Matematyka PP — Maj 2021

Sprowadzamy wszystko do potęg liczby $10$

Zauważmy, że zarówno $100$, jak i $0,1$ da się zapisać jako potęgę dziesiątki: $100=10^2,0,1=\frac{1}{10}=10^{-1}.$

Przekształcamy każdy czynnik

Pierwszy czynnik: $100^5={\left(10^2\right)}^5=10^{2\cdot 5}=10^{10}.$

Drugi czynnik: $(0,1{)}^{-6}={\left(10^{-1}\right)}^{-6}=10^{(-1)\cdot (-6)}=10^6.$

Mnożymy potęgi o tej samej podstawie

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki: $100^5\cdot (0,1{)}^{-6}=10^{10}\cdot 10^6=10^{10+6}=10^{16}.$

Odpowiedź: B. $10^{16}$.

Zapisujemy warunek zadania równaniem

Zdanie „$78$ stanowi $150\%$ liczby $c$" oznacza, że $78$ to $150\%$ liczby $c$, czyli $1,5$ tej liczby: $78=150\%\cdot c=1,5\cdot c.$

Wyznaczamy $c$

Dzielimy obie strony przez $1,5$: $c=\frac{78}{1,5}=\frac{780}{15}=52.$

Sprawdzenie: $150\%$ z $52$ to $1,5\cdot 52=78$ — zgadza się.

Odpowiedź: B. $52$.

Wyznaczamy część wspólną przedziałów

Szukamy liczb, które należą jednocześnie do przedziału $(-\infty ,5)$ oraz do przedziału $⟨-1,+\infty )$. Częścią wspólną są te liczby, które są jednocześnie mniejsze od $5$ i nie mniejsze od $-1$: $(-\infty ,5)\cap ⟨-1,+\infty )=⟨-1,5).$

Liczymy liczby całkowite w przedziale $⟨-1,5)$

Lewy koniec $-1$ jest domknięty, więc go bierzemy; prawy koniec $5$ jest otwarty, więc go nie bierzemy. Liczby całkowite spełniające ten warunek to: $-1,0,1,2,3,4.$

Jest ich $6$.

Odpowiedź: A. $6$.

Ustalamy podstawę logarytmu

Zapis $\log$ (bez podanej podstawy) oznacza logarytm dziesiętny, czyli o podstawie $10$. Pamiętajmy, że $\log 10=1$.

Obliczamy pierwszy składnik

Korzystamy z tego, że $\sqrt{10}=10^{1/2}$, oraz z własności $\log a^n=n\log a$: $2\log \sqrt{10}=2\log 10^{\frac{1}{2}}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \log 10=1\cdot 1=1.$

Obliczamy drugi składnik

$\log 10^3=3\log 10=3\cdot 1=3.$

Dodajemy

$2\log \sqrt{10}+\log 10^3=1+3=4.$

Odpowiedź: C. $4$.

Zamieniamy ułamek okresowy na zwykły

Ułamek okresowy $0,(3)$ to $0,333\dots =\frac{1}{3}$. Aby odjąć go od $\frac{23}{33}$, sprowadzimy $\frac{1}{3}$ do mianownika $33$: $0,(3)=\frac{1}{3}=\frac{11}{33}.$

Wykonujemy odejmowanie

$\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=\frac{11-23}{33}=\frac{-12}{33}.$

Skracamy ułamek

Licznik i mianownik dzielą się przez $3$: $\frac{-12}{33}=-\frac{4}{11}.$

Odpowiedź: D. $-\frac{4}{11}$.

Mnożymy obie strony przez $2$, aby pozbyć się ułamka

$\frac{2-x}{2}-2x\ge 1/\cdot 2$ $2-x-4x\ge 2.$

Porządkujemy nierówność

Redukujemy wyrazy z $x$ i przenosimy stałą: $2-5x\ge 2,$ $-5x\ge 0.$

Dzielimy przez liczbę ujemną — zmieniamy zwrot nierówności

Dzieląc obie strony przez $-5$ (liczba ujemna), odwracamy znak: $x\le 0.$

Rozwiązaniem jest zbiór $(-\infty ,0⟩$.

Odpowiedź: B. $(-\infty ,0⟩$.

Rozumiemy, czym jest funkcja $g$

Mamy $g(x)=f(x)-2$, czyli wykres $g$ powstaje przez przesunięcie wykresu $f$ o $2$ jednostki w dół.

Sprawdzamy zdanie A

Interesuje nas $f(2)$. Punkt $x=2$ leży na odcinku rosnącym od $(0,-2)$ do $(3,1)$. Odcinek ten ma współczynnik kierunkowy $a=\frac{1-(-2)}{3-0}=\frac{3}{3}=1,$ przechodzi przez $(0,-2)$, więc na tym fragmencie $f(x)=x-2$. Stąd $f(2)=2-2=0.$ Dalej $g(2)=f(2)-2=0-2=-2$, więc $f(2)+g(2)=0+(-2)=-2.$ Zdanie A jest prawdziwe.

Dlaczego pozostałe zdania są fałszywe

• B. Przesunięcie o $2$ w dół zmienia zbiór wartości: zbiorem wartości $f$ jest $⟨-2,3⟩$, a $g$ — $⟨-4,1⟩$. Nie są równe.
• C. Przesunięcie w pionie zmienia miejsca zerowe (punkty przecięcia z osią $OX$), więc $f$ i $g$ nie mają tych samych miejsc zerowych.
• D. Punkt $P=(0,-2)$ leży na wykresie $f$, bo $f(0)=-2$, ale $g(0)=f(0)-2=-4\ne -2$, więc $P$ nie należy do wykresu $g$.

Odpowiedź: A. $f(2)+g(2)=-2$.

Odczytujemy równanie prostej rosnącej

Prosta rosnąca przechodzi przez punkty $(-1,0)$ i $(0,1)$. Z punktu $(0,1)$ odczytujemy wyraz wolny $b=1$, a współczynnik kierunkowy to $a=\frac{1-0}{0-(-1)}=\frac{1}{1}=1.$ Zatem pierwsza prosta ma równanie $y=x+1$.

Odczytujemy równanie prostej malejącej

Prosta malejąca przechodzi przez $(0,4)$ i $(2,0)$. Z $(0,4)$ mamy wyraz wolny $b=4$, a współczynnik kierunkowy $a=\frac{0-4}{2-0}=\frac{-4}{2}=-2.$ Zatem druga prosta ma równanie $y=-2x+4$.

Składamy układ i sprawdzamy punkt przecięcia

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-2x+4\end{array}$ Dla $x=1$: $y=1+1=2$ oraz $y=-2\cdot 1+4=2$ — obie proste przechodzą przez $(1,2)$, zgodnie z rysunkiem.

Odpowiedź: A. $\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-2x+4\end{array}$.

Warunek równoległości prostych

Dwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (i różne wyrazy wolne). Współczynnik kierunkowy prostej $y=3x-5$ wynosi $3$, a prostej $y=\frac{m-3}{2}x+\frac{9}{2}$ wynosi $\frac{m-3}{2}$.

Rozwiązujemy równanie na współczynniki kierunkowe

$\frac{m-3}{2}=3/\cdot 2$ $m-3=6,$ $m=9.$

Sprawdzamy, że proste są naprawdę równoległe (a nie pokrywają się)

Wyraz wolny drugiej prostej to $\frac{9}{2}$, a pierwszej $-5$. Są różne, więc proste są równoległe, a nie identyczne.

Odpowiedź: D. $m=9$.

Obliczamy licznik $x^2$

Dla $x=\sqrt{3}-1$ korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$: $x^2=(\sqrt{3}-1{)}^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}.$

Obliczamy mianownik $2x-2$

$2x-2=2(\sqrt{3}-1)-2=2\sqrt{3}-2-2=2\sqrt{3}-4.$

Wykonujemy dzielenie

$f(x)=\frac{x^2}{2x-2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-4}.$ Zauważmy, że licznik jest liczbą przeciwną do mianownika: $4-2\sqrt{3}=-(2\sqrt{3}-4).$ Zatem $f(x)=\frac{-(2\sqrt{3}-4)}{2\sqrt{3}-4}=-1.$

Odpowiedź: B. $-1$.

Sprawdzamy, który punkt należy do wykresu funkcji $f(x)=3^x-2$

Punkt $(x_0,y_0)$ należy do wykresu, gdy po podstawieniu $x_0$ otrzymamy $y_0$. Sprawdźmy odciętą $x=0$ z odpowiedzi C: $f(0)=3^0-2=1-2=-1.$ Otrzymaliśmy rzędną $-1$, więc punkt $(0,-1)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Dlaczego to jedyny pasujący punkt

Dla porównania sprawdźmy inną wartość, np. $x=1$: $f(1)=3^1-2=1$, więc do wykresu należałby punkt $(1,1)$, a nie żaden z pozostałych. To potwierdza, że właściwą odpowiedzią jest $(0,-1)$.

Odpowiedź: C. $(0,-1)$.

Znajdujemy miejsca zerowe i kierunek ramion

Funkcja $f(x)=-2(x+1)(x-3)$ jest już w postaci iloczynowej, więc jej miejsca zerowe to $x_1=-1,x_2=3.$ Współczynnik przy $x^2$ wynosi $a=-2<0$, zatem ramiona paraboli są skierowane w dół.

Wyznaczamy odciętą wierzchołka

Wierzchołek leży dokładnie w środku między miejscami zerowymi: $p=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-1+3}{2}=1.$

Odczytujemy przedział, w którym funkcja maleje

Dla paraboli o ramionach skierowanych w dół funkcja rośnie na lewo od wierzchołka i maleje na prawo od niego. Zatem funkcja maleje w przedziale $⟨1,+\infty ).$

Odpowiedź: A. $⟨1,+\infty )$.

Warunek ciągu geometrycznego

Ciąg $\left(15,3x,\frac{5}{3}\right)$ jest geometryczny, gdy środkowy wyraz jest średnią geometryczną sąsiednich, czyli spełniony jest warunek:

$(3x{)}^2=15\cdot \frac{5}{3}.$

Obliczenia

Prawa strona:

$15\cdot \frac{5}{3}=25.$

Stąd:

$9x^2=25\Rightarrow x^2=\frac{25}{9}\Rightarrow x=\frac{5}{3}\text{lub}x=-\frac{5}{3}.$

Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, środkowy wyraz $3x>0$, więc $x>0$. Zostaje:

$x=\frac{5}{3}.$

Odpowiedź: D. $x=\frac{5}{3}$.

Kiedy wyraz jest niedodatni?

Szukamy tych $n$ (naturalnych, $n\ge 1$), dla których $b_n\le 0$:

$3n^2-25n\le 0.$

Rozwiązanie nierówności

Wyłączamy $n$ przed nawias:

$n(3n-25)\le 0.$

Miejsca zerowe lewej strony to $n=0$ oraz $3n-25=0$, czyli $n=\frac{25}{3}\approx 8,33$. Ramiona paraboli skierowane są w górę, więc wyrażenie jest niedodatnie między miejscami zerowymi:

$0\le n\le \frac{25}{3}.$

Zliczenie wyrazów

Interesują nas $n$ naturalne, $n\ge 1$, więc:

$n\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}.$

Dla kontroli sprawdźmy końce przedziału:

$b_8=3\cdot 64-25\cdot 8=192-200=-8\le 0,$ $b_9=3\cdot 81-25\cdot 9=243-225=18>0.$

Zatem niedodatnich wyrazów jest $8$.

Odpowiedź: D. $8$.

Własność ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz (poza pierwszym) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich. Wyrazy $a_3$ i $a_5$ są symetrycznie położone względem $a_4$, więc $a_4$ jest ich średnią arytmetyczną:

$a_4=\frac{a_3+a_5}{2}.$

Można to też zapisać jako $a_3+a_5=2a_4$.

Obliczenia

Z danych $a_3+a_5=58$, więc:

$2a_4=58\Rightarrow a_4=29.$

Odpowiedź: B. $29$.

Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Korzystamy z tożsamości ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, z której wynika:

$1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha ,1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha .$

Przekształcenie wyrażenia

Podstawiamy do wyrażenia:

$\frac{\cos \alpha }{1-{\sin }^2\alpha }\cdot \frac{1-{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha }=\frac{\cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha }.$

Skracamy w każdym ułamku:

$=\frac{1}{\cos \alpha }\cdot \frac{\sin \alpha }{1}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\mathrm{tg}\alpha .$

Dla $\alpha$ ostrego $\sin \alpha \ne 0$ i $\cos \alpha \ne 0$, więc wszystkie skrócenia są dozwolone.

Odpowiedź: B. $\mathrm{tg}\alpha$.

Rysunek i dane

Prosta $k$ jest styczna do okręgu o środku $O$ w punkcie $A$, punkt $B$ leży na okręgu, a $|\angle AOB|=80^{\circ }$. Prosta przechodząca przez $O$ i $B$ przecina styczną $k$ w punkcie $C$.

Kąt między promieniem a styczną

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności, więc:

$|\angle OAC|=90^{\circ }.$

Trójkąt równoramienny $OAB$

W trójkącie $OAB$ mamy $|OA|=|OB|=r$ (promienie), więc jest on równoramienny, a kąty przy podstawie $AB$ są równe. Suma kątów w trójkącie to $180^{\circ }$, a kąt przy $O$ wynosi $80^{\circ }$, zatem:

$|\angle OAB|=|\angle OBA|=\frac{180^{\circ }-80^{\circ }}{2}=50^{\circ }.$

Szukany kąt $BAC$

Punkt $B$ leży wewnątrz kąta prostego $OAC$, więc:

$|\angle BAC|=|\angle OAC|-|\angle OAB|=90^{\circ }-50^{\circ }=40^{\circ }.$

Odpowiedź: C. $40^{\circ }$.

Dane

Trójkąt $ABC$ jest prostokątny z kątem prostym w wierzchołku $C$. Przyprostokątna $|AC|=8$, a $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{5}$, gdzie $\alpha$ to kąt przy wierzchołku $A$.

Wyznaczenie drugiej przyprostokątnej

Dla kąta $\alpha$ przy wierzchołku $A$ przyprostokątna $BC$ leży naprzeciw tego kąta, a $AC$ przylega do niego, więc:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|BC|}{8}=\frac{2}{5}.$

Stąd:

$|BC|=8\cdot \frac{2}{5}=\frac{16}{5}.$

Pole trójkąta

Przyprostokątne są jednocześnie podstawą i wysokością, więc:

$P=\frac{1}{2}\cdot |AC|\cdot |BC|=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \frac{16}{5}=\frac{64}{5}.$

Odpowiedź: D. $\frac{64}{5}$.

Wzór na pole trójkąta równobocznego

Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ dane jest wzorem:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Wyznaczenie boku

Podstawiamy $P=\frac{4\sqrt{3}}{9}$:

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{9}.$

Dzielimy obie strony przez $\sqrt{3}$ i mnożymy przez $4$:

$a^2=\frac{4\cdot 4}{9}=\frac{16}{9}\Rightarrow a=\frac{4}{3}(a>0).$

Obwód

$L=3a=3\cdot \frac{4}{3}=4.$

Odpowiedź: A. $4$.

Dane i rysunek

W trójkącie $ABC$ wysokość $CD$ jest opuszczona na bok $AB$, dzieląc go na odcinki $|AD|=3$ i $|BD|=12$. Ponadto $|BC|=13$. Ponieważ $CD$ to wysokość, $CD\perp AB$, więc powstają dwa trójkąty prostokątne: $ADC$ i $BDC$.

Wysokość $CD$ z trójkąta $BDC$

Trójkąt $BDC$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$). Z twierdzenia Pitagorasa:

$|CD{|}^2=|BC{|}^2-|BD{|}^2=13^2-12^2=169-144=25\Rightarrow |CD|=5.$

Bok $AC$ z trójkąta $ADC$

Trójkąt $ADC$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$). Ponownie z twierdzenia Pitagorasa:

$|AC{|}^2=|AD{|}^2+|CD{|}^2=3^2+5^2=9+25=34\Rightarrow |AC|=\sqrt{34}.$

Odpowiedź: A. $\sqrt{34}$.

Dane

Punkty $A,B,C,D$ leżą na okręgu o środku $S$. Dane są kąty: $|\angle SBC|=60^{\circ }$, $|\angle BCD|=110^{\circ }$, $|\angle CDA|=90^{\circ }$. Szukamy $\alpha =|\angle DAS|$.

Kluczowa obserwacja: wszystkie odcinki $SA,SB,SC,SD$ są promieniami, więc mają tę samą długość $r$. Dlatego każdy z trójkątów $SBC$, $SCD$, $SDA$ jest równoramienny, a kąty przy jego podstawie są równe.

Trójkąt $SBC$

Ponieważ $|SB|=|SC|=r$, trójkąt $SBC$ jest równoramienny, więc:

$|\angle SCB|=|\angle SBC|=60^{\circ }.$

Kąt $SCD$

Kąt $BCD$ składa się z kątów $SCB$ i $SCD$:

$|\angle SCD|=|\angle BCD|-|\angle SCB|=110^{\circ }-60^{\circ }=50^{\circ }.$

Trójkąt $SCD$

Ponieważ $|SC|=|SD|=r$, trójkąt jest równoramienny:

$|\angle SDC|=|\angle SCD|=50^{\circ }.$

Kąt $SDA$

Kąt $CDA$ składa się z kątów $SDC$ i $SDA$:

$|\angle SDA|=|\angle CDA|-|\angle SDC|=90^{\circ }-50^{\circ }=40^{\circ }.$

Trójkąt $SDA$

Ponieważ $|SD|=|SA|=r$, trójkąt jest równoramienny:

$\alpha =|\angle DAS|=|\angle SDA|=40^{\circ }.$

Odpowiedź: D. $40^{\circ }$.

Dane

W równoległoboku $ABCD$ poprowadzono przekątną $DB$. Kąt $\alpha$ przy wierzchołku $A$ (między bokiem $AD$ a przekątną $DB$) ma miarę $70^{\circ }$. Szukamy kąta $\beta$ przy wierzchołku $B$ (między przekątną $DB$ a bokiem $BC$).

Kąty naprzemianległe

W równoległoboku boki $AD$ i $BC$ są równoległe: $AD\parallel BC$. Przekątna $DB$ jest prostą przecinającą tę parę prostych równoległych, więc tworzy z nimi kąty naprzemianległe wewnętrzne, które są równe.

Kąt $\alpha$ zawarty między $AD$ a przekątną $DB$ oraz kąt $\beta$ zawarty między $BC$ a tą samą przekątną $DB$ to właśnie taka para kątów naprzemianległych. Zatem:

$\beta =\alpha =70^{\circ }.$

Odpowiedź: B. $70^{\circ }$.

Wzór na liczbę przekątnych

Liczba przekątnych wielokąta o $n$ bokach wynosi:

$\frac{n(n-3)}{2}.$

Szukamy wielokąta, w którym liczba przekątnych jest o $25$ większa od liczby boków ($n$):

$\frac{n(n-3)}{2}=n+25.$

Rozwiązanie równania

Mnożymy obustronnie przez $2$:

$n(n-3)=2n+50,$ $n^2-3n=2n+50,$ $n^2-5n-50=0.$

Obliczamy wyróżnik:

$\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot (-50)=25+200=225,\sqrt{\Delta }=15.$

Stąd:

$n=\frac{5+15}{2}=10\text{lub}n=\frac{5-15}{2}=-5.$

Liczba boków musi być dodatnia (i co najmniej $3$), więc odrzucamy $n=-5$. Zostaje $n=10$ — dziesięciokąt.

Odpowiedź: B. dziesięciokąt.

Pola figur

Figura $F_1$ składa się z dwóch kół o promieniach $1$ i $3$, więc jej pole to:

$P_1=\pi \cdot 1^2+\pi \cdot 3^2=\pi +9\pi =10\pi .$

Figura $F_2$ składa się z dwóch kół o jednakowym promieniu $r$:

$P_2=\pi r^2+\pi r^2=2\pi r^2.$

Porównanie pól

Z warunku równości pól $P_1=P_2$:

$10\pi =2\pi r^2.$

Dzielimy obie strony przez $2\pi$:

$r^2=5\Rightarrow r=\sqrt{5}(r>0).$

Odpowiedź: C. $\sqrt{5}$.

Punkt $M$ jako środek przekątnej

Punkt $M=(1,3)$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu $ABCD$, a więc jest ich wspólnym środkiem. Oznacza to, że $M$ leży w połowie przekątnej $AC$, więc odcinek $AM$ to połowa przekątnej kwadratu.

Obliczam długość $|AM|$, korzystając ze wzoru na odległość punktów $A=(3,-5)$ i $M=(1,3)$:

$|AM|=\sqrt{(3-1{)}^2+(-5-3{)}^2}=\sqrt{2^2+(-8{)}^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}.$

Pole kwadratu przez przekątną

Cała przekątna jest dwa razy dłuższa:

$d=2|AM|=2\sqrt{68},d^2=(2\sqrt{68}{)}^2=4\cdot 68=272.$

Pole kwadratu można wyrazić przez długość przekątnej wzorem $P=\frac{d^2}{2}$ (przekątne kwadratu są równe i prostopadłe). Zatem:

$P=\frac{d^2}{2}=\frac{272}{2}=136.$

Odpowiedź: B. $136$.

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych

Z $8$ wierzchołków sześcianu losujemy $2$ różne wierzchołki. Kolejność nie ma znaczenia (interesuje nas para wierzchołków), więc liczba wszystkich zdarzeń elementarnych to liczba dwuelementowych kombinacji:

$|\Omega |=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=\frac{8\cdot 7}{2}=28.$

Liczba zdarzeń sprzyjających

Zliczam pary, które są końcami przekątnej sześcianu (przekątnej przestrzennej — łączącej dwa wierzchołki przeciwległe, nieleżące na wspólnej ścianie). Każdy wierzchołek sześcianu ma dokładnie jeden wierzchołek przeciwległy, a ponieważ każdą przekątną liczylibyśmy dwa razy (raz z każdego końca), przekątnych przestrzennych jest:

$\frac{8}{2}=4.$

Prawdopodobieństwo

$P=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}.$

Odpowiedź: A. $\frac{1}{7}$.

Dobieramy cyfry na kolejnych pozycjach

Tworzę liczby trzycyfrowe większe od $700$, których cyfry pochodzą ze zbioru $\{1,2,3,7,8,9\}$ i nie powtarzają się. Korzystam z reguły mnożenia.

Cyfra setek. Aby liczba była większa od $700$, cyfra setek musi być jedną z $\{7,8,9\}$ — to $3$ możliwości. Każda taka liczba jest automatycznie większa od $700$: nawet najmniejsza możliwa, zaczynająca się od $7$, to $712$ (bo cyfry się nie powtarzają), a $712>700$.

Cyfra dziesiątek. Wybrałem już jedną cyfrę, więc zostaje $5$ cyfr do dyspozycji — $5$ możliwości.

Cyfra jedności. Zostają $4$ niewykorzystane cyfry — $4$ możliwości.

Reguła mnożenia

$3\cdot 5\cdot 4=60.$

Odpowiedź: B. $60$.

Mediana ciągu o parzystej liczbie wyrazów

Ciąg sześciu liczb $(1,2,2x,x+2,5,6)$ jest niemalejący, a jego mediana jest równa $4$. Dla parzystej liczby wyrazów (tutaj $6$) mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów, czyli trzeciego i czwartego:

$\frac{2x+(x+2)}{2}=4.$

Rozwiązujemy równanie

$2x+x+2=8\Rightarrow 3x+2=8\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2.$

Sprawdzam, czy dla $x=2$ ciąg jest rzeczywiście niemalejący: $2x=4$, $x+2=4$, więc ciąg to $(1,2,4,4,5,6)$ — kolejne wyrazy nie maleją. Warunek jest spełniony.

Odpowiedź: C. $x=2$.

Sprowadzamy nierówność do postaci z zerem

Rozwiązuję nierówność $x^2-5x\le 14$. Przenoszę wszystko na lewą stronę:

$x^2-5x-14\le 0.$

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu

Znajduję miejsca zerowe trójmianu $x^2-5x-14$. Liczę wyróżnik:

$\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot (-14)=25+56=81,\sqrt{\Delta }=9.$

Pierwiastki:

$x_1=\frac{5-9}{2}=-2,x_2=\frac{5+9}{2}=7.$

Odczytujemy zbiór rozwiązań

Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i przyjmuje wartości $\le 0$ pomiędzy pierwiastkami (włącznie z nimi, bo nierówność nieostra).

Odpowiedź: $x\in ⟨-2,7⟩$.

Co mamy wykazać

Mam wykazać, że dla dodatnich liczb $a,b,c$ spełniających warunek $a<b$ zachodzi nierówność

$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}.$

Badamy różnicę ułamków

Aby porównać oba ułamki, obliczam ich różnicę i sprowadzam do wspólnego mianownika:

$\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{a(b+c)-b(a+c)}{b(b+c)}=\frac{ab+ac-ab-bc}{b(b+c)}=\frac{ac-bc}{b(b+c)}=\frac{c(a-b)}{b(b+c)}.$

Analizujemy znak

• Mianownik. Ponieważ $b>0$ oraz $c>0$, mamy $b+c>0$, a więc iloczyn $b(b+c)>0$ — mianownik jest dodatni.
• Licznik. Ponieważ $c>0$, a z założenia $a<b$, czyli $a-b<0$, iloczyn $c(a-b)$ jest liczbą ujemną.

Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest ujemny, zatem

$\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}<0,$

co oznacza, że $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$. To należało wykazać.

Postać funkcji liniowej

Funkcja $f$ jest liniowa, więc ma postać $f(x)=ax+b$. Wyznaczę współczynniki $a$ i $b$ z podanych warunków.

Warunek $f(0)=2$

Podstawiam $x=0$:

$f(0)=a\cdot 0+b=b=2,\text{więc}b=2.$

Warunek $f(4)-f(2)=6$

Obliczam różnicę wartości:

$f(4)-f(2)=(4a+b)-(2a+b)=4a-2a=2a.$

Stąd

$2a=6\Rightarrow a=3.$

Wzór funkcji

Podstawiam wyznaczone współczynniki:

$f(x)=3x+2.$

Założenie dziedziny

Rozwiązuję równanie wymierne

$\frac{3x+2}{3x-2}=4-x.$

Mianownik nie może być zerem: $3x-2\ne 0$, czyli $x\ne \frac{2}{3}$.

Sprowadzamy do równania kwadratowego

Mnożę obie strony przez $3x-2$:

$3x+2=(3x-2)(4-x).$

Wymnażam prawą stronę:

$(3x-2)(4-x)=12x-3x^2-8+2x=-3x^2+14x-8.$

Zatem

$3x+2=-3x^2+14x-8.$

Przenoszę wszystko na jedną stronę:

$3x^2+3x+2-14x+8=0\Rightarrow 3x^2-11x+10=0.$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe

Liczę wyróżnik:

$\Delta =(-11{)}^2-4\cdot 3\cdot 10=121-120=1,\sqrt{\Delta }=1.$

Pierwiastki:

$x_1=\frac{11-1}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3},x_2=\frac{11+1}{6}=\frac{12}{6}=2.$

Oba wyniki spełniają założenie ($\frac{5}{3}\ne \frac{2}{3}$ oraz $2\ne \frac{2}{3}$), więc oba są rozwiązaniami.

Odpowiedź: $x=\frac{5}{3}$ lub $x=2$.

Bok trójkąta $ABC$

Trójkąt $ABC$ jest równoboczny i ma pole $9\sqrt{3}$. Najpierw wyznaczam długość jego boku $a$, korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}.$

Dzielę obie strony przez $\sqrt{3}$ i mnożę przez $4$:

$\frac{a^2}{4}=9\Rightarrow a^2=36\Rightarrow a=6.$

Bok trójkąta $ABC$ ma więc długość $6$.

Wykorzystujemy stosunek boków

Prosta równoległa do $BC$ przecina boki $AB$ i $AC$ w punktach $K$ i $L$, tworząc trójkąt $AKL$ podobny do $ABC$. Stosunek boków wynosi

$\frac{\text{bok }ABC}{\text{bok }AKL}=\frac{3}{2}.$

Zatem długość boku trójkąta $AKL$:

$\text{bok }AKL=\frac{6}{\frac{3}{2}}=6\cdot \frac{2}{3}=4.$

Odpowiedź: długość boku trójkąta $AKL$ jest równa $4$.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Rzucamy dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką. Zdarzenia elementarne to uporządkowane pary wyników (pierwszy i drugi rzut), więc:

$|\Omega |=6\cdot 6=36.$

Zdarzenia sprzyjające — suma $4$, $5$ lub $6$

Wypisuję sprzyjające pary.

Suma $4$: $(1,3),(2,2),(3,1)$ — $3$ pary.

Suma $5$: $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$ — $4$ pary.

Suma $6$: $(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$ — $5$ par.

Łącznie zdarzeń sprzyjających:

$|A|=3+4+5=12.$

Prawdopodobieństwo

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}.$

Odpowiedź: $P(A)=\frac{1}{3}$.

Współrzędne wierzchołka $C$

Dane są wierzchołki $A=(-20,12)$ i $B=(7,3)$ trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$, a wierzchołek $C$ leży na osi $Oy$.

Ponieważ $C$ leży na osi $Oy$, jego pierwsza współrzędna jest zerowa: $C=(0,y)$. Z warunku równoramienności $|AC|=|BC|$, czyli $|AC{|}^2=|BC{|}^2$:

$(0-(-20){)}^2+(y-12{)}^2=(0-7{)}^2+(y-3{)}^2.$

Rozpisuję obie strony:

$400+y^2-24y+144=49+y^2-6y+9.$

Po uproszczeniu (redukuję $y^2$):

$544-24y=58-6y.$

Przenoszę wyrazy:

$544-58=24y-6y\Rightarrow 486=18y\Rightarrow y=27.$

Zatem $C=(0,27)$.

Długości boków

Obliczam ramiona:

$|AC|=\sqrt{(0-(-20){)}^2+(27-12{)}^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25.$

Z równoramienności $|BC|=|AC|=25$ (sprawdzenie: $\sqrt{7^2+(27-3{)}^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$).

Podstawa:

$|AB|=\sqrt{(7-(-20){)}^2+(3-12{)}^2}=\sqrt{27^2+(-9{)}^2}=\sqrt{729+81}=\sqrt{810}=9\sqrt{10}.$

Obwód

$L=|AC|+|BC|+|AB|=25+25+9\sqrt{10}=50+9\sqrt{10}.$

Odpowiedź: $C=(0,27)$, obwód $L=50+9\sqrt{10}$.