Matematyka PP — Maj 2024

Rozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną

Wyrażenie $|x-1|$ oznacza odległość liczby $x$ od liczby $1$ na osi. Warunek $|x-1|\ge 3$ oznacza, że ta odległość jest nie mniejsza niż $3$. Rozbijamy na dwa przypadki:

$x-1\ge 3\text{lub}x-1\le -3.$

Stąd

$x\ge 4\text{lub}x\le -2.$

Zbiór rozwiązań

$x\in (-\infty ,-2]\cup [4,+\infty ).$

Na osi zaznaczamy dwie półproste: od $-2$ w lewo i od $4$ w prawo, oba końce zamalowane (nierówność nieostra).

Odpowiedź: B.

Zapisujemy wszystko jako potęgi liczby $2$

Mamy $\frac{1}{16}=2^{-4}$ oraz $8=2^3$. Zatem

${\left(\frac{1}{16}\right)}^8={\left(2^{-4}\right)}^8=2^{-32},8^{16}={\left(2^3\right)}^{16}=2^{48}.$

Mnożymy potęgi o tej samej podstawie

$2^{-32}\cdot 2^{48}=2^{-32+48}=2^{16}.$

Odpowiedź: B. $2^{16}$.

Zapisujemy sumę i rozwijamy kwadraty

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(n+k{)}^2=n^2+2kn+k^2$:

$n^2+(n+1{)}^2+(n+2{)}^2=n^2+\left(n^2+2n+1\right)+\left(n^2+4n+4\right).$

Porządkujemy wyrazy:

$=3n^2+6n+5.$

Wyodrębniamy wielokrotność liczby $3$

Zapisujemy $3n^2+6n+5$ tak, aby wydzielić resztę:

$3n^2+6n+5=3\left(n^2+2n+1\right)+2.$

Wniosek

Skoro $n$ jest liczbą naturalną, to $n^2+2n+1$ jest liczbą naturalną, więc $3\left(n^2+2n+1\right)$ jest podzielne przez $3$. Dodanie $2$ oznacza, że cała liczba przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$. To należało wykazać.

Zamieniamy logarytm na wykładnik

Niech ${\log }_{\sqrt{3}}9=t$. Z definicji logarytmu

${\left(\sqrt{3}\right)}^t=9.$

Sprowadzamy obie strony do podstawy $3$

Ponieważ $\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$ oraz $9=3^2$, mamy

${\left(3^{\frac{1}{2}}\right)}^t=3^2\Rightarrow 3^{\frac{t}{2}}=3^2.$

Porównujemy wykładniki:

$\frac{t}{2}=2\Rightarrow t=4.$

Odpowiedź: C. 4.

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów

Wyrażenie $(2a+b{)}^2-(2a-b{)}^2$ ma postać $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, gdzie $A=2a+b$, $B=2a-b$.

$A-B=(2a+b)-(2a-b)=2b,$ $A+B=(2a+b)+(2a-b)=4a.$

Mnożymy

$(2a+b{)}^2-(2a-b{)}^2=(2b)(4a)=8ab.$

Odpowiedź: B. $8ab$.

Grupujemy wyrazy z $x$ i wyrazy wolne

Nierówność: $1-\frac{3}{2}x<\frac{2}{3}-x$. Przenosimy $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą:

$-\frac{3}{2}x+x<\frac{2}{3}-1,$ $-\frac{1}{2}x<-\frac{1}{3}.$

Dzielimy przez liczbę ujemną (zmiana znaku nierówności)

Mnożymy obie strony przez $-2$ i odwracamy znak:

$x>\frac{2}{3}.$

Zbiór rozwiązań

$x\in \left(\frac{2}{3},+\infty \right).$

Odpowiedź: D.

Kiedy ułamek jest równy zeru

Ułamek $\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}$ jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

Licznik i dziedzina

Licznik: $x+1=0\Rightarrow x=-1$.

Dziedzina wymaga $x\ne -2$ oraz $x\ne 3$. Liczba $-1$ spełnia te warunki.

Wniosek

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x=-1$.

Odpowiedź: B.

Rozkładamy wielomian na czynniki

Wyłączamy wspólny czynnik $3x$:

$W(x)=3x^3+6x^2+9x=3x\left(x^2+2x+3\right).$

Stwierdzenie 1

Otrzymaliśmy dokładnie $W(x)=F(x)\cdot G(x)$, gdzie $F(x)=3x$ oraz $G(x)=x^2+2x+3$. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2

Sprawdzamy, czy $x=-1$ jest pierwiastkiem:

$W(-1)=3(-1{)}^3+6(-1{)}^2+9(-1)=-3+6-9=-6\ne 0.$

Liczba $-1$ nie jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$. Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: P, F.

Grupujemy wyrazy

Równanie $x^3-2x^2-3x+6=0$ rozwiązujemy metodą grupowania. Łączymy w pary:

$\left(x^3-2x^2\right)-\left(3x-6\right)=0,$ $x^2(x-2)-3(x-2)=0.$

Wyłączamy wspólny czynnik

$(x-2)\left(x^2-3\right)=0.$

Rozwiązujemy równania cząstkowe

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

• $x-2=0\Rightarrow x=2$,
• $x^2-3=0\Rightarrow x=\sqrt{3}$ lub $x=-\sqrt{3}$.

Odpowiedź

Równanie ma trzy rozwiązania:

$x=-\sqrt{3},x=\sqrt{3},x=2.$

Interpretujemy dane

Niech $x$ — liczba drzew posadzonych w pierwszym sadzie, $y$ — w drugim. Razem posadzono $1960$ drzew:

$x+y=1960.$

Liczba drzew, które pozostały

W pierwszym sadzie uschło $5\%$, więc pozostało $95\%$, czyli $0,95x$. W drugim uschło $10\%$, więc pozostało $90\%$, czyli $0,9y$.

Warunek porównujący pozostałe drzewa

Liczba drzew pozostałych w drugim sadzie stanowiła $60\%$ liczby drzew pozostałych w pierwszym:

$0,9y=0,6\cdot 0,95x.$

Układ

$\{\begin{array}{l}x+y=1960,\\ 0,6\cdot 0,95x=0,9y.\end{array}$

Odpowiedź: A.

Warunek równoległości prostych

Dwie proste dane w postaci kierunkowej $y=ax+b$ są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe $a$ i różne wyrazy wolne $b$ (wtedy nie mają punktów wspólnych — układ jest sprzeczny, a na rysunku widać dwie różne proste równoległe).

Sprawdzamy odpowiedzi

Tylko w odpowiedzi A obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy:

$y=-\frac{3}{2}x+3\text{oraz}y=-\frac{3}{2}x-1.$

Współczynniki kierunkowe są równe $\left(-\frac{3}{2}\right)$, a wyrazy wolne różne ($3\ne -1$), więc proste są równoległe i różne.

Odpowiedź: A.

Warunek malejącej funkcji liniowej

Funkcja liniowa $f(x)=(-2k+3)x+k-1$ jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny:

$-2k+3<0.$

Rozwiązujemy nierówność

$-2k<-3\Rightarrow k>\frac{3}{2}$

(dzielimy przez liczbę ujemną, więc odwracamy znak).

Wynik

$k\in \left(\frac{3}{2},+\infty \right).$

Odpowiedź: D.

Miejsce zerowe funkcji $f$

Szukamy wspólnego miejsca zerowego. Dla $f(x)=3x+6$:

$3x+6=0\Rightarrow x=-2.$

Wykorzystujemy je dla funkcji $g$

Funkcja $g(x)=ax+7$ ma to samo miejsce zerowe, więc $g(-2)=0$:

$a\cdot (-2)+7=0,$ $-2a=-7,$ $a=\frac{7}{2}.$

Odpowiedź: D. $\frac{7}{2}$.

Odczytujemy kluczowe punkty paraboli

Wykresem funkcji $f$ jest parabola o ramionach skierowanych w dół, o wierzchołku $(1,9)$ (zobacz zad. 14.2). Miejsca zerowe (punkty przecięcia z osią $Ox$) leżą symetrycznie względem osi $x=1$; z wykresu są to $x=-2$ oraz $x=4$.

Rozwiązujemy nierówność $f(x)\ge 0$

Parabola o ramionach w dół przyjmuje wartości nieujemne między miejscami zerowymi (włącznie z nimi):

$x\in [-2,4].$

Odpowiedź: $[-2,4]$.

Postać kanoniczna z wierzchołkiem

Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(1,9)$, więc wzór zapisujemy jako

$f(x)=a(x-1{)}^2+9.$

Ramiona są skierowane w dół, więc $a<0$.

Wyznaczamy współczynnik $a$

Z wykresu miejsca zerowe to $x=-2$ i $x=4$. Podstawiamy $x=4,f(4)=0$:

$a(4-1{)}^2+9=0\Rightarrow 9a+9=0\Rightarrow a=-1.$

Wzór funkcji

$f(x)=-(x-1{)}^2+9.$

Odpowiedź: B.

Wykorzystujemy symetrię paraboli

Osią symetrii wykresu jest prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek, czyli $x=1$. Funkcja przyjmuje równe wartości w punktach położonych symetrycznie względem tej osi.

Znajdujemy punkt symetryczny do $x=-4$

Punkt symetryczny $x^{\prime }$ spełnia $\frac{-4+x^{\prime }}{2}=1$, stąd

$x^{\prime }=6.$

Zatem $f(-4)=f(6)$.

Odpowiedź: A.

Analizujemy przekształcenia wykresu

Wyjściowa parabola $f$ ma wierzchołek $(1,9)$, ramiona w dół, miejsca zerowe $-2$ i $4$.

Funkcja $g(x)=f(x+3)$

Zastąpienie $x$ przez $x+3$ to przesunięcie wykresu w lewo o $3$ jednostki. Wierzchołek przechodzi z $(1,9)$ do $(-2,9)$, a miejsca zerowe do $-5$ i $1$. Taki wykres przedstawiono na rysunku A.

Funkcja $h(x)=f(-x)$

Zastąpienie $x$ przez $-x$ to odbicie wykresu względem osi $Oy$. Wierzchołek przechodzi z $(1,9)$ do $(-1,9)$, a miejsca zerowe do $2$ i $-4$. Taki wykres przedstawiono na rysunku E.

Odpowiedź: $g\to$ A, $h\to$ E.

Obliczamy potrzebne wyrazy ciągu

Ciąg $a_n=(-1{)}^n(n-5)$. Wyznaczamy:

$a_1=(-1{)}^1(1-5)=(-1)(-4)=4,$ $a_2=(-1{)}^2(2-5)=(1)(-3)=-3,$ $a_3=(-1{)}^3(3-5)=(-1)(-2)=2.$

Stwierdzenie 1

Czy pierwszy wyraz jest dwa razy większy od trzeciego? Sprawdzamy: $2\cdot a_3=2\cdot 2=4=a_1$. Zgadza się, więc stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2

Czy wszystkie wyrazy są dodatnie? Już $a_2=-3<0$, więc nie — stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: P, F.

Warunek ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Z pierwszych dwóch wyrazów

$q=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.$

Wyznaczamy trzeci wyraz i $m$

Trzeci wyraz to $6\cdot q=6\cdot \frac{1}{2}=3$. Z drugiej strony jest on równy $2m-1$:

$2m-1=3\Rightarrow 2m=4\Rightarrow m=2.$

Monotoniczność

Ciąg to $(12,6,3)$ — kolejne wyrazy maleją (iloraz $\frac{1}{2}\in (0,1)$ przy dodatnich wyrazach), więc ciąg jest malejący.

Odpowiedź: B oraz 2 (ciąg malejący, $m=2$).

Wykorzystujemy własność wyrazu środkowego sumy

Suma piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa $15$ razy wyraz środkowy, czyli ósmy:

$S_{15}=15\cdot a_8.$

Stąd

$-165=15\cdot a_8\Rightarrow a_8=-11.$

Łączymy z warunkiem na trzeci wyraz

W ciągu arytmetycznym $a_8=a_3+5r$. Podstawiamy $a_3=-1$ oraz $a_8=-11$:

$-11=-1+5r,$ $5r=-10,$ $r=-2.$

Wynik

Różnica ciągu jest równa $r=-2$.

Ustalamy znaki funkcji trygonometrycznych

Kąt spełnia $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, więc leży w drugiej ćwiartce. Wtedy

$\sin \alpha >0,\cos \alpha <0.$

Analizujemy zależności

• A. $\sin \alpha <0$ — fałsz (w II ćwiartce sinus dodatni).
• B. $\sin \alpha \cdot \cos \alpha <0$ — iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny, więc prawda.
• C. $\sin \alpha \cdot \cos \alpha >0$ — fałsz.
• D. $\cos \alpha >0$ — fałsz.
• E. $\sin \alpha =-\frac{1}{3}\cos \alpha$ — oznaczałoby $\mathrm{tg}\alpha =-\frac{1}{3}$, a mamy $\mathrm{tg}\alpha =-3$, więc fałsz.
• F. $\sin \alpha =-3\cos \alpha$ — dzieląc przez $\cos \alpha$ dostajemy $\mathrm{tg}\alpha =-3$, co jest dane, więc prawda.

Odpowiedź: B oraz F.

Wyłączamy wspólny czynnik

W obu składnikach występuje $\sin 20^{\circ }$. Wyłączamy go przed nawias:

${\sin }^{3}20^{\circ }+{\cos }^{2}20^{\circ }\cdot \sin 20^{\circ }=\sin 20^{\circ }\left({\sin }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}20^{\circ }\right).$

Stosujemy jedynkę trygonometryczną

Ponieważ ${\sin }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}20^{\circ }=1$, otrzymujemy

$\sin 20^{\circ }\cdot 1=\sin 20^{\circ }.$

Odpowiedź: B. $\sin 20^{\circ }$.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta

Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do przyległych boków. Dwusieczna kąta $KML$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$, więc

$\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|}.$

Podstawiamy oznaczenia

Przy $|KN|=c$, $|NL|=d$, $|KM|=a$, $|LM|=b$:

$\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.$

Mnożąc na krzyż:

$c\cdot b=a\cdot d,\text{czyli}a\cdot d=b\cdot c.$

Odpowiedź: B.

Wzór na pole równoległoboku

Pole równoległoboku o bokach $a,b$ i kącie $\gamma$ między nimi wynosi

$P=a\cdot b\cdot \sin \gamma .$

Podstawiamy dane

$a=3$, $b=4$, $\gamma =120^{\circ }$, przy czym $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$P=3\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$

Odpowiedź: D. $6\sqrt{3}$.

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku

Kąt $ACB$ o mierze $42^{\circ }$ jest kątem wpisanym opartym na łuku $AB$. Kąt środkowy $ASB$ oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy:

$|\angle ASB|=2\cdot 42^{\circ }=84^{\circ }.$

Trójkąt równoramienny $ASB$

Odcinki $SA$ i $SB$ są promieniami okręgu, więc trójkąt $ASB$ jest równoramienny. Kąty przy podstawie $AB$ są równe:

$|\angle BAS|=|\angle ABS|=\frac{180^{\circ }-84^{\circ }}{2}=\frac{96^{\circ }}{2}=48^{\circ }.$

Odpowiedź: C. $48^{\circ }$.

Warunek prostopadłości prostych

Proste $y=a_{1}x+b_1$ i $y=a_{2}x+b_2$ są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$:

$a_1\cdot a_2=-1.$

Podstawiamy

Współczynniki kierunkowe to $m+1$ oraz $-2$:

$(m+1)\cdot (-2)=-1,$ $m+1=\frac{1}{2},$ $m=-\frac{1}{2}.$

Odpowiedź: A. $\left(-\frac{1}{2}\right)$.

Punkt $P$ jest środkiem przekątnej $AC$

W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie, więc $P$ jest środkiem odcinka $AC$. Ze wzoru na środek odcinka wyznaczamy współrzędne $C=(x_C,y_C)$:

$\frac{-2+x_C}{2}=6\Rightarrow x_C=14,\frac{6+y_C}{2}=7\Rightarrow y_C=8.$

Zatem $C=(14,8)$.

Obliczamy długość boku $BC$

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów $B=(10,2)$ i $C=(14,8)$:

$|BC|=\sqrt{(14-10{)}^2+(8-2{)}^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.$

Odpowiedź: $|BC|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Wyznaczamy długość krawędzi podstawy

Podstawą jest sześciokąt foremny o boku $a$. Jego pole wyraża się wzorem

$P_{\text{podst}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2.$

Z warunku $P_{\text{podst}}=15\sqrt{3}$:

$\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=15\sqrt{3}\Rightarrow a^2=\frac{15\sqrt{3}\cdot 2}{3\sqrt{3}}=\frac{30}{3}=10\Rightarrow a=\sqrt{10}.$

Pole ściany bocznej

Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego to prostokąt o wymiarach $a\times H$, gdzie $H=6$:

$P_{\text{bocz}}=a\cdot H=\sqrt{10}\cdot 6=6\sqrt{10}.$

Odpowiedź: C. $6\sqrt{10}$.

Co to jest najdłuższa przekątna

Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego łączy dwa wierzchołki leżące po przekątnej — jeden w dolnej, drugi w górnej podstawie, po przeciwnych stronach sześciokąta. Jej rzutem na płaszczyznę podstawy jest najdłuższa przekątna sześciokąta (o długości $2a$), łącząca przeciwległe wierzchołki dolnej podstawy.

Kąt nachylenia do podstawy

Kątem nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy jest kąt między tą przekątną a jej rzutem na podstawę. Powstaje on w trójkącie prostokątnym, którego jedną przyprostokątną jest wysokość graniastosłupa, a drugą — przekątna $2a$ dolnej podstawy. Poprawnie zaznaczono go na rysunku D.

Odpowiedź: D.

Stosunek objętości brył podobnych

Gdy dwie bryły są podobne w skali $k$ (stosunek odpowiednich długości), to stosunek ich objętości jest równy $k^3$. Mamy

$\frac{V_{F_2}}{V_{F_1}}=\frac{512}{64}=8=k^3\Rightarrow k=\sqrt[3]{8}=2.$

Stosunek pól powierzchni

Stosunek pól powierzchni brył podobnych jest równy $k^2$:

$\frac{P_{F_2}}{P_{F_1}}=k^2=2^2=4.$

Odpowiedź: 4.

Zliczamy ustawienia czterech różnych cyfr

Kod składa się z czterech cyfr $1,3,6,8$, przy czym każda występuje dokładnie raz — czyli jest to ustawienie (permutacja) czterech różnych elementów. Liczbę takich ustawień liczymy regułą mnożenia:

• na pierwszej pozycji: $4$ możliwości,
• na drugiej: $3$ (jedna cyfra już użyta),
• na trzeciej: $2$,
• na czwartej: $1$.

$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4!=24.$

Odpowiedź: C. 24.

Zapisujemy warunek na średnią

Średnia arytmetyczna liczb $a,b,c$ jest równa $9$, więc

$\frac{a+b+c}{3}=9\Rightarrow a+b+c=27.$

Średnia sześciu liczb

W zestawie $a,a,b,b,c,c$ każda liczba występuje dwa razy, więc suma to $2(a+b+c)$:

$\frac{a+a+b+b+c+c}{6}=\frac{2(a+b+c)}{6}=\frac{2\cdot 27}{6}=\frac{54}{6}=9.$

Podwojenie każdej wartości i podwojenie liczby danych nie zmienia średniej.

Odpowiedź: A. 9.

Czym jest mediana

Mediana to wartość środkowa w zestawie danych uporządkowanych niemalejąco. Gdy liczba danych jest parzysta, mediana jest średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów.

Odczyt z diagramu

Porządkujemy oceny wszystkich uczniów rosnąco i zliczamy je od najniższej oceny, sumując kolejne słupki diagramu, aż dojdziemy do środka zestawu. Dwa środkowe wyrazy przypadają na oceny $3$ oraz $4$, więc

$\text{mediana}=\frac{3+4}{2}=3,5.$

Odpowiedź: C. $3,5$.

Przestrzeń zdarzeń

Losujemy dwa razy ze zwracaniem po jednej liczbie ze zbioru $K=\{5,6,7,8,9\}$ i zapisujemy wynik w kolejności. Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para liczb. Z reguły mnożenia

$|\Omega |=5\cdot 5=25.$

Kiedy suma jest parzysta

Suma dwóch liczb jest parzysta, gdy obie są parzyste albo obie nieparzyste. W zbiorze $K$ mamy:

• liczby parzyste: $6,8$ — jest ich $2$,
• liczby nieparzyste: $5,7,9$ — są $3$.

Zliczamy pary sprzyjające (reguła mnożenia i dodawania):

$|A|=\underset{\text{obie parzyste}}{\underbrace{2\cdot 2}}+\underset{\text{obie nieparzyste}}{\underbrace{3\cdot 3}}=4+9=13.$

Prawdopodobieństwo

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{13}{25}.$

Odpowiedź: $P(A)=\frac{13}{25}$.

Zapisujemy warunek na długość siatki

Trzy identyczne prostokątne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych ustawione są w rzędzie. Każdy ma wymiary $x$ (głębokość) oraz $y$ (szerokość). Siatka tworzy: dwie długie ściany o długości $3y$ każda oraz cztery ściany o długości $x$ (dwie skrajne i dwie wewnętrzne). Łącznie

$4x+6y=36.$

Stąd wyznaczamy $y$:

$y=6-\frac{2}{3}x.$

Suma pól podstaw jako funkcja jednej zmiennej

Suma pól podstaw trzech wybiegów to pole prostokąta o bokach $x$ oraz $3y$:

$P=x\cdot 3y=3xy.$

Podstawiamy $y=6-\frac{2}{3}x$:

$P(x)=3x\left(6-\frac{2}{3}x\right)=18x-2x^2=-2x^2+18x.$

Dziedzina

Wymiary muszą być dodatnie: $x>0$ oraz $y=6-\frac{2}{3}x>0$, czyli $x<9$. Zatem

$D=(0,9).$

Największe pole

Wykresem $P$ jest parabola o ramionach w dół ($a=-2<0$), więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

$x_W=-\frac{b}{2a}=-\frac{18}{2\cdot (-2)}=\frac{18}{4}=4,5\in (0,9).$

Obliczamy drugi wymiar:

$y=6-\frac{2}{3}\cdot 4,5=6-3=3.$

Wynik

Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy

$x=4,5\text{m},y=3\text{m}.$