Matematyka PP — Maj 2022

Upraszczamy pierwiastki

Zauważmy, że $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$, więc

$2\sqrt{8}=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$

Odejmujemy w nawiasie

$2\sqrt{8}-3\sqrt{2}=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}.$

Podnosimy do kwadratu

${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2.$

Odpowiedź: A. $2$.

Wykorzystujemy warunek $2x=3y$

Z równości $2x=3y$ wyznaczamy jedną zmienną, np. $y=\frac{2x}{3}$ (liczby są dodatnie, więc możemy dzielić).

Podstawiamy do wyrażenia

Licznik:

$x^2+y^2=x^2+{\left(\frac{2x}{3}\right)}^2=x^2+\frac{4x^2}{9}=\frac{9x^2+4x^2}{9}=\frac{13x^2}{9}.$

Mianownik:

$x\cdot y=x\cdot \frac{2x}{3}=\frac{2x^2}{3}.$

Dzielimy

$\frac{x^2+y^2}{x\cdot y}=\frac{\frac{13x^2}{9}}{\frac{2x^2}{3}}=\frac{13x^2}{9}\cdot \frac{3}{2x^2}=\frac{13\cdot 3}{9\cdot 2}=\frac{39}{18}=\frac{13}{6}.$

Odpowiedź: B. $\frac{13}{6}$.

Obliczamy pierwszy składnik

Ponieważ ${\log }_{4}2$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $4$, aby otrzymać $2$, a $4^{1/2}=2$, mamy ${\log }_{4}2=\frac{1}{2}$. Zatem

$4{\log }_{4}2=4\cdot \frac{1}{2}=2.$

Obliczamy drugi składnik

Zauważmy, że $8=2^3$, więc ${\log }_{4}8={\log }_4{2}^3=3{\log }_{4}2=3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Stąd

$2{\log }_{4}8=2\cdot \frac{3}{2}=3.$

Sumujemy

$4{\log }_{4}2+2{\log }_{4}8=2+3=5.$

Odpowiedź: C. $5$.

Jak działa obniżka o $10\%$

Obniżka o $10\%$ oznacza, że po obniżce cena stanowi $90\%=0,9$ ceny sprzed obniżki. Po dwóch takich obniżkach cena początkowa $C$ zostaje pomnożona przez $0,9$ dwa razy:

$C\cdot 0,9\cdot 0,9=C\cdot 0,81.$

Zapisujemy równanie

Końcowa cena wynosi $78732$ zł, więc

$0,81\cdot C=78732.$

Obliczamy cenę początkową

$C=\frac{78732}{0,81}=97200.$

Odpowiedź: B. $97200$ zł.

Rozbijamy wykładnik na sumę

Korzystamy z prawa $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$:

$3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot 3^{\frac{1}{4}}.$

Zamieniamy potęgę o wykładniku ułamkowym na pierwiastek

Potęga o wykładniku $\frac{1}{4}$ to pierwiastek czwartego stopnia:

$3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}.$

Zatem

$3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot \sqrt[4]{3}.$

Odpowiedź: A. $3^2\cdot \sqrt[4]{3}$.

Upraszczamy równania układu

Mamy układ

$\{\begin{array}{l}11x-11y=1,\\ 22x+22y=-1.\end{array}$

Pierwsze równanie dzielimy przez $11$, a drugie przez $22$:

$\{\begin{array}{l}x-y=\frac{1}{11},\\ x+y=-\frac{1}{22}.\end{array}$

Dodajemy równania stronami

$2x=\frac{1}{11}-\frac{1}{22}=\frac{2}{22}-\frac{1}{22}=\frac{1}{22},$

skąd

$x_0=\frac{1}{44}>0.$

Wyznaczamy $y_0$

Z równania $x-y=\frac{1}{11}$:

$y_0=x_0-\frac{1}{11}=\frac{1}{44}-\frac{4}{44}=-\frac{3}{44}<0.$

Zatem $x_0>0$ oraz $y_0<0$.

Odpowiedź: B. $x_0>0$ i $y_0<0$.

Pozbywamy się ułamków

Nierówność $\frac{2}{5}-\frac{x}{3}>\frac{x}{5}$ mnożymy obustronnie przez $15$ (liczba dodatnia — znak nierówności bez zmian):

$15\cdot \frac{2}{5}-15\cdot \frac{x}{3}>15\cdot \frac{x}{5},$ $6-5x>3x.$

Porządkujemy wyrazy

Przenosimy $5x$ na prawą stronę:

$6>3x+5x,$ $6>8x.$

Rozwiązujemy

Dzielimy przez $8$ (dodatnie):

$x<\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$

Zbiór rozwiązań to $\left(-\infty ,\frac{3}{4}\right)$.

Odpowiedź: C. $\left(-\infty ,\frac{3}{4}\right)$.

Kiedy iloczyn jest zerem

Równanie $2x(x^2-9)(x+1)=0$ jest spełnione, gdy któryś z czynników jest zerem:

$2x=0\text{lub}{x}^2-9=0\text{lub}x+1=0.$

Rozwiązania cząstkowe

• $2x=0\Rightarrow x=0$,
• $x^2-9=0\Rightarrow x=3$ lub $x=-3$,
• $x+1=0\Rightarrow x=-1$.

Obliczamy iloczyn wszystkich rozwiązań

Rozwiązania to $\{0,3,-3,-1\}$. Ponieważ jednym z nich jest $0$, iloczyn wszystkich rozwiązań wynosi

$0\cdot 3\cdot (-3)\cdot (-1)=0.$

Odpowiedź: C. $0$.

Odczytujemy wartości z wykresu

Wykres składa się z trzech części: odcinka poziomego $y=-3$ (dla $x\le -4$), odcinka rosnącego łączącego punkty $(-4,-3)$ i $(3,4)$ oraz odcinka poziomego $y=4$ (dla $x\ge 3$).

Na odcinku rosnącym przy wzroście $x$ o $1$ wartość rośnie o $1$ (od $-3$ w $x=-4$ do $4$ w $x=3$).

• $f(-3)$: punkt leży na odcinku rosnącym, o jedno miejsce w prawo od $(-4,-3)$, więc $f(-3)=-3+1=-2$.
• $f(0)$: cztery miejsca w prawo od $(-4,-3)$, więc $f(0)=-3+4=1$.
• $f(4)$: punkt leży na poziomym odcinku $y=4$, więc $f(4)=4$.

Obliczamy iloczyn

$f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)=(-2)\cdot 1\cdot 4=-8.$

Odpowiedź: B. $(-8)$.

Porównujemy oba wykresy

Porównujemy charakterystyczne punkty obu łamanych. Na rysunku 1. wykres funkcji $f$ przechodzi m.in. przez punkty $(-4,1)$, $(-2,-1)$, $(0,2)$, $(5,-3)$. Na rysunku 2. wykres funkcji $g$ przechodzi przez odpowiadające im punkty $(-6,1)$, $(-4,-1)$, $(-2,2)$, $(3,-3)$.

Ustalamy rodzaj przesunięcia

Każdy punkt wykresu $g$ ma tę samą wartość ($y$) co odpowiadający punkt wykresu $f$, ale jego pierwsza współrzędna jest o $2$ mniejsza. Oznacza to przesunięcie wykresu w lewo o $2$ jednostki.

Przesunięcie wykresu w lewo o $2$ opisuje wzór

$g(x)=f(x+2).$

Sprawdzenie: $g(-6)=f(-6+2)=f(-4)=1$ — zgadza się.

Odpowiedź: D. $g(x)=f(x+2)$.

Przyrównujemy wartość funkcji do zera

Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego $f(x)=0$:

$-\frac{1}{3}(x+3)+5=0.$

Rozwiązujemy równanie

$-\frac{1}{3}(x+3)=-5,$ $\frac{1}{3}(x+3)=5,$ $x+3=15,$ $x=12.$

Odpowiedź: D. $12$.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Gdy znamy współczynnik przy $x^2$ oraz wierzchołek $W=(p,q)$, funkcję kwadratową zapisujemy w postaci

$f(x)=a(x-p{)}^2+q.$

Podstawiamy dane

Z treści $a=3$ (współczynnik przy $x^2$ w postaci ogólnej $f(x)=3x^2+bx+c$) oraz $W=(-3,2)$, czyli $p=-3$, $q=2$:

$f(x)=3(x-(-3){)}^2+2=3(x+3{)}^2+2.$

Odpowiedź: B. $3(x+3{)}^2+2$.

Upraszczamy wzór ciągu

Dla $n\ge 1$ możemy skrócić wyrażenie przez $n$:

$a_n=\frac{2n^2-30n}{n}=\frac{n(2n-30)}{n}=2n-30.$

Obliczamy $a_7$

$a_7=2\cdot 7-30=14-30=-16.$

Odpowiedź: D. $(-16)$.

Wykorzystujemy różnicę wyrazów

W ciągu arytmetycznym $a_{10}=a_5+5r$, ponieważ od piątego do dziesiątego wyrazu wykonujemy $5$ kroków o różnicę $r$. Stąd

$a_{10}-a_5=5r.$

Podstawiamy dane

$-66-(-31)=5r,$ $-35=5r,$ $r=-7.$

Odpowiedź: A. $(-7)$.

Zapisujemy wyrazy przez iloraz $q$

W ciągu geometrycznym $a_5=a_3\cdot q^2$ (dwa kroki od trzeciego do piątego wyrazu). Warunek $9a_5=4a_3$ przyjmuje postać

$9a_3{q}^2=4a_3.$

Wyznaczamy $q$

Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc $a_3\ne 0$ i możemy podzielić obie strony przez $a_3$:

$9q^2=4\Rightarrow q^2=\frac{4}{9}\Rightarrow q=\frac{2}{3}\text{lub}q=-\frac{2}{3}.$

Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, iloraz musi być dodatni, więc $q=\frac{2}{3}$.

Odpowiedź: A. $\frac{2}{3}$.

Rozpoznajemy wzór na sinus sumy

Wyrażenie $\cos 12^{\circ }\cdot \sin 78^{\circ }+\sin 12^{\circ }\cos 78^{\circ }$ ma budowę wzoru na sinus sumy kątów:

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .$

Tutaj $\alpha =78^{\circ }$, $\beta =12^{\circ }$, więc

$\cos 12^{\circ }\sin 78^{\circ }+\sin 12^{\circ }\cos 78^{\circ }=\sin (78^{\circ }+12^{\circ })=\sin 90^{\circ }.$

Obliczamy wartość

$\sin 90^{\circ }=1.$

(Można też zauważyć, że $\sin 78^{\circ }=\cos 12^{\circ }$ i $\cos 78^{\circ }=\sin 12^{\circ }$, więc wyrażenie równa się ${\cos }^{2}12^{\circ }+{\sin }^{2}12^{\circ }=1$.)

Odpowiedź: D. $1$.

Kąt wpisany oparty na łuku $BC$

Kąt $BSC$ o mierze $\alpha$ jest kątem środkowym opartym na łuku $BC$. Kąt $BAC$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, więc jest dwa razy mniejszy:

$|\angle BAC|=\frac{\alpha }{2}.$

Przenosimy kąt do trójkąta $ABD$

Punkt $D$ leży na cięciwie $AC$, więc półprosta $AD$ pokrywa się z półprostą $AC$. Zatem kąt $BAD$ w trójkącie $ABD$ jest tym samym kątem co $BAC$:

$|\angle BAD|=|\angle BAC|=\frac{\alpha }{2}.$

Suma kątów w trójkącie $ABD$

W trójkącie $ABD$ dane są: $|\angle ADB|=\gamma$ oraz $|\angle BAD|=\frac{\alpha }{2}$. Z twierdzenia o sumie kątów

$|\angle ABD|=180^{\circ }-|\angle ADB|-|\angle BAD|=180^{\circ }-\frac{\alpha }{2}-\gamma .$

Odpowiedź: B. $180^{\circ }-\frac{\alpha }{2}-\gamma$.

Co jest zakreskowaną figurą

Punkt $S$ jest środkiem okręgu, a $A$, $B$, $P$ leżą na okręgu o promieniu $6$. Zakreskowana figura to obszar ograniczony dwoma promieniami $SA$ i $SB$ oraz łukiem $AB$ przechodzącym przez punkt $P$ — czyli wycinek koła o kącie środkowym $\angle ASB$.

Wyznaczamy kąt środkowy $\angle ASB$

Czworokąt $ASBP$ jest rombem, więc jego sąsiednie kąty sumują się do $180^{\circ }$. Kąt ostry przy wierzchołku $A$ ma miarę $60^{\circ }$, więc kąt przy wierzchołku $S$ wynosi

$|\angle ASB|=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }.$

Obliczamy pole wycinka

Wycinek o kącie $120^{\circ }$ stanowi $\frac{120^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{1}{3}$ całego koła o promieniu $6$:

$P=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{3}\cdot 36\pi =12\pi .$

Odpowiedź: D. $12\pi$.

Bok trójkąta z wysokości

Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ wyraża się wzorem $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Z warunku $h=6\sqrt{3}$:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\Rightarrow a=12.$

Pole trójkąta równobocznego

Korzystamy ze wzoru $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$:

$P=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}.$

Odpowiedź: D. $36\sqrt{3}$.

Wzór na pole równoległoboku

Pole równoległoboku o bokach $a$, $b$ i kącie $\phi$ między nimi wynosi

$P=a\cdot b\cdot \sin \phi .$

Wartość sinusa kąta rozwartego jest równa wartości sinusa kąta do niego przyległego, przy czym $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Podstawiamy dane

$P=6\cdot 10\cdot \sin 120^{\circ }=60\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}.$

Odpowiedź: A. $30\sqrt{3}$.

Prosta przechodzi przez początek układu

Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych ma równanie $y=ax$. Ponieważ należy do niej punkt $A=(-2,6)$, wyznaczamy współczynnik kierunkowy:

$6=a\cdot (-2)\Rightarrow a=-3.$

Równanie prostej to $y=-3x$.

Obliczamy $b$

Punkt $B=(3,b)$ leży na tej prostej, więc

$b=-3\cdot 3=-9.$

Odpowiedź: B. $(-9)$.

Warunek prostopadłości prostych

Dwie proste o równaniach kierunkowych są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$.

Współczynniki kierunkowe danych prostych:

$k:a_k=-1,l:a_l=\frac{2}{3},m:a_m=-\frac{3}{2},n:a_n=-\frac{2}{3}.$

Sprawdzamy pary

Badamy iloczyn dla prostych $l$ i $m$:

$a_l\cdot a_m=\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-1.$

Warunek prostopadłości jest spełniony właśnie dla tej pary. Dla pozostałych par iloczyn współczynników jest różny od $-1$.

Odpowiedź: C. proste $l$ oraz $m$.

Wzór na pierwszą współrzędną środka odcinka

Pierwsza współrzędna środka odcinka $KL$ jest średnią arytmetyczną pierwszych współrzędnych końców:

$x_S=\frac{x_K+x_L}{2}=\frac{4+b}{2}.$

Zapisujemy i rozwiązujemy równanie

Z warunku $x_S=-12$:

$\frac{4+b}{2}=-12,$ $4+b=-24,$ $b=-28.$

Odpowiedź: A. $b=-28$.

Długość boku kwadratu

Punkty $A=(-4,4)$ i $B=(4,0)$ są sąsiednimi wierzchołkami, więc odcinek $AB$ jest bokiem kwadratu. Jego długość:

$|AB|=\sqrt{(4-(-4){)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{8^2+(-4{)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.$

Przekątna kwadratu

Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$, zatem

$d=|AB|\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{10}.$

Odpowiedź: A. $4\sqrt{10}$.

Pole podstawy (rombu)

Pole rombu o przekątnych $d_1$ i $d_2$ wynosi $P=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$. Dla przekątnych $7$ cm i $10$ cm:

$P=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 10=35{\text{cm}}^2.$

Wysokość graniastosłupa

Wysokość jest o $2$ cm krótsza od dłuższej przekątnej ($10$ cm):

$H=10-2=8\text{cm}.$

Objętość

$V=P\cdot H=35\cdot 8=280{\text{cm}}^3.$

Odpowiedź: B. $280$ cm³.

Rodzaje ścian ostrosłupa $EFGB$

W sześcianie o krawędzi $a$ punkty $E,F,G$ leżą w górnej ścianie, a $B$ jest wierzchołkiem dolnej podstawy. Wyznaczmy długości krawędzi czworościanu $EFGB$:

• $EF=FG=a$ (krawędzie sześcianu),
• $FB=a$ (pionowa krawędź sześcianu),
• $EG=EB=GB=a\sqrt{2}$ (przekątne ścian sześcianu).

Pola poszczególnych ścian

Trzy ściany są przystającymi trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych $a$, $a$ i przeciwprostokątnej $a\sqrt{2}$ (są to trójkąty $EFG$, $EFB$, $FGB$). Pole każdego z nich:

$P_{△}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{a^2}{2}.$

Czwarta ściana $EGB$ to trójkąt równoboczny o boku $a\sqrt{2}$ (wszystkie boki to przekątne ścian). Jego pole:

$P_{EGB}=\frac{(a\sqrt{2}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$

Pole powierzchni całkowitej

$P_c=3\cdot \frac{a^2}{2}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2+a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2.$

Odpowiedź: D. $\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2$.

Jakie liczby zliczamy

Szukamy liczb czterocyfrowych, które są jednocześnie nieparzyste i podzielne przez $5$. Liczba podzielna przez $5$ kończy się cyfrą $0$ lub $5$, ale musi też być nieparzysta, więc jej ostatnią cyfrą może być tylko $5$.

Liczba możliwości na każdej pozycji

• Pierwsza cyfra nie może być zerem (liczba czterocyfrowa): $9$ możliwości ($1,2,\dots ,9$).
• Druga cyfra: dowolna z $10$ ($0,1,\dots ,9$).
• Trzecia cyfra: dowolna z $10$.
• Czwarta cyfra: musi być $5$, czyli $1$ możliwość.

Reguła mnożenia

$9\cdot 10\cdot 10\cdot 1.$

Odpowiedź: B. $9\cdot 10\cdot 10\cdot 1$.

Zapisujemy warunek na średnią

Średnia arytmetyczna sześciu liczb to ich suma podzielona przez $6$:

$\frac{2x+4+6+8+11+13}{6}=5.$

Rozwiązujemy równanie

Suma liczb stałych: $4+6+8+11+13=42$. Zatem

$\frac{2x+42}{6}=5,$ $2x+42=30,$ $2x=-12,$ $x=-6.$

Odpowiedź: C. $x=-6$.

Sprowadzamy nierówność do postaci z zerem

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

$3x^2-2x-9\ge 7,$ $3x^2-2x-16\ge 0.$

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu

Dla trójmianu $3x^2-2x-16$ obliczamy wyróżnik:

$\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot (-16)=4+192=196,\sqrt{\Delta }=14.$

Pierwiastki:

$x_1=\frac{2-14}{2\cdot 3}=\frac{-12}{6}=-2,x_2=\frac{2+14}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}.$

Odczytujemy zbiór rozwiązań

Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i przyjmuje wartości nieujemne poza przedziałem między pierwiastkami (oraz w samych pierwiastkach). Zatem

$x\in (-\infty ,-2⟩\cup ⟨\frac{8}{3},+\infty ).$

Odpowiedź: $x\in (-\infty ,-2⟩\cup ⟨\frac{8}{3},+\infty )$.

Wyznaczamy różnicę ciągu

Czwarty wyraz ciągu arytmetycznego to $a_4=a_1+3r$. Podstawiamy $a_1=-1$ oraz $a_4=8$:

$8=-1+3r\Rightarrow 3r=9\Rightarrow r=3.$

Suma stu początkowych wyrazów

Korzystamy ze wzoru

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n.$

Dla $n=100$:

$S_{100}=\frac{2\cdot (-1)+99\cdot 3}{2}\cdot 100=\frac{-2+297}{2}\cdot 100=\frac{295}{2}\cdot 100=295\cdot 50.$

Wynik

$S_{100}=14750.$

Przekształcamy nierówność równoważnie

Chcemy wykazać, że dla $a\ne b$ zachodzi

$\frac{a^2+b^2}{2}>{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2.$

Prawą stronę rozwijamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$\frac{a^2+b^2}{2}>\frac{a^2+2ab+b^2}{4}.$

Mnożymy przez $4$ i porządkujemy

$2\left(a^2+b^2\right)>a^2+2ab+b^2,$ $2a^2+2b^2>a^2+2ab+b^2,$ $a^2-2ab+b^2>0.$

Rozpoznajemy kwadrat różnicy

Lewa strona to kwadrat różnicy:

$(a-b{)}^2>0.$

Z założenia $b\ne a$, więc $a-b\ne 0$, a kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni. Nierówność $(a-b{)}^2>0$ jest zatem prawdziwa, a ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne, prawdziwa jest również wyjściowa nierówność.

Zapisujemy związek z definicji tangensa

Z $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2$ otrzymujemy

$\sin \alpha =2\cos \alpha .$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej

Wstawiamy tę zależność do tożsamości ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:

$(2\cos \alpha {)}^2+{\cos }^2\alpha =1,$ $4{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1,$ $5{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}.$

Obliczamy ${\sin }^2\alpha$

Znów z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}.$

Odpowiedź: ${\sin }^2\alpha =\frac{4}{5}$.

Oznaczamy kąty

Niech $|\angle BAC|=2\alpha$. Odcinek $AD$ leży na dwusiecznej kąta $BAC$, więc dzieli go na dwa równe kąty:

$|\angle BAD|=|\angle CAD|=\alpha .$

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny ($|AC|=|BC|$), więc kąty przy podstawie $AB$ są równe. Zatem

$|\angle ABC|=|\angle BAC|=2\alpha .$

Wykorzystujemy podobieństwo trójkątów

Trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne. W trójkącie $ABC$ kąty przy podstawie $AB$ mają miary $2\alpha$. Kąt $\angle ABD$ (będący częścią kąta $\angle ABC$) ma miarę $2\alpha$, więc w trójkącie $ABD$ dwa kąty są równe:

$|\angle ADB|=|\angle ABD|=2\alpha ,$

czyli trójkąt $ABD$ jest równoramienny. (Odpowiada to podobieństwu: kątowi $\angle BAC=2\alpha$ odpowiada kąt $\angle ADB$, a temu przy podstawie kąt $2\alpha$.)

Suma kątów w trójkącie $ABD$

$|\angle BAD|+|\angle ABD|+|\angle ADB|=180^{\circ },$ $\alpha +2\alpha +2\alpha =180^{\circ },$ $5\alpha =180^{\circ }\Rightarrow \alpha =36^{\circ }.$

Wynik

$|\angle BAC|=2\alpha =2\cdot 36^{\circ }=72^{\circ }.$

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Losujemy dwa razy ze zwracaniem po jednej liczbie ze zbioru $M=\{1,2,\dots ,9\}$ (9 liczb) i zapisujemy wynik jako uporządkowaną parę. Z reguły mnożenia

$|\Omega |=9\cdot 9=81.$

Zdarzenia sprzyjające — iloczyn równy $24$

Szukamy uporządkowanych par $(a,b)$ liczb ze zbioru $M$, dla których $a\cdot b=24$. Rozkłady liczby $24$ na czynniki z przedziału od $1$ do $9$:

$24=3\cdot 8=4\cdot 6.$

Uwzględniając kolejność losowania, otrzymujemy pary:

$(3,8),(8,3),(4,6),(6,4),$

więc $|A|=4$. (Rozkładu $24=2\cdot 12$ odrzucamy, bo $12\notin M$.)

Prawdopodobieństwo

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{4}{81}.$

Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej

Punkty $A=(-5,0)$ i $B=(3,0)$ należą do wykresu, więc są to miejsca zerowe funkcji $f$. Zatem możemy zapisać

$f(x)=a(x+5)(x-3).$

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka

Odcięta wierzchołka leży pośrodku między miejscami zerowymi:

$p=\frac{-5+3}{2}=-1.$

Wykres ma z prostą $y=6$ dokładnie jeden punkt wspólny. Prosta pozioma $y=6$ może być styczna do paraboli tylko w jej wierzchołku, więc rzędna wierzchołka wynosi

$q=6.$

Wierzchołek to $W=(-1,6)$.

Obliczamy współczynnik $a$

Podstawiamy współrzędne wierzchołka do postaci iloczynowej:

$6=a(-1+5)(-1-3)=a\cdot 4\cdot (-4)=-16a,$ $a=-\frac{6}{16}=-\frac{3}{8}.$

Wyznaczamy $b$ oraz $c$ (postać ogólna)

Rozwijamy wzór:

$f(x)=-\frac{3}{8}(x+5)(x-3)=-\frac{3}{8}\left(x^2+2x-15\right)=-\frac{3}{8}{x}^2-\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}.$

Wynik

$a=-\frac{3}{8},b=-\frac{3}{4},c=\frac{45}{8}.$