Matematyka PP — Maj 2023 (Formuła 2015)

Korzystamy z własności logarytmów: suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu.

Krok 1. Łączymy logarytmy. ${\log }_{9}27+{\log }_{9}3={\log }_9(27\cdot 3)={\log }_{9}81.$

Krok 2. Obliczamy logarytm. Pytamy: do jakiej potęgi podnieść 9, aby otrzymać 81? Ponieważ $9^2=81$, mamy: ${\log }_{9}81=2.$

Odpowiedź: D. $2$.

Korzystamy z własności pierwiastków tego samego stopnia: iloczyn pierwiastków sześciennych to pierwiastek sześcienny iloczynu.

Krok 1. Łączymy pierwiastki. $\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot 2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}.$

Krok 2. Obliczamy pierwiastek. Ponieważ ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^3=-\frac{27}{8}$, mamy: $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}.$

Odpowiedź: A. $\left(-\frac{3}{2}\right)$.

Oznaczmy pierwotną cenę aparatu przez $P$. Każda obniżka to przemnożenie aktualnej ceny przez odpowiedni czynnik.

Krok 1. Pierwsza obniżka o 15%. Zostaje $85\%$ ceny, czyli cena po pierwszej obniżce to $0,85P$.

Krok 2. Druga obniżka o 20% (od nowej ceny). Zostaje $80\%$, więc cena końcowa to: $0,85P\cdot 0,80=0,68P.$

Krok 3. Równanie. Wiemy, że cena końcowa to 340 zł: $0,68P=340.$

Krok 4. Rozwiązujemy: $P=\frac{340}{0,68}=500\text{zł}.$

Odpowiedź: A. $500$ zł.

Wyrażenie ma postać różnicy kwadratów $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, gdzie $x=2a-3$ i $y=2a+3$.

Krok 1. Stosujemy wzór na różnicę kwadratów. $(2a-3{)}^2-(2a+3{)}^2=[(2a-3)-(2a+3)]\cdot [(2a-3)+(2a+3)].$

Krok 2. Obliczamy nawiasy. Pierwszy nawias: $(2a-3)-(2a+3)=-6$. Drugi nawias: $(2a-3)+(2a+3)=4a$.

Krok 3. Mnożymy: $-6\cdot 4a=-24a.$

Odpowiedź: A. $-24a$.

Odczytujemy z rysunku równania obu prostych, korzystając z dwóch punktów na każdej z nich.

Krok 1. Prosta opadająca. Przechodzi ona (odczytując z sieci kwadratów na rysunku) przez punkty $(-3,5)$ i $(5,-3)$. Współczynnik kierunkowy: $a=\frac{-3-5}{5-(-3)}=\frac{-8}{8}=-1.$ Podstawiając punkt $(-3,5)$ do wzoru $y=-x+b$: $5=3+b\Rightarrow b=2$. Zatem ta prosta ma równanie $y=-x+2$.

Krok 2. Prosta rosnąca (bardziej „stroma"). Przechodzi przez punkty $(-1,-3)$ i $(3,5)$. Współczynnik kierunkowy: $a=\frac{5-(-3)}{3-(-1)}=\frac{8}{4}=2.$ Podstawiając punkt $(3,5)$ do wzoru $y=2x+b$: $5=6+b\Rightarrow b=-1$. Zatem ta prosta ma równanie $y=2x-1$.

Krok 3. Zestawiamy układ. Interpretację geometryczną z rysunku przedstawia układ: $\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=2x-1\end{array}$

Odpowiedź: D.

Rozwiązujemy nierówność, usuwając najpierw mianownik.

Krok 1. Mnożymy obie strony przez 3 (liczba dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia): $3\cdot (-2(x+3))\le 2-x,$ $-6(x+3)\le 2-x.$

Krok 2. Rozwijamy nawias: $-6x-18\le 2-x.$

Krok 3. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę: $-6x+x\le 2+18,$ $-5x\le 20.$

Krok 4. Dzielimy przez $-5$ (liczba ujemna — zmieniamy znak nierówności): $x\ge -4.$

Zbiorem rozwiązań jest przedział $⟨-4,\infty )$.

Odpowiedź: C.

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z czynników jest zerem. Czynnik $\sqrt{3}$ nigdy nie jest zerem, więc rozwiązania dają dwa pozostałe czynniki.

Krok 1. Pierwszy czynnik: $x^2-2=0\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\sqrt{2}\text{lub}x=-\sqrt{2}.$

Krok 2. Drugi czynnik: $x+3=0\Rightarrow x=-3.$

Zbiór rozwiązań to $\{-3,-\sqrt{2},\sqrt{2}\}$. Wśród podanych odpowiedzi jest liczba $\sqrt{2}$.

Odpowiedź: D. $\sqrt{2}$.

Zanim cokolwiek uprościmy, musimy ustalić dziedzinę: mianownik $(x-1)(x+1{)}^2$ nie może być zerem, więc $x\ne 1$ i $x\ne -1$.

Krok 1. Skracamy wyrażenie (dla $x$ z dziedziny), dzieląc licznik i mianownik przez wspólne czynniki $(x-1)$ i $(x+1)$: $\frac{(x+1)(x-1{)}^2}{(x-1)(x+1{)}^2}=\frac{x-1}{x+1}.$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie $\frac{x-1}{x+1}=0$. Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem (a mianownik nie), czyli: $x-1=0\Rightarrow x=1.$

Krok 3. Sprawdzamy dziedzinę. Liczba $x=1$ jest jednak wykluczona z dziedziny wyjściowego równania (bo dla $x=1$ zeruje się jego mianownik $(x-1)(x+1{)}^2$). Zatem to „rozwiązanie" trzeba odrzucić.

Skoro jedyny kandydat na rozwiązanie nie należy do dziedziny, równanie nie ma rozwiązania.

Odpowiedź: A. Równanie nie ma rozwiązania.

Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli $f(-4)=0$.

Krok 1. Podstawiamy $x=-4$: $(2p-1)\cdot (-4)+p=0.$

Krok 2. Rozwijamy nawias: $-8p+4+p=0.$

Krok 3. Redukujemy wyrazy podobne: $-7p+4=0.$

Krok 4. Rozwiązujemy: $-7p=-4\Rightarrow p=\frac{4}{7}.$

Odpowiedź: B. $p=\frac{4}{7}$.

Z wykresu odczytujemy dwie informacje: kierunek prostej i punkt przecięcia z osią $Oy$.

Krok 1. Znak współczynnika $a$. Wykres opada w prawo (funkcja jest malejąca), a to oznacza, że współczynnik kierunkowy $a$ jest ujemny: $a<0$.

Krok 2. Znak współczynnika $b$. Wartość $b=f(0)$ to rzędna punktu przecięcia wykresu z osią $Oy$. Z rysunku widać, że prosta przecina oś $Oy$ powyżej zera (na wysokości większej niż $1$), więc $b>0$.

Łącząc oba warunki: $a<0$ i $b>0$.

Odpowiedź: C.

Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których wykres funkcji jest narysowany.

Krok 1. Lewy koniec wykresu. Wykres zaczyna się w punkcie $x=-6$ zaznaczonym pełnym kółkiem (punkt należy do wykresu), a odcinek poziomy sięga do $x=-3$, gdzie jest kółko puste (ten punkt nie należy do wykresu). Na dalszym odcinku wykres „wraca" i jest zdefiniowany również między $-3$ a $1$ (odcinek narastający), więc mimo pustego kółka przy $x=-3$ na jednej części wykresu, dziedzina obejmuje cały przedział aż do lewego krańca $-6$.

Krok 2. Prawy koniec wykresu. Wykres kończy się w punkcie $x=5$ zaznaczonym pełnym kółkiem — ten punkt należy do wykresu.

Krok 3. Wniosek. Ponieważ lewy kraniec $x=-6$ jest domknięty (należy do wykresu) i cały przedział od $-6$ do $5$ jest pokryty wykresem (bez przerw w dziedzinie), dziedziną funkcji jest przedział domknięty $⟨-6,5⟩$.

Odpowiedź: A.

Funkcja jest malejąca na tych fragmentach wykresu, na których jego wysokość ($y$) zmniejsza się, gdy $x$ rośnie.

Krok 1. Analizujemy fragmenty wykresu. Na $⟨-6,-3)$ wykres jest odcinkiem poziomym (funkcja stała, ani rosnąca, ani malejąca). Na $⟨-3,1⟩$ wykres rośnie (od $-3$ do $1$). Na $(1,2⟩$ wykres jest poziomy (stały, na wysokości $5$). Na $⟨2,5⟩$ wykres opada od wysokości $5$ do $3$.

Krok 2. Wniosek. Jedynym przedziałem, na którym funkcja rzeczywiście maleje, jest $⟨2,5⟩$.

Odpowiedź: D.

Musimy odczytać, jaką najwyższą wartość $y$ przyjmuje wykres funkcji dla argumentów $x$ z przedziału od $-4$ do $1$.

Krok 1. Fragment od $-4$ do $-3$. Wykres jest tam poziomy na wysokości $y=2$ (to część odcinka $⟨-6,-3)$).

Krok 2. Fragment od $-3$ do $1$. Wykres rośnie od pewnej wartości do $f(1)=1$ (widać na rysunku punkt $(1,1)$ zaznaczony pełnym kółkiem).

Krok 3. Porównanie. Na całym przedziale $⟨-4,1⟩$ najwyższą osiągniętą wartością jest $y=2$ (na fragmencie poziomym), bo pozostała część wykresu nie przekracza wartości $1$.

Odpowiedź: C. $2$.

Wykres funkcji kwadratowej (parabola) jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez wierzchołek. Oznacza to, że oba miejsca zerowe są symetryczne względem pierwszej współrzędnej wierzchołka.

Krok 1. Odległość znanego miejsca zerowego od osi symetrii. Oś symetrii to $x=3$, a znane miejsce zerowe to $x_1=-5$. Odległość: $3-(-5)=8$.

Krok 2. Drugie miejsce zerowe leży w tej samej odległości, po drugiej stronie osi symetrii: $x_2=3+8=11.$

Odpowiedź: A. $11$.

Podstawiamy $n=4$ do wzoru ogólnego ciągu.

Krok 1. Podstawienie: $a_4=2^4\cdot (4+1).$

Krok 2. Obliczenia: $2^4=16,4+1=5,$ $a_4=16\cdot 5=80.$

Odpowiedź: D. $80$.

W ciągu geometrycznym iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały.

Krok 1. Obliczamy iloraz z pierwszych dwóch wyrazów: $q=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}.$

Krok 2. Wyznaczamy trzeci wyraz przez pomnożenie drugiego przez iloraz: $a-1=9\cdot \frac{1}{3}=3.$

Krok 3. Rozwiązujemy: $a=3+1=4.$

Odpowiedź: C. $4$.

Kąt $\alpha$ jest kątem między dodatnią półosią $Ox$ a promieniem wodzącym punktu $P=(-3,1)$, w położeniu standardowym (wierzchołek w początku układu).

Krok 1. Wzór na tangens kąta w położeniu standardowym. Dla punktu $P=(x,y)$ leżącego na ramieniu kąta $\alpha$ (innym niż dodatnia półoś $Ox$) zachodzi: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}.$

Krok 2. Podstawiamy współrzędne punktu $P=(-3,1)$: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}.$

Odpowiedź: D. $\left(-\frac{1}{3}\right)$.

Zauważamy, że oba składniki mają wspólny czynnik ${\sin }^2\alpha$.

Krok 1. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: ${\sin }^4\alpha +{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha \cdot ({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ).$

Krok 2. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$: ${\sin }^2\alpha \cdot 1={\sin }^2\alpha .$

Odpowiedź: A. ${\sin }^2\alpha$.

Odcinki $OA$ i $OC$ są promieniami tego samego okręgu, więc mają równe długości — trójkąt $AOC$ jest równoramienny.

Krok 1. Kąty przy podstawie trójkąta $AOC$. Ponieważ $|OA|=|OC|$, kąty przy podstawie $AC$ są równe: $|\angle OAC|=|\angle OCA|=70°$.

Krok 2. Kąt środkowy $AOC$. Suma kątów w trójkącie $AOC$ wynosi $180°$: $|\angle AOC|=180°-70°-70°=40°.$

Krok 3. Kąt wpisany $ABC$. Kąt środkowy $AOC$ oraz kąt wpisany $ABC$ są oparte na tym samym łuku $AC$ (tym, który nie zawiera punktu $B$ — leżącym „bliżej" punktu $C$ z zaznaczonym kątem $70°$). Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, więc: $|\angle ABC|=\frac{|\angle AOC|}{2}=\frac{40°}{2}=20°.$

Odpowiedź: B. $20°$.

Pole rombu można obliczyć dwoma sposobami: jako $\frac{1}{2}$ iloczynu przekątnych albo jako $a^2\sin \gamma$ (bok do kwadratu razy sinus kąta między bokami). Porównanie tych dwóch wzorów daje nam szukany iloczyn przekątnych.

Krok 1. Pole rombu ze wzoru $a^2\sin \gamma$. Bierzemy $a=6\sqrt{2}$ i $\gamma =150°$ (sinus kąta rozwartego jest taki sam jak sinus kąta do niego przyległego, ponieważ $\sin (180°-\gamma )=\sin \gamma$, więc nie ma znaczenia, który z kątów rombu wybierzemy): $P=a^2\sin \gamma ={\left(6\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sin 150°=72\cdot \frac{1}{2}=36.$

Krok 2. Pole rombu ze wzoru z przekątnymi. Jeśli $d_1,d_2$ to długości przekątnych, to $P=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$. Stąd: $d_1{d}_2=2P=2\cdot 36=72.$

Odpowiedź: B. $72$.

Promienie $OA$ i $OB$ są prostopadłe do stycznych w punktach styczności (własność stycznej do okręgu), więc kąty $OAC$ i $OBC$ są kątami prostymi.

Krok 1. Suma kątów czworokąta $OACB$. Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi $360°$. Znamy trzy z nich: $|\angle AOB|=140°$ (dane z rysunku) oraz $|\angle OAC|=|\angle OBC|=90°$.

Krok 2. Wyznaczamy szukany kąt: $|\angle ACB|=360°-140°-90°-90°=40°.$

Odpowiedź: C. $40°$.

Wysokość opuszczona z wierzchołka $B$ jest odcinkiem prostopadłym do prostej $CA$. Ponieważ kąt $ACB=150°$ jest rozwarty, spodek tej wysokości leży na przedłużeniu boku $CA$ poza punkt $C$, a wysokość razem z bokiem $BC$ i tym przedłużeniem tworzy trójkąt prostokątny z kątem ostrym równym kątowi przyległemu do $150°$, czyli $180°-150°=30°$.

Krok 1. Kąt w trójkącie prostokątnym. W tym trójkącie prostokątnym przeciwprostokątną jest $BC=6$, a kąt między $BC$ i prostą $CA$ (z drugiej strony) wynosi $30°$.

Krok 2. Wysokość jako przyprostokątna naprzeciw kąta $30°$. Z definicji sinusa: $h=|BC|\cdot \sin 30°=6\cdot \frac{1}{2}=3.$

Odpowiedź: A. $3$.

Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy.

Krok 1. Współczynnik $a$. Prosta $k$ ma współczynnik kierunkowy $-\frac{1}{3}$, więc szukana prosta również musi mieć $a=-\frac{1}{3}$.

Krok 2. Wyznaczamy $b$. Prosta ma przechodzić przez $P=(3,5)$, więc podstawiamy te współrzędne do wzoru $y=-\frac{1}{3}x+b$: $5=-\frac{1}{3}\cdot 3+b\Rightarrow 5=-1+b\Rightarrow b=6.$

Odpowiedź: D. $a=-\frac{1}{3}$ i $b=6$.

Środek odcinka to średnia arytmetyczna współrzędnych jego końców: $S=\left(\frac{x_K+x_L}{2},\frac{y_K+y_L}{2}\right)$. Stąd możemy wyliczyć współrzędne punktu $L$.

Krok 1. Współrzędna $x$ punktu $L$: $5=\frac{-3+x_L}{2}\Rightarrow 10=-3+x_L\Rightarrow x_L=13.$

Krok 2. Współrzędna $y$ punktu $L$: $3=\frac{-7+y_L}{2}\Rightarrow 6=-7+y_L\Rightarrow y_L=13.$

Odpowiedź: B. $(13,13)$.

W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych każdy punkt $(x,y)$ przechodzi na punkt $(-x,-y)$.

Krok 1. Podstawienie. Jeśli punkt obrazu ma współrzędne $(x,y)$, to jego przeciwobraz (punkt na oryginalnej prostej) to $(-x,-y)$, a ten punkt spełnia równanie oryginalnej prostej: $-y=2\cdot (-x)-3.$

Krok 2. Przekształcamy: $-y=-2x-3.$

Krok 3. Mnożymy obie strony przez $-1$: $y=2x+3.$

Odpowiedź: A. $y=2x+3$.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę kwadratową o boku $15$. Przekątna graniastosłupa, jej rzut na podstawę (przekątna kwadratu) oraz kąt $\alpha$ tworzą trójkąt prostokątny.

Krok 1. Przekątna podstawy. Przekątna kwadratu o boku $a=15$ ma długość $a\sqrt{2}=15\sqrt{2}$ — to jest rzut przekątnej przestrzennej na podstawę, czyli bok przyległy do kąta $\alpha$.

Krok 2. Definicja cosinusa. Cosinus kąta $\alpha$ między przekątną graniastosłupa $d$ a płaszczyzną podstawy to stosunek przyprostokątnej przyległej (przekątnej podstawy) do przeciwprostokątnej (przekątnej przestrzennej): $\cos \alpha =\frac{15\sqrt{2}}{d}.$

Krok 3. Wyznaczamy $d$: $d=\frac{15\sqrt{2}}{\cos \alpha }=\frac{15\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=15\sqrt{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=15\cdot 3=45.$

Odpowiedź: B. $45$.

Z danej średniej wyznaczamy sumę $x+y+z$, a potem obliczamy nową średnią.

Krok 1. Suma $x,y,z$. Średnia trzech liczb wynosi 4, więc ich suma: $x+y+z=3\cdot 4=12.$

Krok 2. Suma czterech nowych liczb. Sumujemy $1+x$, $2+y$, $3+z$ oraz $14$: $(1+x)+(2+y)+(3+z)+14=(1+2+3+14)+(x+y+z)=20+12=32.$

Krok 3. Nowa średnia to suma podzielona przez liczbę liczb (4): $\frac{32}{4}=8.$

Odpowiedź: C. $8$.

Liczba pięciocyfrowa ma pięć miejsc (cyfr), a jedynym ograniczeniem jest to, że pierwsza cyfra (najbardziej znacząca) nie może być zerem — inaczej liczba miałaby mniej niż pięć cyfr.

Krok 1. Pierwsza cyfra. Może to być $5$ albo $7$ (nie może być $0$), czyli mamy $2$ możliwości.

Krok 2. Pozostałe cztery cyfry. Każda z nich może być dowolną z trzech cyfr: $0$, $5$ lub $7$ — czyli $3$ możliwości na każdym z $4$ pozostałych miejsc, co daje $3^4$ kombinacji.

Krok 3. Łączenie (reguła mnożenia). Ponieważ wybór pierwszej cyfry i wybór pozostałych czterech cyfr są niezależne, łączna liczba liczb to: $2\cdot 3^4.$

Odpowiedź: C. $2\cdot 3^4$.

Ostrosłup, którego podstawą jest $n$-kąt, ma $n$ wierzchołków w podstawie i jeden wierzchołek (wierchołek ostrosłupa) na górze, czyli w sumie $W=n+1$ wierzchołków. Krawędzi jest $n$ w podstawie i $n$ bocznych, czyli $K=2n$.

Krok 1. Zapisujemy równanie dla danego stosunku: $\frac{W}{K}=\frac{n+1}{2n}=\frac{3}{5}.$

Krok 2. Mnożymy na krzyż: $5(n+1)=3\cdot 2n,$ $5n+5=6n,$ $n=5.$

Krok 3. Wniosek. Podstawą ostrosłupa jest pięciokąt (foremny, bo ostrosłup jest prawidłowy).

Odpowiedź: B. pięciokąt foremny.

Naszym celem jest sprowadzenie nierówności do postaci porównania trójmianu kwadratowego z zerem.

Krok 1. Rozwijamy lewą stronę: $x(x-2)=x^2-2x.$ Nierówność ma teraz postać: $x^2-2x>2x^2-3.$

Krok 2. Przenosimy wszystko na jedną stronę (na prawą, żeby po lewej zostało zero): $0>2x^2-3-x^2+2x,$ $0>x^2+2x-3,$ czyli równoważnie: $x^2+2x-3<0.$

Krok 3. Szukamy miejsc zerowych trójmianu $x^2+2x-3$. Wyróżnik: $\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16,\sqrt{\Delta }=4.$ Miejsca zerowe: $x_1=\frac{-2-4}{2}=-3,x_2=\frac{-2+4}{2}=1.$

Krok 4. Znak trójmianu. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a=1>0$), więc parabola ma ramiona skierowane do góry i przyjmuje wartości ujemne między miejscami zerowymi. Nas interesuje $x^2+2x-3<0$, czyli wartości ujemne, więc bierzemy przedział otwarty między pierwiastkami.

Odpowiedź: $x\in (-3,1)$.

Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny o $18$ wyrazach, w którym różnica $r=-30$ (każda kolejna rata jest mniejsza o 30 zł), a suma wszystkich rat to $8910$ zł.

Krok 1. Zapisujemy wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dla $n=18$: $S_{18}=\frac{2a_1+17r}{2}\cdot 18=9\cdot (2a_1+17r).$

Krok 2. Podstawiamy dane ($S_{18}=8910$, $r=-30$): $8910=9\cdot (2a_1+17\cdot (-30))=9\cdot (2a_1-510).$

Krok 3. Dzielimy przez 9: $\frac{8910}{9}=990=2a_1-510.$

Krok 4. Rozwiązujemy równanie: $2a_1=990+510=1500,$ $a_1=750.$

Sprawdzenie (intuicyjnie). Gdyby wszystkie raty były równe pierwszej (750 zł), suma wyniosłaby $18\cdot 750=13500$ zł. W rzeczywistości każda kolejna rata jest mniejsza — łącznie „brakuje" $30\cdot (0+1+2+\cdots +17)=30\cdot 153=4590$ zł, a $13500-4590=8910$ zł — zgadza się z treścią zadania.

Odpowiedź: pierwsza rata była równa $750$ zł.

Naszą strategią będzie przeniesienie wszystkiego na jedną stronę i zwinięcie wyrażenia do sumy kwadratów — wtedy nieujemność (a nawet dodatniość) będzie widoczna „od razu".

Krok 1. Przenosimy wszystko na lewą stronę: $x^2+y^2+5-2x-4y>0.$

Krok 2. Grupujemy wyrazy z $x$ i z $y$ osobno, uzupełniając do kwadratów. Zauważmy, że $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ oraz $y^2-4y+4=(y-2{)}^2$, a $1+4=5$ dokładnie zgadza się ze stałą w naszym wyrażeniu: $x^2-2x+1+y^2-4y+4=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2.$ Zatem lewa strona przyjmuje postać: $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2>0.$

Krok 3. Analizujemy znak każdego składnika. Z założenia $x\ne 1$, więc $x-1\ne 0$, a zatem $(x-1{)}^2$ jest liczbą dodatnią (nie tylko nieujemną). Z kolei $(y-2{)}^2\ge 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $y$ (kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny).

Krok 4. Wniosek. Suma liczby dodatniej $(x-1{)}^2>0$ i liczby nieujemnej $(y-2{)}^2\ge 0$ jest zawsze liczbą dodatnią: $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2>0.$ To jest równoważne wyjściowej nierówności, więc dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 1$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ zachodzi $x^2+y^2+5>2x+4y$.

To należało wykazać.

Najpierw wykorzystamy trójkąt $T_1$, aby znaleźć skalę podobieństwa, a potem przeliczymy pole.

Krok 1. Przeciwprostokątna trójkąta $T_1$. Z twierdzenia Pitagorasa dla przyprostokątnych $5$ i $12$: $c_1=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$

Krok 2. Skala podobieństwa. Trójkąty $T_1$ i $T_2$ są podobne, a ich przeciwprostokątne to odpowiadające sobie boki. Skala podobieństwa (z $T_1$ do $T_2$): $k=\frac{26}{13}=2.$

Krok 3. Przyprostokątne trójkąta $T_2$. Skalujemy przyprostokątne trójkąta $T_1$ przez $k=2$: $5\cdot 2=10,12\cdot 2=24.$

Krok 4. Pole trójkąta $T_2$. Trójkąt jest prostokątny, więc pole to połowa iloczynu przyprostokątnych: $P_2=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=120.$

Odpowiedź: pole trójkąta $T_2$ jest równe $120$.

Kluczowa własność kwadratu: jego przekątne są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie, który jest środkiem obu przekątnych. Znajdziemy więc środek przekątnej $AC$ (który jest też środkiem przekątnej $BD$) oraz kierunek prostej $BD$.

Krok 1. Środek przekątnej $AC$ (czyli punkt przecięcia przekątnych, $S$): $S=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)=\left(\frac{-8+0}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=(-4,1).$ Punkt $S$ leży również na przekątnej $BD$.

Krok 2. Współczynnik kierunkowy prostej $AC$: $a_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{4-(-2)}{0-(-8)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$

Krok 3. Współczynnik kierunkowy prostej $BD$. Przekątne kwadratu są prostopadłe, a iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy $-1$: $a_{BD}\cdot \frac{3}{4}=-1\Rightarrow a_{BD}=-\frac{4}{3}.$

Krok 4. Równanie prostej $BD$. Prosta ma wzór $y=-\frac{4}{3}x+b$ i przechodzi przez $S=(-4,1)$: $1=-\frac{4}{3}\cdot (-4)+b=\frac{16}{3}+b\Rightarrow b=1-\frac{16}{3}=-\frac{13}{3}.$

Odpowiedź: prosta zawierająca przekątną $BD$ ma równanie $y=-\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$.

Losujemy dwukrotnie ze zwracaniem z ośmioelementowego zbioru, a wynik jest parą uporządkowaną (liczy się, która liczba padła jako pierwsza, a która jako druga).

Krok 1. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych. Każde z dwóch losowań ma $8$ możliwych wyników, a losowania są niezależne (bo losujemy ze zwracaniem), więc: $|\Omega |=8\cdot 8=64.$

Krok 2. Warunek podzielności przez 15. Liczba $15=3\cdot 5$, więc iloczyn dwóch wylosowanych liczb musi zawierać w rozkładzie czynnik $3$ oraz czynnik $5$. Jedyną liczbą w zbiorze $\{2,\dots ,9\}$ podzielną przez $5$ jest sama liczba $5$ — więc jedna z dwóch wylosowanych liczb musi być równa $5$ (inaczej iloczyn nigdy nie będzie podzielny przez 5).

Krok 3. Druga liczba. Skoro jedna liczba to $5$, potrzebujemy jeszcze czynnika $3$ w iloczynie — druga liczba musi być podzielna przez $3$, czyli należeć do zbioru $\{3,6,9\}$ (trzy możliwości). Gdyby druga liczba była również równa $5$, iloczyn wyniósłby $25$, co nie jest podzielne przez $3$ — taki przypadek nie sprzyja zdarzeniu $A$.

Krok 4. Zliczamy sprzyjające pary uporządkowane. Dla każdej z trzech liczb $\{3,6,9\}$ mamy dwa uporządkowania z liczbą $5$: (liczba, 5) oraz (5, liczba). To daje: $(3,5),(5,3),(6,5),(5,6),(9,5),(5,9),$ czyli $6$ zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$.

Krok 5. Obliczamy prawdopodobieństwo z klasycznej definicji: $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}.$

Odpowiedź: $P(A)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$.

Graniastosłup $ABCDEF$ ma podstawy $ABC$ i $DEF$ (trójkąty równoramienne) oraz trzy prostokątne ściany boczne. Rozłóżmy zadanie na etapy: pole podstawy, długość krawędzi $BC$, wysokość graniastosłupa, a potem pole całkowite i objętość.

Krok 1. Pole podstawy $ABC$. Trójkąt równoramienny ma podstawę $|AB|=8$ oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$ równą $3$ (to wysokość dzieląca podstawę $AB$ na pół, ponieważ trójkąt jest równoramienny). Pole trójkąta: $P_p=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot 3=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 3=12.$

Krok 2. Długość krawędzi $BC$. Wysokość $CH$ (gdzie $H$ to środek $AB$) dzieli trójkąt $ABC$ na dwa przystające trójkąty prostokątne. W jednym z nich przyprostokątne to $\frac{1}{2}|AB|=4$ oraz $h_p=3$, a przeciwprostokątną jest właśnie $BC$. Z twierdzenia Pitagorasa: $|BC{|}^2=4^2+3^2=16+9=25\Rightarrow |BC|=5.$ (Analogicznie $|AC|=5$, zgodnie z założeniem $|AC|=|BC|$.)

Krok 3. Wysokość graniastosłupa $H=|BE|$. Ściana boczna $BCEF$... właściwie ściana zawierająca krawędź $BE$ prostopadłą do podstawy — jest prostokątem, w którym $CE$ jest przekątną. Kąt między przekątną $CE$ i krawędzią podstawy $CB$ wynosi $60°$, a naprzeciw tego kąta (w trójkącie prostokątnym $BCE$ z kątem prostym przy $B$) leży wysokość graniastosłupa $BE=H$. Korzystamy z tangensa: $\mathrm{tg}60°=\frac{H}{|BC|}\Rightarrow H=|BC|\cdot \mathrm{tg}60°=5\sqrt{3}.$

Krok 4. Pole powierzchni całkowitej. Graniastosłup ma dwie podstawy (trójkąty $ABC$ i $DEF$) oraz trzy prostokątne ściany boczne o wymiarach: krawędź podstawy razy wysokość $H$. Krawędzie podstawy to $|AB|=8$, $|AC|=5$, $|BC|=5$, więc obwód podstawy to $8+5+5=18$. Pole powierzchni bocznej: $P_b=18\cdot H=18\cdot 5\sqrt{3}=90\sqrt{3}.$ Dwie podstawy dają: $2P_p=2\cdot 12=24.$ Całkowite pole powierzchni: $P=P_b+2P_p=90\sqrt{3}+24.$

Krok 5. Objętość graniastosłupa. Objętość to pole podstawy razy wysokość: $V=P_p\cdot H=12\cdot 5\sqrt{3}=60\sqrt{3}.$

Odpowiedź: pole powierzchni całkowitej wynosi $P=24+90\sqrt{3}$, a objętość wynosi $V=60\sqrt{3}$.