Matematyka PP — Maj 2023

Odczytujemy zbiór z osi

Na osi zaznaczono sumę przedziałów — dwie półproste: jedną w lewo od punktu $-2$ (z końcem zamalowanym) oraz drugą w prawo od punktu $5$. To zbiór

$(-\infty ,-2]\cup [5,+\infty ).$

Jest to zbiór punktów oddalonych od pewnego środka o co najmniej pewną wartość, więc opisze go nierówność z wartością bezwzględną typu $|x-\text{sˊrodek}|\ge \text{promienˊ}$.

Wyznaczamy środek i promień

Środek przedziału $[-2,5]$ (czyli punkt równo oddalony od $-2$ i $5$) to

$\frac{-2+5}{2}=\frac{3}{2}=1,5.$

Odległość od środka do każdego z końców wynosi

$5-1,5=3,5.$

Zapisujemy nierówność

Zbiór punktów oddalonych od $1,5$ o co najmniej $3,5$ to

$|x-1,5|\ge 3,5.$

Sprawdzenie: $x-1,5\ge 3,5$ daje $x\ge 5$, a $x-1,5\le -3,5$ daje $x\le -2$ — dokładnie zaznaczony zbiór.

Odpowiedź: B.

Łączymy pierwiastki tego samego stopnia

Oba czynniki są pierwiastkami trzeciego stopnia, więc możemy je zapisać pod wspólnym pierwiastkiem:

$\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot 2}.$

Upraszczamy wyrażenie pod pierwiastkiem

$-\frac{27}{16}\cdot 2=-\frac{27\cdot 2}{16}=-\frac{27}{8}.$

Obliczamy pierwiastek

Ponieważ ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^3=-\frac{27}{8}$, mamy

$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}.$

Odpowiedź: A. $\left(-\frac{3}{2}\right)$.

Rozwijamy wyrażenie ze wzoru skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzoru $(2n+1{)}^2=4n^2+4n+1$:

$(2n+1{)}^2-1=4n^2+4n+1-1=4n^2+4n.$

Zapisujemy w postaci iloczynu

Wyłączamy $4n$ przed nawias:

$4n^2+4n=4n(n+1).$

Uzasadniamy podzielność przez $8$

Liczby $n$ oraz $n+1$ to dwie kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich jest parzysta. Zatem iloczyn $n(n+1)$ jest liczbą parzystą, czyli $n(n+1)=2k$ dla pewnej liczby naturalnej $k$. Stąd

$4n(n+1)=4\cdot 2k=8k.$

Liczba $8k$ jest podzielna przez $8$, więc wyrażenie $(2n+1{)}^2-1$ jest podzielne przez $8$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. To należało wykazać.

Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów

Logarytmy mają tę samą podstawę $9$, więc ich sumę zamieniamy na logarytm iloczynu:

${\log }_{9}27+{\log }_{9}3={\log }_9\left(27\cdot 3\right)={\log }_{9}81.$

Obliczamy logarytm

Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść $9$, aby otrzymać $81$. Ponieważ $9^2=81$, mamy

${\log }_{9}81=2.$

Odpowiedź: D. $2$.

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów

Wyrażenie $(2a-3{)}^2-(2a+3{)}^2$ ma postać $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, gdzie $A=2a-3$, $B=2a+3$.

$A-B=(2a-3)-(2a+3)=-6,$ $A+B=(2a-3)+(2a+3)=4a.$

Mnożymy

$(2a-3{)}^2-(2a+3{)}^2=(-6)\cdot 4a=-24a.$

Odpowiedź: A. $-24a$.

Usuwamy ułamek

Nierówność $-2(x+3)\le \frac{2-x}{3}$ mnożymy obustronnie przez $3$ (liczba dodatnia — znak nierówności bez zmian):

$-6(x+3)\le 2-x.$

Porządkujemy wyrazy

$-6x-18\le 2-x.$

Przenosimy $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą:

$-6x+x\le 2+18,$ $-5x\le 20.$

Dzielimy przez liczbę ujemną

Dzieląc przez $-5$, odwracamy znak nierówności:

$x\ge -4.$

Zbiór rozwiązań to $[-4,+\infty )$.

Odpowiedź: C. $[-4,\infty )$.

Iloczyn jest zerem

Równanie $\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0$ jest spełnione, gdy któryś z czynników jest zerem (czynnik $\sqrt{3}$ jest stałą różną od zera):

$x^2-2=0\text{lub}x+3=0.$

Rozwiązujemy równania cząstkowe

• $x^2-2=0\Rightarrow x=\sqrt{2}$ lub $x=-\sqrt{2}$,
• $x+3=0\Rightarrow x=-3$.

Wybieramy odpowiedź

Wśród rozwiązań $\{-3,-\sqrt{2},\sqrt{2}\}$ w odpowiedziach występuje $\sqrt{2}$.

Odpowiedź: D. $\sqrt{2}$.

Analizujemy licznik i mianownik

Rozważamy równanie

$\frac{[(x+1)(x-1){]}^2}{[(x-1)(x+1){]}^2}=0.$

Zauważmy, że wyrażenia w liczniku i mianowniku są identyczne — oba to $(x+1)(x-1)$ podniesione do kwadratu.

Kiedy ułamek jest zerem

Ułamek jest równy zeru tylko wtedy, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik różny od zera. Tu jednak licznik i mianownik są sobie równe: jeśli licznik jest zerem, to i mianownik jest zerem (wyrażenie jest wtedy nieokreślone). Dla pozostałych $x$ (czyli $x\ne 1$ i $x\ne -1$) ułamek jest równy

$\frac{(x+1{)}^2(x-1{)}^2}{(x-1{)}^2(x+1{)}^2}=1\ne 0.$

Wniosek

Ułamek nigdy nie przyjmuje wartości $0$, więc równanie nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: A. nie ma rozwiązania.

Grupujemy wyrazy

Równanie $3x^3-2x^2-12x+8=0$ rozwiązujemy metodą grupowania. Łączymy wyrazy w pary:

$(3x^3-2x^2)-(12x-8)=0,$ $x^2(3x-2)-4(3x-2)=0.$

Wyłączamy wspólny czynnik

$(3x-2)(x^2-4)=0.$

Drugi czynnik rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

$(3x-2)(x-2)(x+2)=0.$

Rozwiązujemy równania cząstkowe

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

• $3x-2=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$,
• $x-2=0\Rightarrow x=2$,
• $x+2=0\Rightarrow x=-2$.

Odpowiedź

Równanie ma trzy rozwiązania:

$x=-2,x=\frac{2}{3},x=2.$

Co przedstawia rysunek

Interpretacją geometryczną układu dwóch równań liniowych są dwie proste. Z rysunku odczytujemy własności każdej z nich: punkt przecięcia z osią $Oy$ (wyraz wolny $b$) oraz kierunek nachylenia (znak współczynnika $a$).

Dopasowujemy proste do wzorów

Z wykresu jedna prosta jest malejąca i przecina oś $Oy$ w punkcie dodatnim — pasuje do niej wzór $y=-x+2$ (współczynnik kierunkowy $-1<0$, wyraz wolny $2>0$). Druga prosta jest rosnąca i przecina oś $Oy$ poniżej zera — pasuje do niej $y=2x-1$ (współczynnik $2>0$, wyraz wolny $-1<0$). Obie proste przecinają się w punkcie o dodatnich obu współrzędnych, co również zgadza się z rysunkiem.

Taki układ zapisano w odpowiedzi D:

$\{\begin{array}{l}y=-x+2,\\ y=2x-1.\end{array}$

Odpowiedź: D.

Zapisujemy warunki zadania

Oznaczmy boki prostokąta przez $a$ i $b$, przy czym $a>b$.

• Obwód prostokąta jest równy $30$: $2a+2b=30$, co można też zapisać jako $2(a+b)=30$.
• Jeden bok o $5$ krótszy od drugiego: krótszy bok $b$ jest o $5$ mniejszy od dłuższego $a$, czyli $a-b=5$, równoważnie $b=a-5$ albo $a=b+5$.

Sprawdzamy odpowiedzi

Szukamy układów, w których oba równania są poprawne.

• C. $\{\begin{array}{l}2(a+b)=30\\ b=a-5\end{array}$ — obwód poprawny, a $b=a-5$ oznacza, że $b$ jest o $5$ krótszy. Poprawny.
• E. $\{\begin{array}{l}2a+2b=30\\ a-b=5\end{array}$ — obwód poprawny, a $a-b=5$ oznacza różnicę boków równą $5$. Poprawny.

Pozostałe układy zawierają błędne równania (np. $2ab=30$, $a=5b$, $a+b=30$).

Odpowiedź: C oraz E.

Czym jest dziedzina odczytana z wykresu

Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich pierwszych współrzędnych ($x$) punktów należących do wykresu — czyli "rzut" wykresu na oś $Ox$.

Odczyt z rysunku

Wykres funkcji $f$ rozciąga się od punktu o odciętej $-6$ do punktu o odciętej $5$, przy czym oba końce należą do wykresu (są zamalowane). Zatem dziedziną jest przedział domknięty

$[-6,5].$

Odpowiedź: A. $[-6,5]$.

Co oznacza największa wartość w przedziale

Szukamy najwyżej położonego punktu wykresu funkcji $f$, gdy argument $x$ zmienia się w przedziale $[-4,1]$ — czyli największej wartości $y$ przyjmowanej na tym fragmencie.

Odczyt z rysunku

Na fragmencie wykresu odpowiadającym $x\in [-4,1]$ najwyższy punkt ma rzędną $2$. Zatem największa wartość funkcji w tym przedziale wynosi

$2.$

Odpowiedź: C. $2$.

Kiedy funkcja jest malejąca

Funkcja jest malejąca w tym przedziale, w którym wraz ze wzrostem argumentu $x$ wartości $y$ maleją — wykres "opada" idąc w prawo.

Odczyt z rysunku

Spośród podanych przedziałów wykres opada (wartości maleją) na przedziale $[2,5]$.

Odpowiedź: D. $[2,5]$.

Znak współczynnika kierunkowego $a$

Z rysunku wykres funkcji $f(x)=ax+b$ jest prostą malejącą (opada w prawo), co oznacza, że współczynnik kierunkowy jest ujemny:

$a<0.$

Znak wyrazu wolnego $b$

Wyraz wolny $b$ to rzędna punktu przecięcia prostej z osią $Oy$. Prosta przecina oś $Oy$ powyżej początku układu (w punkcie dodatnim), więc

$b>0.$

Odpowiedź: C. $a<0$ i $b>0$.

Wykorzystujemy symetrię paraboli

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej leżą symetrycznie względem osi paraboli, która przechodzi przez wierzchołek. Pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa $3$, więc oś symetrii to prosta $x=3$.

Znajdujemy drugie miejsce zerowe

Jedno miejsce zerowe to $x_1=-5$. Drugie miejsce zerowe $x_2$ jest symetryczne do $x_1$ względem $x=3$, więc

$\frac{x_1+x_2}{2}=3\Rightarrow \frac{-5+x_2}{2}=3\Rightarrow -5+x_2=6\Rightarrow x_2=11.$

Odpowiedź: A. $11$.

Podstawiamy $n=4$ do wzoru

Ciąg jest określony wzorem $a_n=2^n\cdot (n+1)$. Obliczamy czwarty wyraz:

$a_4=2^4\cdot (4+1)=16\cdot 5=80.$

Odpowiedź: D. $80$.

Wyznaczamy iloraz ciągu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Z dwóch pierwszych wyrazów $27$ i $9$:

$q=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}.$

Obliczamy trzeci wyraz i $a$

Trzeci wyraz to $9\cdot q=9\cdot \frac{1}{3}=3$. Z drugiej strony jest on równy $a-1$:

$a-1=3\Rightarrow a=4.$

Odpowiedź: C. $4$.

Ustalamy dane ciągu

Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym każda następna rata jest o $30$ zł mniejsza, więc różnica $r=-30$. Suma wszystkich $18$ rat jest równa całej pożyczce:

$S_{18}=8910.$

Korzystamy ze wzoru na sumę

Stosujemy wzór $S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$ dla $n=18$:

$\frac{2a_1+17\cdot (-30)}{2}\cdot 18=8910.$

Rozwiązujemy równanie

$9(2a_1-510)=8910,$ $2a_1-510=990,$ $2a_1=1500,$ $a_1=750.$

Wynik

Pierwsza rata była równa $750$ zł.

Definicja tangensa dla kąta w układzie współrzędnych

Gdy jedno ramię kąta $\alpha$ pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$, a drugie przechodzi przez punkt $P=(x,y)$, to

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}.$

Podstawiamy współrzędne punktu $P$

Punkt $P=(-3,1)$, więc $x=-3$, $y=1$:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}.$

Odpowiedź: D. $\left(-\frac{1}{3}\right)$.

Wyłączamy wspólny czynnik

W obu składnikach występuje ${\sin }^2\alpha$. Wyłączamy go przed nawias:

${\sin }^4\alpha +{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha \left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right).$

Stosujemy jedynkę trygonometryczną

Ponieważ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, otrzymujemy

${\sin }^2\alpha \cdot 1={\sin }^2\alpha .$

Odpowiedź: A. ${\sin }^2\alpha$.

Pole rombu z boku i kąta

Pole rombu o boku $a$ i kącie $\phi$ między bokami wyraża się wzorem $P=a^2\sin \phi$. Mamy $a=6\sqrt{2}$ oraz kąt rozwarty $150^{\circ }$ (przy czym $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$):

$P={\left(6\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sin 150^{\circ }=72\cdot \frac{1}{2}=36.$

Powiązanie z przekątnymi

Pole rombu można też zapisać przez przekątne $d_1,d_2$:

$P=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2.$

Porównując oba wyrażenia:

$\frac{1}{2}{d}_1{d}_2=36\Rightarrow d_1{d}_2=72.$

Odpowiedź: B. $72$.

Trójkąt $ACO$ jest równoramienny

Punkt $O$ jest środkiem okręgu, a $A$ i $C$ leżą na okręgu, więc $|OA|=|OC|$ (promienie). Trójkąt $ACO$ jest równoramienny, zatem kąty przy podstawie $AC$ są równe:

$|\angle OAC|=|\angle ACO|=70^{\circ }.$

Obliczamy kąt środkowy $AOC$

Z sumy kątów w trójkącie $ACO$:

$|\angle AOC|=180^{\circ }-70^{\circ }-70^{\circ }=40^{\circ }.$

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku

Kąt $AOC$ jest kątem środkowym opartym na łuku $AC$, a kąt $ABC$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku. Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od środkowego:

$|\angle ABC|=\frac{1}{2}\cdot 40^{\circ }=20^{\circ }.$

Odpowiedź: B. $20^{\circ }$.

Przeciwprostokątna trójkąta $T_1$

Trójkąt $T_1$ ma przyprostokątne $5$ i $12$. Z twierdzenia Pitagorasa jego przeciwprostokątna wynosi

$c_1=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$

Skala podobieństwa

Trójkąty $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przeciwprostokątna $T_2$ ma długość $26$, więc skala podobieństwa (stosunek $T_2$ do $T_1$) jest równa

$k=\frac{26}{13}=2.$

Boki i pole trójkąta $T_2$

Przyprostokątne trójkąta $T_2$ są $k$ razy dłuższe:

$2\cdot 5=10,2\cdot 12=24.$

Pole trójkąta prostokątnego $T_2$:

$P_2=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=120.$

Odpowiedź: $P_2=120$.

(Można też skorzystać z zależności, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali: $P_2=k^2\cdot P_1=2^2\cdot \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=4\cdot 30=120$.)

Sprawdzamy prostopadłość

Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$. Dla $k:y=\frac{2}{3}x$ oraz $l:y=-\frac{3}{2}x+13$:

$\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-1.$

Proste są prostopadłe — odpowiedź A.

Wyznaczamy punkt przecięcia

Porównujemy prawe strony równań:

$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13.$

Mnożymy obustronnie przez $6$:

$4x=-9x+78\Rightarrow 13x=78\Rightarrow x=6.$

Wtedy $y=\frac{2}{3}\cdot 6=4$, więc punkt przecięcia to $P=(6,4)$ — odpowiedź 2.

Odpowiedź: A oraz 2 (proste prostopadłe, $P=(6,4)$).

Warunek równoległości

Prosta $y=ax+b$ ma być równoległa do prostej $k:y=-\frac{1}{3}x+2$, więc musi mieć ten sam współczynnik kierunkowy:

$a=-\frac{1}{3}.$

Wyznaczamy $b$ z warunku przejścia przez $P$

Prosta przechodzi przez punkt $P=(3,5)$, więc podstawiamy $x=3$, $y=5$:

$5=-\frac{1}{3}\cdot 3+b,$ $5=-1+b,$ $b=6.$

Odpowiedź: D. $a=-\frac{1}{3}$ i $b=6$.

Rzut przekątnej na płaszczyznę podstawy

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku $15$. Przekątna kwadratu ma długość

$d_p=15\sqrt{2}.$

Jest ona rzutem przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy. Przekątna graniastosłupa, jej rzut oraz krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny, w którym kątem między przekątną a podstawą jest $\alpha$.

Wykorzystujemy cosinus kąta $\alpha$

Cosinus kąta $\alpha$ to stosunek przyprostokątnej przyległej (rzutu $d_p$) do przeciwprostokątnej (przekątnej graniastosłupa $d$):

$\cos \alpha =\frac{d_p}{d}=\frac{15\sqrt{2}}{d}.$

Podstawiamy $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}$:

$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{d}\Rightarrow d=\frac{15\sqrt{2}\cdot 3}{\sqrt{2}}=45.$

Odpowiedź: B. $45$.

Oznaczenia

Niech $a$ oznacza krawędź podstawy (kwadratu), a $H$ — wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Wysokość ściany bocznej (apotema ostrosłupa) $h_b=6$ jest nachylona do podstawy pod kątem $30^{\circ }$. Jej rzutem na podstawę jest odcinek $|OE|$ łączący środek podstawy ze środkiem krawędzi — o długości $\frac{a}{2}$.

Wysokość ostrosłupa

W trójkącie prostokątnym $SOE$ (gdzie $S$ — wierzchołek, $O$ — środek podstawy, $E$ — środek krawędzi podstawy) kąt przy $E$ wynosi $30^{\circ }$, a przeciwprostokątną jest $h_b=6$:

$\sin 30^{\circ }=\frac{H}{6}\Rightarrow H=6\cdot \frac{1}{2}=3.$

Krawędź podstawy

Z tego samego trójkąta $|OE|=\frac{a}{2}$ jest przyprostokątną przyległą do kąta $30^{\circ }$:

$\cos 30^{\circ }=\frac{\frac{a}{2}}{6}\Rightarrow \frac{a}{2}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\Rightarrow a=6\sqrt{3}.$

Objętość

Pole podstawy to $a^2=(6\sqrt{3}{)}^2=108$. Zatem

$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 108\cdot 3=108.$

Pole powierzchni całkowitej

Pole podstawy wynosi $108$. Każda z czterech ścian bocznych to trójkąt o podstawie $a=6\sqrt{3}$ i wysokości $h_b=6$:

$P_{\text{bocz}}=4\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 6=4\cdot 18\sqrt{3}=72\sqrt{3}.$

Stąd

$P_c=108+72\sqrt{3}.$

Wynik

$V=108,P_c=108+72\sqrt{3}.$

Liczba wierzchołków i krawędzi ostrosłupa

Ostrosłup prawidłowy o podstawie będącej $n$-kątem ma:

• wierzchołków: $W=n+1$ (wierzchołki podstawy plus wierzchołek górny),
• krawędzi: $K=2n$ ($n$ krawędzi podstawy i $n$ krawędzi bocznych).

Zapisujemy i rozwiązujemy równanie

Z warunku $\frac{W}{K}=\frac{3}{5}$ mamy

$\frac{n+1}{2n}=\frac{3}{5}.$

Mnożymy na krzyż:

$5(n+1)=6n\Rightarrow 5n+5=6n\Rightarrow n=5.$

Wniosek

Podstawą jest pięciokąt (foremny).

Odpowiedź: B. pięciokąt foremny.

Ustalamy liczbę możliwości na każdej pozycji

Tworzymy liczbę pięciocyfrową, używając wyłącznie cyfr $0,5,7$.

• Pierwsza cyfra (najbardziej znacząca) nie może być zerem, bo liczba ma być pięciocyfrowa. Zostają cyfry $5,7$ — czyli $2$ możliwości.
• Każda z pozostałych czterech cyfr może być dowolna z $\{0,5,7\}$ — po $3$ możliwości.

Reguła mnożenia

Liczbę wszystkich takich liczb otrzymujemy, mnożąc liczby możliwości na kolejnych pozycjach:

$2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=2\cdot 3^4.$

Odpowiedź: C. $2\cdot 3^4$.

Odczytujemy dane z diagramu

Z diagramu odczytujemy liczby sklepów dla poszczególnych cen (łącznie $16$ sklepów):

Wyznaczamy medianę

Danych jest $16$ (liczba parzysta), więc mediana to średnia arytmetyczna $8.$ i $9.$ wartości w uporządkowanym rosnąco zestawie. Sumujemy kolejne liczebności:

• ceny $5,05$: pozycje $1-2$,
• ceny $5,60$: pozycje $3-6$,
• ceny $5,70$: pozycje $7-8$,
• ceny $6,00$: pozycje $9-13$.

Zatem $8.$ wartość to $5,70$, a $9.$ wartość to $6,00$. Mediana:

$\text{Me}=\frac{5,70+6,00}{2}=\frac{11,70}{2}=5,85.$

Odpowiedź: C. $5,85$ zł.

Sumujemy wartości wszystkich obserwacji

Korzystamy z tych samych danych (liczba sklepów przy każdej cenie). Sumę cen liczymy jako sumę iloczynów cena $\times$ liczba sklepów:

$5,05\cdot 2+5,60\cdot 4+5,70\cdot 2+6,00\cdot 5+6,30\cdot 3.$

Obliczamy kolejno:

$10,10+22,40+11,40+30,00+18,90=92,80.$

Obliczamy średnią

Dzielimy sumę przez liczbę sklepów ($16$):

$\bar{x}=\frac{92,80}{16}=5,80.$

Odpowiedź: A. $5,80$ zł.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Losujemy dwa razy ze zwracaniem po jednej liczbie ze zbioru $\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ (8 liczb) i zapisujemy wynik w kolejności. Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para liczb, więc z reguły mnożenia

$|\Omega |=8\cdot 8=64.$

Kiedy iloczyn jest podzielny przez $15$

Liczba jest podzielna przez $15=3\cdot 5$, gdy dzieli się jednocześnie przez $3$ i przez $5$. Możliwe iloczyny to $15$, $30$, $45$. Wypisujemy pary $(a,b)$:

• $15=3\cdot 5$: pary $(3,5)$ i $(5,3)$,
• $30=6\cdot 5$: pary $(6,5)$ i $(5,6)$,
• $45=9\cdot 5$: pary $(9,5)$ i $(5,9)$.

Wszystkich zdarzeń sprzyjających jest $|A|=6$.

Prawdopodobieństwo

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}.$

Odpowiedź: $P(A)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$.

Stwierdzenie 1: czy łączna liczba klientów jest równa $L(30)$?

Wartość $L(30)$ to liczba klientów obsłużonych tylko w trzydziestym dniu, a nie suma z całego okresu. Łączna liczba to $L(1)+L(2)+\cdots +L(30)$, czyli znacznie więcej niż pojedyncza wartość $L(30)$. Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 2: czy w trzecim dniu obsłużono $336$ klientów?

Obliczamy $L(3)$:

$L(3)=-3^2+22\cdot 3+279=-9+66+279=336.$

Zgadza się, więc stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P.

Model to funkcja kwadratowa

Liczbę klientów opisuje $L(n)=-n^2+22n+279$ dla $n\in \{1,2,\dots ,30\}$. Współczynnik przy $n^2$ jest ujemny, więc wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół — największą wartość przyjmuje w wierzchołku.

Pierwsza współrzędna wierzchołka

$n_W=-\frac{b}{2a}=-\frac{22}{2\cdot (-1)}=11.$

Liczba $11$ należy do dziedziny $\{1,\dots ,30\}$, więc największa liczba klientów przypada na jedenasty dzień.

Największa liczba klientów

Obliczamy $L(11)$:

$L(11)=-11^2+22\cdot 11+279=-121+242+279=400.$

(Równoważnie z postaci kanonicznej $L(n)=-(n-11{)}^2+400$.)

Wynik

Największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia i było to $400$ klientów.