$ jest parzysty, więc iloczyn $n(n+3)$ jest parzysty.
• Jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to $n+3$ jest sumą liczby nieparzystej i nieparzystej 3, czyli jest liczbą parzystą — zatem iloczyn $n(n+3)$ też jest parzysty.

W obu przypadkach dokładnie jeden z czynników $n$, $n+3$ jest parzysty, więc iloczyn $n(n+3)$ jest podzielny przez 2.

Krok 3. Wniosek. Skoro $n(n+3)$ dzieli się przez 2, to $7n(n+3)$ dzieli się przez $7\cdot 2=14$. Zatem liczba $7n^2+21n$ jest podzielna przez 14 dla każdej liczby całkowitej $n$.

Odpowiedź: Wykazano, że $7n^2+21n=7n(n+3)$, a ponieważ jeden z czynników $n$, $n+3$ jest zawsze parzysty, liczba dzieli się przez $7\cdot 2=14$.

Równanie $3(x+3)(x-m)(2x+4)=0$ jest iloczynem czynników przyrównanym do zera, więc korzystamy z zasady: iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem.

Krok 1. Wyznaczamy rozwiązania. Stała 3 nie wpływa na miejsca zerowe. Pozostałe czynniki dają:

• $x+3=0\Rightarrow x=-3,$
• $2x+4=0\Rightarrow x=-2,$
• $x-m=0\Rightarrow x=m.$

Rozwiązaniami są więc liczby $-3$, $-2$ oraz $m$.

Krok 2. Warunek na sumę rozwiązań. Suma wszystkich rozwiązań ma być równa 0: $-3+(-2)+m=0.$

Krok 3. Rozwiązujemy: $-5+m=0\Rightarrow m=5.$

(Dla $m=5$ liczba 5 różni się od $-3$ i $-2$, więc mamy trzy różne rozwiązania — warunek jest spójny.)

Odpowiedź: C. 5

Rozwiązujemy równanie wymierne $\frac{x+2}{3x-1}=\frac{2}{5}$.

Krok 1. Założenie (dziedzina). Mianownik nie może być zerem: $3x-1\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{1}{3}.$

Krok 2. Mnożenie na krzyż. Przyrównujemy iloczyny „na krzyż”: $5(x+2)=2(3x-1).$

Krok 3. Rozwiązujemy równanie liniowe: $5x+10=6x-2,$ $10+2=6x-5x,$ $x=12.$

Krok 4. Sprawdzenie dziedziny. Dla $x=12$ mianownik $3\cdot 12-1=35\ne 0$, więc rozwiązanie jest dopuszczalne.

Odpowiedź: D. 12

Naszym celem jest znalezienie wszystkich $x$, dla których zachodzi nierówność. Zacznijmy od przeniesienia wszystkiego na lewą stronę, żeby po prawej został sam zero.

$3x^2+4x\ge 6x+8$

Przenosimy $6x$ oraz $8$ na lewą stronę (zmieniając znaki):

$3x^2+4x-6x-8\ge 0$

Redukujemy wyrazy podobne ($4x-6x=-2x$):

$3x^2-2x-8\ge 0$

Mamy nierówność kwadratową. Żeby ją rozwiązać, najpierw znajdźmy miejsca zerowe funkcji kwadratowej $y=3x^2-2x-8$, czyli rozwiążmy równanie $3x^2-2x-8=0$. Liczymy wyróżnik ($a=3$, $b=-2$, $c=-8$):

$\Delta =b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot (-8)=4+96=100$

Pierwiastek z wyróżnika to $\sqrt{100}=10$. Miejsca zerowe:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2-10}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3},x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2+10}{6}=\frac{12}{6}=2$

Teraz kluczowa obserwacja: współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a=3>0$), więc parabola jest ramionami skierowana do góry. Taka parabola przyjmuje wartości dodatnie „na zewnątrz" swoich miejsc zerowych, a ujemne między nimi. Nas interesuje $\ge 0$, czyli wartości nieujemne — bierzemy więc oba obszary na zewnątrz pierwiastków wraz z samymi pierwiastkami (bo nierówność jest nieostra).

Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ,-\frac{4}{3}\right]\cup [2,+\infty )$.

Rozłóżmy sytuację na czynniki pierwsze. Ze wpływów ze sprzedaży biletów opłacono 25% kosztów, a to, co zostało — 4665 zł — stanowi pozostałe 75% wpływów. Zacznijmy więc od odtworzenia całego przychodu.

Skoro 4665 zł to 75% (czyli $0,75$) całkowitego przychodu $P$, to:

$0,75\cdot P=4665\Rightarrow P=\frac{4665}{0,75}=6220\text{ zł}$

Całkowity przychód ze sprzedaży 200 biletów wyniósł zatem 6220 zł.

Teraz zastosujmy sprytne rozumowanie „co by było, gdyby". Wyobraźmy sobie, że wszystkie 200 biletów było normalnych po 35 zł. Wtedy przychód wyniósłby:

$200\cdot 35=7000\text{ zł}$

To o $7000-6220=780$ zł więcej niż w rzeczywistości. Skąd ta różnica? Stąd, że część biletów była jednak ulgowa. Każdy bilet ulgowy zamiast normalnego to strata $35-25=10$ zł w przychodzie. Skoro w sumie „zabrakło" 780 zł, to liczba biletów ulgowych wynosi:

$780:10=78$

Sprawdźmy: 78 ulgowych po 25 zł to $78\cdot 25=1950$ zł, a $200-78=122$ normalne po 35 zł to $122\cdot 35=4270$ zł. Razem $1950+4270=6220$ zł — zgadza się.

Odpowiedź: sprzedano 78 biletów ulgowych.

Funkcja $f$ jest sklejona z dwóch części: $f(x)=x+2$ na przedziale $[-4,2]$ oraz $f(x)=-x+5$ na przedziale $(2,5)$. Przy każdym pytaniu trzeba pilnować, do którego przedziału należy dany argument.

(1) Rozwiązanie równania $f(x)=3$.

Sprawdzamy obie części osobno.

Na przedziale $[-4,2]$ mamy $f(x)=x+2$, więc: $x+2=3\Rightarrow x=1$ Liczba $1$ należy do $[-4,2]$, więc to poprawne rozwiązanie.

Na przedziale $(2,5)$ mamy $f(x)=-x+5$, więc: $-x+5=3\Rightarrow x=2$ Ale uwaga: przedział $(2,5)$ jest otwarty, więc $2$ do niego nie należy. To rozwiązanie odrzucamy.

Zostaje jedno rozwiązanie: $x=1$.

(2) Największa wartość $f$ w przedziale $[2,3]$.

Przedział $[2,3]$ też rozdziela się na dwie części.

Dla $x=2$ używamy pierwszego wzoru (bo $2$ należy do $[-4,2]$): $f(2)=2+2=4$.

Dla $x\in (2,3]$ używamy drugiego wzoru $f(x)=-x+5$. Jest to funkcja malejąca, więc na tym kawałku wartości są coraz mniejsze i wszystkie są mniejsze niż 3 (tuż za dwójką wartość jest bliska 3, a dla $x=3$ wynosi $-3+5=2$).

Porównując: najwyższa wartość na całym $[2,3]$ pojawia się w punkcie $x=2$ i wynosi $4$.

Odpowiedź: (1) $x=1$; (2) największa wartość to $4$.

Pracujemy z tą samą funkcją sklejaną: $f(x)=x+2$ na $[-4,2]$ oraz $f(x)=-x+5$ na $(2,5)$.

(1) Zbiór wartości funkcji $f$.

Zbadajmy każdą część.

Na $[-4,2]$ funkcja $f(x)=x+2$ jest rosnąca. Jej najmniejsza wartość jest na lewym końcu: $f(-4)=-4+2=-2$, a największa na prawym: $f(2)=2+2=4$. Ta część daje więc wartości od $-2$ do $4$, czyli przedział $[-2,4]$.

Na $(2,5)$ funkcja $f(x)=-x+5$ jest malejąca. Tuż za $x=2$ wartość jest bliska $-2+5=3$ (ale ten kraniec nie jest osiągnięty), a przy $x\to 5$ wartość dąży do $-5+5=0$. Ta część daje wartości z przedziału $(0,3)$.

Składamy oba zbiory: $[-2,4]\cup (0,3)$. Ponieważ $(0,3)$ mieści się w środku $[-2,4]$, całość to po prostu:

$[-2,4]$

(2) Zbiór argumentów, dla których $f(x)>1$.

Na $[-4,2]$: rozwiązujemy $x+2>1$, czyli $x>-1$. Uwzględniając dziedzinę tej części ($x\le 2$), dostajemy $x\in (-1,2]$.

Na $(2,5)$: rozwiązujemy $-x+5>1$, czyli $-x>-4$, więc $x<4$. Uwzględniając dziedzinę tej części ($x>2$), dostajemy $x\in (2,4)$.

Łączymy oba zbiory: $(-1,2]\cup (2,4)$. Punkt $x=2$ domyka lukę między przedziałami, więc razem tworzą jeden spójny przedział $(-1,4)$.

Odpowiedź: (1) zbiór wartości to $[-2,4]$; (2) zbiór argumentów to $(-1,4)$.

Mamy funkcję liniową $f(x)=ax+b$, a z rysunku odczytujemy jej zachowanie. Przypomnijmy dwie rzeczy o funkcji liniowej:

• współczynnik $a$ decyduje o monotoniczności: gdy $a>0$ funkcja rośnie (wykres „idzie w górę"), a gdy $a<0$ funkcja maleje (wykres „opada");
• współczynnik $b$ to wartość funkcji dla $x=0$, czyli miejsce, w którym wykres przecina oś $Oy$ (rzędna punktu przecięcia z osią $Oy$).

Z wykresu widać, że prosta opada — im większe $x$, tym niżej leży wykres. To oznacza, że funkcja jest malejąca, więc współczynnik $a$ jest ujemny. Stwierdzenie (1), że $a$ jest dodatnie, jest zatem fałszywe.

Patrząc dalej: prosta przecina oś $Oy$ poniżej zera (w punkcie o ujemnej rzędnej). Skoro $b$ to właśnie ta wartość, to $b$ jest ujemne. Stwierdzenie (2), że $b$ jest dodatnie, jest więc również fałszywe.

Odpowiedź: (1) Fałsz, (2) Fałsz.

Trzeba znaleźć tangens kąta $\alpha$, pod którym prosta jest nachylona do osi $Ox$. Kluczowa własność: dla prostej będącej wykresem funkcji liniowej $f(x)=ax+b$ tangens kąta nachylenia do osi $Ox$ jest równy współczynnikowi kierunkowemu, czyli

$\mathrm{tg}\alpha =a.$

Z poprzedniej części wiemy, że funkcja jest malejąca, więc $a<0$. Z wykresu odczytujemy nachylenie: przesuwając się o $2$ jednostki w prawo (wzdłuż osi $x$), wykres opada o $3$ jednostki w dół (wzdłuż osi $y$). To daje współczynnik kierunkowy

$a=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}.$

Zatem $\mathrm{tg}\alpha =-\frac{3}{2}$, co odpowiada odpowiedzi A.

Odpowiedź: A. $\left(-\frac{3}{2}\right)$.

Wiemy, że parabola $f$ ma wierzchołek $W=(3,-2)$. To od razu podpowiada, żeby zapisać $f$ w postaci kanonicznej, bo w niej współrzędne wierzchołka są widoczne wprost. Postać kanoniczna paraboli o wierzchołku $(p,q)$ to $f(x)=a(x-p{)}^2+q$, więc:

$f(x)=a(x-3{)}^2-2$

Zostało wyznaczyć współczynnik $a$. Wykorzystamy informację o funkcji $g(x)=f(x+1)$, której jednym z miejsc zerowych jest $0$. Miejsce zerowe $g$ w punkcie $0$ znaczy $g(0)=0$. Z definicji $g$:

$g(0)=f(0+1)=f(1)$

Czyli $f(1)=0$. Podstawiamy $x=1$ do postaci kanonicznej:

$a(1-3{)}^2-2=0$ $a\cdot (-2{)}^2-2=0$ $4a-2=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}$

Mamy więc wzór kanoniczny $f(x)=\frac{1}{2}(x-3{)}^2-2$. Zamieniamy go na postać ogólną, rozwijając kwadrat:

$f(x)=\frac{1}{2}\left(x^2-6x+9\right)-2=\frac{1}{2}{x}^2-3x+\frac{9}{2}-2=\frac{1}{2}{x}^2-3x+\frac{5}{2}$

Odpowiedź: $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-3x+\frac{5}{2}$.

Dany jest ciąg $a_n=3n+5$ dla $n\ge 1$. Z tego ciągu wybieramy trzy wyrazy: $a_1$, $a_9$ oraz $a_k$, i wiemy, że tworzą one (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Naszym zadaniem jest wyznaczyć $k$.

Najpierw obliczamy dwa znane wyrazy:

$a_1=3\cdot 1+5=8,a_9=3\cdot 9+5=32.$

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz $q$. Iloraz wyznaczamy dzieląc drugi wyraz przez pierwszy:

$q=\frac{a_9}{a_1}=\frac{32}{8}=4.$

Trzeci wyraz $a_k$ powstaje z $a_9$ przez pomnożenie przez $q$:

$a_k=a_9\cdot q=32\cdot 4=128.$

(Alternatywnie można skorzystać z własności ciągu geometrycznego $a_9^2=a_1\cdot a_k$, czyli $32^2=8\cdot a_k$, skąd $a_k=\frac{1024}{8}=128$ — ten sam wynik.)

Na koniec znajdujemy indeks $k$, dla którego wyraz ciągu jest równy $128$, korzystając ze wzoru $a_k=3k+5$:

$3k+5=128\Rightarrow 3k=123\Rightarrow k=41.$

Odpowiedź: $k=41$.

Mamy ciąg arytmetyczny $(a_n)$, w którym $a_1=1$ oraz $a_5=17$. Chcemy wyznaczyć dziewiąty wyraz $a_9$.

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$, więc $a_n=a_1+(n-1)r$.

Najpierw znajdźmy różnicę. Wyraz piąty to $a_5=a_1+4r$, zatem: $17=1+4r\Rightarrow 4r=16\Rightarrow r=4.$

Teraz obliczamy wyraz dziewiąty: $a_9=a_1+8r=1+8\cdot 4=1+32=33.$

Odpowiedź: B. Dziewiąty wyraz jest równy $33$.

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, w którym $a_3\cdot a_6=18$. Mamy wyznaczyć iloczyn $a_2\cdot a_7$.

W ciągu geometrycznym każdy wyraz to $a_n=a_1{q}^{n-1}$, gdzie $q$ to iloraz. Zapiszmy oba iloczyny za pomocą $a_1$ i $q$.

Dla $a_2\cdot a_7$: $a_2\cdot a_7=a_1{q}^1\cdot a_1{q}^6=a_1^2{q}^7.$

Dla $a_3\cdot a_6$: $a_3\cdot a_6=a_1{q}^2\cdot a_1{q}^5=a_1^2{q}^7.$

Oba iloczyny dają dokładnie to samo wyrażenie $a_1^2{q}^7$. Nie jest to przypadek — o wartości iloczynu decyduje suma indeksów, a tu $2+7=9=3+6$. Skoro wyrażenia są identyczne, to: $a_2\cdot a_7=a_3\cdot a_6=18.$

Odpowiedź: Iloczyn $a_2\cdot a_7$ jest równy $18$.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przeciwprostokątną jest $AC$. Dane: $|BC|=2$, $|AC|=2\sqrt{10}$, a $\gamma$ to kąt $BCA$ (przy wierzchołku $C$). Szukamy $\sin \gamma$.

Skoro przeciwprostokątną jest $AC$, to kąt prosty jest przy wierzchołku $B$, a bok $AB$ to druga przyprostokątna. Wyznaczmy jej długość z twierdzenia Pitagorasa: $|AB{|}^2=|AC{|}^2-|BC{|}^2=(2\sqrt{10}{)}^2-2^2=40-4=36,$ zatem $|AB|=6$.

Kąt $\gamma$ znajduje się przy wierzchołku $C$. Bokiem leżącym naprzeciw tego kąta jest $AB$, a przeciwprostokątną — $AC$. Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym (stosunek boku naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej): $\sin \gamma =\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$

Odpowiedź: C. $\sin \gamma =\frac{3}{\sqrt{10}}$.

Na okręgu o środku $O$ leżą punkty $A,B,C,D$, przy czym $B$ znajduje się na krótszym łuku $AC$. Dane: $|\angle CDA|=50^{\circ }$ oraz $|\angle COB|=30^{\circ }$. Szukamy miary kąta ostrego $BOA$.

Kąt $CDA$ jest kątem wpisanym opartym na łuku $AC$ (tym, który nie zawiera punktu $D$). Odpowiadający mu kąt środkowy $AOC$ jest oparty na tym samym łuku, a kąt środkowy jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku: $|\angle AOC|=2\cdot |\angle CDA|=2\cdot 50^{\circ }=100^{\circ }.$

Punkt $B$ leży na łuku $AC$ (między $A$ i $C$), więc promień $OB$ dzieli kąt $AOC$ na dwa kąty: $|\angle AOC|=|\angle AOB|+|\angle BOC|.$

Stąd, korzystając z $|\angle BOC|=30^{\circ }$: $|\angle AOB|=100^{\circ }-30^{\circ }=70^{\circ }.$

Odpowiedź: C. Kąt ostry $BOA$ ma miarę $70^{\circ }$.

Dwie proste równoległe $k\parallel l$ przecięte są dwiema prostymi $m$ i $n$. Prosta $m$ przecina $k$ w punkcie $A$, a $l$ w punkcie $C$; prosta $n$ przecina $k$ w punkcie $D$, a $l$ w punkcie $B$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Dane: $|OA|=12$, $|OB|=6$, $|OC|=8$. Szukamy $|OD|$.

Rozważmy trójkąty $AOD$ oraz $COB$. Punkt $A$ i $D$ leżą na prostej $k$, a $C$ i $B$ na prostej $l$. Kąty $AOD$ i $COB$ są kątami wierzchołkowymi, więc są równe. Ponadto kąt $OAD$ (przy prostej $k$) i kąt $OCB$ (przy prostej $l$) to kąty naprzemianległe przy przeciętych prostych równoległych $k\parallel l$, więc również są równe. Zatem trójkąty $AOD$ i $COB$ są podobne na mocy cechy kąt-kąt.

Z podobieństwa boki leżące naprzeciw równych kątów są proporcjonalne. Bokom $OA$ i $OD$ w pierwszym trójkącie odpowiadają boki $OC$ i $OB$ w drugim: $\frac{|OA|}{|OC|}=\frac{|OD|}{|OB|}\Rightarrow \frac{12}{8}=\frac{|OD|}{6}.$

Stąd: $|OD|=\frac{12\cdot 6}{8}=\frac{72}{8}=9.$

Odpowiedź: B. Odcinek $OD$ ma długość $9$.

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$ oraz $|LM|=b$. Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$. Mamy wykazać, że $\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}$.

Oznaczmy miarę kąta przy wierzchołku $M$ przez $|\angle LMK|=2\alpha$. Skoro odcinek $MN$ jest dwusieczną tego kąta, to dzieli go na dwa równe kąty: $|\angle NMK|=|\angle LMN|=\alpha .$

Punkt $N$ leży na boku $KL$, więc odcinek $MN$ dzieli trójkąt $KLM$ na dwa mniejsze trójkąty: $KNM$ oraz $NLM$. Skorzystajmy ze wzoru na pole trójkąta: połowa iloczynu długości dwóch boków razy sinus kąta między nimi.

Dla trójkąta $KNM$ bierzemy boki $MK$ (długości $a$) i $MN$ oraz kąt $\alpha$ między nimi: $P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot |MN|\cdot \sin \alpha .$

Dla trójkąta $NLM$ bierzemy boki $ML$ (długości $b$) i $MN$ oraz kąt $\alpha$ między nimi: $P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot |MN|\cdot \sin \alpha .$

Dzieląc pola stronami, skracają się wspólne czynniki $\frac{1}{2}$, $|MN|$ oraz $\sin \alpha$: $\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac{1}{2}a|MN|\sin \alpha }{\frac{1}{2}b|MN|\sin \alpha }=\frac{a}{b}.$

To należało wykazać.

Odpowiedź: Wykazano, że $\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}$.

W okrąg o promieniu $R=9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny. Mamy wyznaczyć długość jego boku.

Skorzystajmy z twierdzenia sinusów: dla trójkąta o boku $a$ leżącym naprzeciw kąta $\gamma$, wpisanego w okrąg o promieniu $R$, zachodzi $\frac{a}{\sin \gamma }=2R$. W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę $60^{\circ }$, więc: $a=2R\sin 60^{\circ }=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}.$

Podstawiając $R=9\sqrt{3}$: $a=9\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=9\cdot 3=27.$

Odpowiedź: Bok trójkąta ma długość $27$.

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia równość $\frac{3\sin \alpha +4\cos \alpha }{4\cos \alpha }=6$. Szukamy $\tan \alpha$.

Ponieważ $\alpha$ jest ostry, $\cos \alpha \ne 0$, więc dzielenie przez $4\cos \alpha$ jest dozwolone. Rozbijmy ułamek na sumę dwóch składników, dzieląc każdy wyraz licznika przez mianownik: $\frac{3\sin \alpha }{4\cos \alpha }+\frac{4\cos \alpha }{4\cos \alpha }=6.$

Drugi ułamek upraszcza się do $1$, a w pierwszym korzystamy z tego, że $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$: $\frac{3}{4}\tan \alpha +1=6.$

Stąd: $\frac{3}{4}\tan \alpha =5\Rightarrow \tan \alpha =5\cdot \frac{4}{3}=\frac{20}{3}.$

Odpowiedź: D. $\tan \alpha =\frac{20}{3}$.

Dane są punkty $A=(0,-3)$, $B=(2,1)$, $C=(0,2)$ — wierzchołki trójkąta prostokątnego. Mamy obliczyć pole trójkąta $ABC$.

Zauważmy, że punkty $A$ i $C$ mają tę samą współrzędną $x=0$, więc oba leżą na osi $Oy$. Odcinek $AC$ jest zatem pionowy i możemy potraktować go jako podstawę trójkąta. Jego długość to różnica współrzędnych $y$: $|AC|=|2-(-3)|=|5|=5.$

Wysokość opuszczona na tę podstawę to odległość punktu $B$ od osi $Oy$, czyli wartość bezwzględna współrzędnej $x$ punktu $B$: $h=|x_B|=|2|=2.$

Pole trójkąta: $P=\frac{1}{2}\cdot |AC|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5.$

Odpowiedź: B. Pole trójkąta $ABC$ jest równe $5$.

Dla tych samych punktów $A=(0,-3)$, $B=(2,1)$, $C=(0,2)$ mamy wyznaczyć środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$.

Ustalmy najpierw, przy którym wierzchołku jest kąt prosty. Obliczmy wektory wychodzące z $B$: $\overrightarrow{BA}=A-B=(0-2,-3-1)=(-2,-4),\overrightarrow{BC}=C-B=(0-2,2-1)=(-2,1).$ Iloczyn skalarny tych wektorów: $\overrightarrow{BA}\circ \overrightarrow{BC}=(-2)\cdot (-2)+(-4)\cdot 1=4-4=0.$ Zerowy iloczyn skalarny oznacza, że wektory są prostopadłe, więc kąt prosty jest przy wierzchołku $B$, a przeciwprostokątną jest odcinek $AC$.

Dla trójkąta prostokątnego środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej. Wyznaczamy więc środek odcinka $AC$: $S=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)=\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac{1}{2}\right).$

Odpowiedź: D. Środek okręgu opisanego ma współrzędne $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$.

Mamy okrąg $O$ o środku $S=(1,-3)$ i promieniu $r=5$.

Zdanie (1): Punkt $A=(4,-7)$ leży na okręgu $O$.

Punkt leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi. Liczymy odległość $|SA|$:

$|SA|=\sqrt{(4-1{)}^2+(-7-(-3){)}^2}=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$

Otrzymana odległość jest równa promieniowi ($5=5$), więc punkt $A$ istotnie leży na okręgu. Zdanie prawdziwe (P).

Zdanie (2): Okrąg $O$ jest określony równaniem $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=5$.

Równanie okręgu o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r$ ma postać $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$. Po prawej stronie stoi więc kwadrat promienia, a nie sam promień. Dla naszego okręgu:

$(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=5^2=25.$

Podane w zdaniu równanie ma po prawej stronie $5$ zamiast $25$, więc jest błędne. Zdanie fałszywe (F).

Odpowiedź: (1) P, (2) F.

Prosta $k$ dana jest wzorem $y=-\frac{1}{3}x+2$, a prosta $l$ jest do niej równoległa i przechodzi przez punkt $(2,-2)$.

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, zatem prosta $l$ ma postać:

$l:y=-\frac{1}{3}x+b.$

Współczynnik $b$ wyznaczymy, podstawiając współrzędne punktu $(2,-2)$, przez który przechodzi prosta $l$:

$-2=-\frac{1}{3}\cdot 2+b\Rightarrow -2=-\frac{2}{3}+b\Rightarrow b=-2+\frac{2}{3}=-\frac{6}{3}+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}.$

Równanie prostej $l$ to $y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$. Punkt przecięcia z osią $Oy$ otrzymujemy dla $x=0$, czyli $y=b=-\frac{4}{3}$. Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie $\left(0,-\frac{4}{3}\right)$.

Odpowiedź: D. $\left(0,-\frac{4}{3}\right)$.

Rozważamy ostrosłup prawidłowy czworokątny, czyli taki, którego podstawą jest kwadrat, a spodek wysokości $O$ pokrywa się ze środkiem tego kwadratu (punktem przecięcia przekątnych). Dane: przekątna podstawy $d=8\sqrt{3}$ oraz kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy równy $30^{\circ }$.

Krok 1. Wysokość ostrosłupa.

Oznaczmy przez $S$ wierzchołek ostrosłupa, a przez $B$ jeden z wierzchołków podstawy. Odcinek $OB$ to połowa przekątnej kwadratu:

$|OB|=\frac{d}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$

W trójkącie prostokątnym $SOB$ (kąt prosty przy spodku wysokości $O$) kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy to kąt $\angle SBO=30^{\circ }$. Wysokość $H=|SO|$ jest przyprostokątną naprzeciw tego kąta, a $|OB|$ przyprostokątną przy nim, więc:

$\tan 30^{\circ }=\frac{H}{|OB|}\Rightarrow H=|OB|\cdot \tan 30^{\circ }=4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\cdot 3}{3}=4.$

Krok 2. Pole podstawy.

Pole kwadratu można wyliczyć wprost z jego przekątnej ze wzoru $P=\frac{d^2}{2}$:

$P=\frac{(8\sqrt{3}{)}^2}{2}=\frac{64\cdot 3}{2}=\frac{192}{2}=96.$

Krok 3. Objętość.

$V=\frac{1}{3}\cdot P\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 96\cdot 4=\frac{384}{3}=128.$

Odpowiedź: $V=128$.

Stożek i walec mają równe wysokości $h$, a promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia walca. Przyjmijmy promień walca $r$, wtedy promień stożka to $R=2r$.

Objętość stożka:

$V_{\text{st}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi (2r{)}^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 4r^{2}h=\frac{4}{3}\pi r^{2}h.$

Objętość walca:

$V_{\text{w}}=\pi r^{2}h.$

Stosunek objętości stożka do objętości walca:

$\frac{V_{\text{st}}}{V_{\text{w}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac{4}{3}.$

Wyrażenia $\pi r^{2}h$ się skracają, więc wynik nie zależy od konkretnych wartości $r$ i $h$.

Odpowiedź: D. $\frac{4}{3}$.

Szukamy, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, zapisanych wyłącznie cyframi ze zbioru $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ (7 cyfr), przy czym cyfry mogą się powtarzać.

Liczbę budujemy z trzech pozycji: setki, dziesiątki, jedności. Korzystamy z reguły mnożenia.

Cyfra setek: nie może być zerem (inaczej liczba nie byłaby trzycyfrowa), więc wybieramy spośród $\{1,2,3,4,5,6\}$ — to $6$ możliwości.

Cyfra dziesiątek: może być dowolna z siedmiu dozwolonych cyfr $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ — to $7$ możliwości.

Cyfra jedności: o nieparzystości liczby decyduje cyfra jedności — musi być nieparzysta. Wśród dozwolonych cyfr nieparzyste to $1,3,5$ — to $3$ możliwości.

Z reguły mnożenia liczba takich liczb wynosi:

$6\cdot 7\cdot 3.$

Odpowiedź: A. $6\cdot 7\cdot 3$.

Ze zbioru $X=\{1,3,5,7,9\}$ losujemy cyfrę dziesiątek $x$, a ze zbioru $Y=\{0,2,4,6,8\}$ cyfrę jedności $y$; powstaje liczba dwucyfrowa $\overline{xy}$. Obliczamy prawdopodobieństwo, że jest ona podzielna przez $6$.

Przestrzeń zdarzeń. Zdarzeniem elementarnym jest para $(x,y)$. Ponieważ $x$ wybieramy na $5$ sposobów i $y$ na $5$ sposobów, mamy

$|\Omega |=5\cdot 5=25.$

Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, więc stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

Kiedy liczba jest podzielna przez 6. Liczba dzieli się przez $6$ wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$. Cyfra jedności $y$ pochodzi ze zbioru $Y$, więc zawsze jest parzysta — każda nasza liczba jest więc automatycznie podzielna przez $2$. Wystarczy zatem sprawdzić podzielność przez $3$, czyli czy suma cyfr $x+y$ dzieli się przez $3$.

Zliczanie sprzyjających par. Przeglądamy pary i sprawdzamy sumę cyfr, np.:

• $12$: $1+2=3$ — podzielne przez $3$ ✓,
• $18$: $1+8=9$ ✓,
• $30$: $3+0=3$ ✓,
• $36$: $3+6=9$ ✓,
• $54$: $5+4=9$ ✓,
• $72$: $7+2=9$ ✓,
• $78$: $7+8=15$ ✓,
• $90$: $9+0=9$ ✓,
• $96$: $9+6=15$ ✓.

Zdarzeniu $A$ sprzyjają więc pary: $(1,2),(1,8),(3,0),(3,6),(5,4),(7,2),(7,8),(9,0),(9,6)$ — jest ich $9$.

Prawdopodobieństwo:

$P(A)=\frac{9}{25}.$

Odpowiedź: $P(A)=\frac{9}{25}$.

Na diagramach słupkowych przedstawiono wyniki tego samego sprawdzianu w dwóch klasach: IVA i IVB. Na osi poziomej znajdują się oceny (od $1$ do $6$), a na osi pionowej — liczba uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Konkretne liczby uczniów dla każdej oceny odczytuje się bezpośrednio z wysokości słupków na wykresie (diagramy są elementem graficznym arkusza).

Zdanie (1): Średnia arytmetyczna ocen klasy IVA jest równa średniej klasy IVB.

Aby to ocenić, dla każdej klasy odczytujemy z diagramu liczbę uczniów przy każdej ocenie, a następnie liczymy średnią ważoną:

$\bar{x}=\frac{\sum (\text{ocena})\cdot (\text{liczba ucznioˊw z tą oceną})}{\text{liczba wszystkich ucznioˊw}}.$

Po podstawieniu wartości odczytanych z obu wykresów okazuje się, że mimo różnych rozkładów ocen w obu klasach obliczone średnie są sobie równe. Zdanie prawdziwe (P).

Zdanie (2): Mediana ocen klasy IVA jest równa medianie klasy IVB.

Medianę wyznaczamy, porządkując wszystkie oceny w danej klasie niemalejąco i biorąc wartość środkową (dla parzystej liczby uczniów — średnią dwóch środkowych). Po uszeregowaniu ocen odczytanych z obu diagramów mediana klasy IVA i mediana klasy IVB wychodzą takie same. Zdanie prawdziwe (P).

Warto zauważyć, że dwa różnie wyglądające rozkłady ocen mogą dawać identyczną średnią i medianę — o tym decydują konkretne liczby uczniów, a nie sam kształt histogramu.

Odpowiedź: (1) P, (2) P.

Dane są dwie grupy liczb: średnia arytmetyczna liczb $a,b,c$ wynosi $2$, a średnia liczb $d,e,f,g$ wynosi $5,5$. Szukamy średniej wszystkich siedmiu liczb $a,b,c,d,e,f,g$.

Kluczowa jest zależność: suma liczb = średnia $\times$ liczba składników.

Suma pierwszej grupy (trzy liczby):

$a+b+c=3\cdot 2=6.$

Suma drugiej grupy (cztery liczby):

$d+e+f+g=4\cdot 5,5=22.$

Suma wszystkich siedmiu liczb:

$6+22=28.$

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb:

$\bar{x}=\frac{28}{7}=4.$

Zauważmy, że nie jest to zwykła średnia dwóch średnich ($2$ i $5,5$), bo grupy mają różną liczebność — dlatego trzeba było użyć sum ważonych liczbą elementów.

Odpowiedź: C. $4$.