Arkusze

Matematyka

Matematyka PP — Maj 2020

Arkusz maturalny z matematyki, poziom podstawowy, sesja Maj 2020 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Maj 2020 · CKE

Arkusz Zasady oceniania

Zadanie 1

1 pkt

Wyrażenia algebraicznewzory skróconego mnożenia

Wartość wyrażenia $x^{2} - 6 x + 9$ dla $x = 3 + 3$ jest równa:

A.
$1$ ,
B.
$3$ ,
C.
$1 + 23$ ,
D.
$1 - 23$ .

Rozwiązanie

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia

Wyrażenie $x^{2} - 6 x + 9$ jest kwadratem różnicy, bo $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} .$

Podstawiamy $x = 3 + 3$

Wtedy $x - 3 = 3 + 3 - 3 = 3$ , więc $(x - 3)^{2} = (3)^{2} = 3.$

Odpowiedź: B. $3$ .

Zadanie 2

1 pkt

Liczby rzeczywistepotęgi

Liczba $\frac{2 ^{50} \cdot 3 ^{40}}{3 6 ^{10}}$ jest równa:

A.
$6^{70}$ ,
B.
$6^{45}$ ,
C.
$2^{30} \cdot 3^{20}$ ,
D.
$2^{10} \cdot 3^{20}$ .

Rozwiązanie

Sprowadzamy podstawę $36$ do czynników pierwszych

Zauważmy, że $36 = 6^{2} = (2 \cdot 3)^{2} = 2^{2} \cdot 3^{2}$ , więc $3 6^{10} = (2^{2} \cdot 3^{2})^{10} = 2^{20} \cdot 3^{20} .$

Wykonujemy dzielenie potęg o tych samych podstawach

$\frac{2 ^{50} \cdot 3 ^{40}}{2 ^{20} \cdot 3 ^{20}} = 2^{50 - 20} \cdot 3^{40 - 20} = 2^{30} \cdot 3^{20} .$

Odpowiedź: C. $2^{30} \cdot 3^{20}$ .

Zadanie 3

1 pkt

Liczby rzeczywistelogarytmy

Liczba $lo g_{5} 125$ jest równa:

A.
$\frac{2}{3}$ ,
B.
$2$ ,
C.
$3$ ,
D.
$\frac{3}{2}$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy pierwiastek jako potęgę

Korzystamy z tego, że $125 = 12 5^{\frac{1}{2}}$ , a $125 = 5^{3}$ : $125 = (5^{3})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}} .$

Obliczamy logarytm

Z definicji logarytmu $lo g_{5} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$ (bo $5^{3/2} = 125$ ). Możemy to też zapisać przez własność logarytmu potęgi: $lo g_{5} 125 = lo g_{5} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g_{5} 5 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} .$

Odpowiedź: D. $\frac{3}{2}$ .

Zadanie 4

1 pkt

Liczby rzeczywisteprocenty

Cenę $x$ pewnego towaru obniżono o $20%$ i otrzymano cenę $y$ . Aby przywrócić cenę $x$ , nową cenę $y$ należy podnieść o:

A.
$25%$ ,
B.
$20%$ ,
C.
$15%$ ,
D.
$12%$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy cenę po obniżce

Obniżenie ceny $x$ o $20%$ daje $y = x - 0, 2 x = 0, 8 x .$

Szukamy, o ile procent podnieść $y$ , by wrócić do $x$

Szukamy takiego $p$ , że $y \cdot (1 + p) = x$ , czyli $0, 8 x \cdot (1 + p) = x \Rightarrow 1 + p = \frac{1}{0 , 8} = 1, 25 \Rightarrow p = 0, 25 = 25%.$

Inaczej: podwyżka wynosi $\frac{x - y}{y} = \frac{0 , 2 x}{0 , 8 x} = \frac{1}{4} = 25%$ .

Odpowiedź: A. $25%$ .

Zadanie 5

1 pkt

Równania i nierównościnierówność liniowa

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $3 (1 - x) > 2 (3 x - 1) - 12 x$ jest przedział:

A.
$(- \frac{5}{3}, + \infty)$ ,
B.
$(- \infty, \frac{5}{3})$ ,
C.
$(\frac{5}{3}, + \infty)$ ,
D.
$(- \infty, - \frac{5}{3})$ .

Rozwiązanie

Opuszczamy nawiasy po obu stronach

$3 (1 - x) > 2 (3 x - 1) - 12 x$ $3 - 3 x > 6 x - 2 - 12 x .$

Porządkujemy nierówność

Po prawej stronie $6 x - 12 x = - 6 x$ : $3 - 3 x > - 6 x - 2.$ Przenosimy wyrazy z $x$ na lewo, liczby na prawo: $- 3 x + 6 x > - 2 - 3 \Rightarrow 3 x > - 5 \Rightarrow x > - \frac{5}{3} .$

Zbiorem rozwiązań jest przedział $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ .

Odpowiedź: A. $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ .

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 6

1 pkt

Równania i nierównościrównanie iloczynowe

Suma wszystkich rozwiązań równania $x (x - 3) (x + 2) = 0$ jest równa:

A.
$0$ ,
B.
$1$ ,
C.
$2$ ,
D.
$3$ .

Rozwiązanie

Korzystamy z własności iloczynu równego zeru

Iloczyn $x (x - 3) (x + 2)$ jest równy zero, gdy któryś z czynników jest zerem: $x = 0 lub x - 3 = 0 lub x + 2 = 0.$ Stąd rozwiązania to $x = 0, x = 3, x = - 2$ .

Sumujemy rozwiązania

$0 + 3 + (- 2) = 1.$

Odpowiedź: B. $1$ .

Zadanie 7

1 pkt

Funkcja kwadratowapostać iloczynowawierzchołek

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = a (x - 1) (x - 3)$ ; wierzchołkiem paraboli jest $W = (2, 1)$ . Współczynnik $a$ jest równy:

Fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f(x)=a(x-1)(x-3) z wierzchołkiem w punkcie W=(2,1)

A.
$1$ ,
B.
$2$ ,
C.
$- 2$ ,
D.
$- 1$ .

Rozwiązanie

Wykorzystujemy współrzędne wierzchołka

Funkcja $f (x) = a (x - 1) (x - 3)$ ma miejsca zerowe $1$ i $3$ , a jej wierzchołek to $W = (2, 1)$ . Ponieważ wierzchołek leży na wykresie, podstawiamy $x = 2$ i żądamy $f (2) = 1$ : $f (2) = a (2 - 1) (2 - 3) = a \cdot 1 \cdot (- 1) = - a .$

Wyznaczamy $a$

$- a = 1 \Rightarrow a = - 1.$

Odpowiedź: D. $- 1$ .

Zadanie 8

1 pkt

Funkcja kwadratowawartość największa

Dla $f (x) = a (x - 1) (x - 3)$ (z $W = (2, 1)$ ) największa wartość funkcji $f$ w przedziale $⟨ 1, 4 ⟩$ jest równa:

A.
$- 3$ ,
B.
$0$ ,
C.
$1$ ,
D.
$2$ .

Rozwiązanie

Ustalamy kształt paraboli

Z zadania 7. wiemy, że $a = - 1 < 0$ , więc ramiona paraboli są skierowane w dół, a wierzchołek $W = (2, 1)$ jest punktem, w którym funkcja przyjmuje wartość największą, równą $1$ .

Sprawdzamy, że wierzchołek należy do przedziału

Odcięta wierzchołka $x = 2$ należy do przedziału $⟨ 1, 4 ⟩$ , więc na tym przedziale największą wartością funkcji jest właśnie wartość w wierzchołku: $f_{m a x} = 1.$

(Dla porównania na końcach: $f (1) = 0$ , $f (4) = - 1 \cdot 3 \cdot 1 = - 3$ — obie mniejsze od $1$ .)

Odpowiedź: C. $1$ .

Zadanie 9

1 pkt

Funkcja kwadratowaoś symetriiwierzchołek

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f (x) = a (x - 1) (x - 3)$ jest prosta o równaniu:

A.
$x = 1$ ,
B.
$x = 2$ ,
C.
$y = 1$ ,
D.
$y = 2$ .

Rozwiązanie

Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek, czyli $x = p$ , gdzie $p$ to odcięta wierzchołka.

Wierzchołek to $W = (2, 1)$ , więc $p = 2$ . Osią symetrii jest prosta $x = 2.$

Odpowiedź: B. $x = 2$ .

Zadanie 10

1 pkt

Równania i nierównościrównania kwadratowe

Równanie $x (x - 2) = (x - 2)^{2}$ w zbiorze liczb rzeczywistych:

A.
nie ma rozwiązań,
B.
ma dokładnie jedno rozwiązanie $x = 2$ ,
C.
ma dokładnie jedno rozwiązanie $x = 0$ ,
D.
ma dwa różne rozwiązania $x = 1$ i $x = 2$ .

Rozwiązanie

Przenosimy wszystko na jedną stronę

$x (x - 2) = (x - 2)^{2} \Rightarrow x (x - 2) - (x - 2)^{2} = 0.$

Wyłączamy wspólny czynnik $(x - 2)$

$(x - 2) [x - (x - 2)] = 0 \Rightarrow (x - 2) \cdot 2 = 0.$

Czynnik $2$ nigdy nie jest zerem, więc pozostaje $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2.$

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie $x = 2$ .

Odpowiedź: B. ma dokładnie jedno rozwiązanie $x = 2$ .

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 11

1 pkt

Funkcja liniowawspółczynnik kierunkowyodczytywanie z wykresu

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ (prosta malejąca przechodząca przez $(0, 1)$ i $(2, - 3)$ ). Współczynniki $a$ i $b$ spełniają zależność:

A.
$a + b > 0$ ,
B.
$a + b = 0$ ,
C.
$a \cdot b > 0$ ,
D.
$a \cdot b < 0$ .

Rozwiązanie

Odczytujemy znak wyrazu wolnego $b$

Wyraz wolny $b$ to rzędna punktu przecięcia wykresu z osią $O Y$ . Z wykresu prosta przecina oś $O Y$ w punkcie $(0, 1)$ , więc $b = 1 > 0.$

Odczytujemy znak współczynnika kierunkowego $a$

Prosta jest malejąca (idzie z góry po lewej w dół po prawej), więc $a < 0.$ (Dokładniej, prosta przechodzi przez $(0, 1)$ i $(2, - 3)$ , więc $a = \frac{- 3 - 1}{2 - 0} = - 2$ .)

Sprawdzamy zależności

Mamy $a < 0$ i $b > 0$ , zatem iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny: $a \cdot b < 0.$ (Przy okazji: $a + b = - 2 + 1 = - 1 < 0$ , więc A i B odpadają; $a \cdot b > 0$ też jest fałszem.)

Odpowiedź: D. $a \cdot b < 0$ .

Zadanie 12

1 pkt

Funkcjeobliczanie wartości funkcjipotęgi

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = 4^{- x} + 1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ . Liczba $f (\frac{1}{2})$ jest równa:

A.
$\frac{1}{2}$ ,
B.
$\frac{3}{2}$ ,
C.
$3$ ,
D.
$17$ .

Rozwiązanie

Podstawiamy $x = \frac{1}{2}$ do wzoru

$f (\frac{1}{2}) = 4^{- \frac{1}{2}} + 1.$

Obliczamy potęgę o wykładniku ujemnym i ułamkowym

$4^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{4 ^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .$

Dodajemy

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} .$

Odpowiedź: B. $\frac{3}{2}$ .

Zadanie 13

1 pkt

Funkcja liniowaproste równoległe i prostopadłewspółczynnik kierunkowy

Proste o równaniach $y = (m - 2) x$ oraz $y = \frac{3}{4} x + 7$ są równoległe. Wtedy:

A.
$m = - \frac{5}{4}$ ,
B.
$m = \frac{2}{3}$ ,
C.
$m = \frac{11}{4}$ ,
D.
$m = \frac{10}{3}$ .

Rozwiązanie

Warunek równoległości prostych

Dwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Współczynnik prostej $y = (m - 2) x$ to $m - 2$ , a prostej $y = \frac{3}{4} x + 7$ to $\frac{3}{4}$ .

Rozwiązujemy równanie

$m - 2 = \frac{3}{4} \Rightarrow m = 2 + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} .$

(Wyrazy wolne: $0$ oraz $7$ — różne, więc proste są równoległe, a nie pokrywają się.)

Odpowiedź: C. $m = \frac{11}{4}$ .

Zadanie 14

1 pkt

Ciągiwyraz ciągu

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n} = 2 n^{2}$ dla $n \geq 1$ . Różnica $a_{5} - a_{4}$ jest równa:

A.
$4$ ,
B.
$20$ ,
C.
$36$ ,
D.
$18$ .

Rozwiązanie

Obliczamy potrzebne wyrazy ciągu

Ze wzoru $a_{n} = 2 n^{2}$ : $a_{5} = 2 \cdot 5^{2} = 2 \cdot 25 = 50, a_{4} = 2 \cdot 4^{2} = 2 \cdot 16 = 32.$

Wyznaczamy różnicę

$a_{5} - a_{4} = 50 - 32 = 18.$

Odpowiedź: D. $18$ .

Zadanie 15

1 pkt

Ciągiciąg arytmetycznysuma ciągu

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ czwarty wyraz jest równy $3$ , a różnica ciągu jest równa $5$ . Suma $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ jest równa:

A.
$- 42$ ,
B.
$- 36$ ,
C.
$- 18$ ,
D.
$6$ .

Rozwiązanie

Wyznaczamy pierwszy wyraz

W ciągu arytmetycznym $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ . Dane: $a_{4} = 3$ , $r = 5$ , więc $a_{4} = a_{1} + 3 r \Rightarrow 3 = a_{1} + 3 \cdot 5 \Rightarrow a_{1} = 3 - 15 = - 12.$

Obliczamy sumę czterech pierwszych wyrazów

Korzystamy ze wzoru na sumę: $S_{4} = \frac{a _{1} + a _{4}}{2} \cdot 4 = \frac{- 12 + 3}{2} \cdot 4 = \frac{- 9}{2} \cdot 4 = - 18.$

(Sprawdzenie bezpośrednie: $a_{1} = - 12, a_{2} = - 7, a_{3} = - 2, a_{4} = 3$ ; suma $= - 12 - 7 - 2 + 3 = - 18$ .)

Odpowiedź: C. $- 18$ .

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 16

1 pkt

Funkcja liniowawzór funkcji liniowej

Punkt $A = (\frac{1}{3}, - 1)$ należy do wykresu funkcji liniowej $f (x) = 3 x + b$ . Wynika stąd, że:

A.
$b = 2$ ,
B.
$b = 1$ ,
C.
$b = - 1$ ,
D.
$b = - 2$ .

Rozwiązanie

Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru

Punkt $A = (\frac{1}{3}, - 1)$ należy do wykresu $f (x) = 3 x + b$ , więc dla $x = \frac{1}{3}$ wartość funkcji wynosi $- 1$ : $- 1 = 3 \cdot \frac{1}{3} + b .$

Wyznaczamy $b$

$- 1 = 1 + b \Rightarrow b = - 2.$

Odpowiedź: D. $b = - 2$ .

Zadanie 17

1 pkt

Planimetriakąty w okręguokręgi

Punkty $A, B, C, D$ leżą na okręgu o środku $O$ ; odcinki $A D$ i $B C$ są średnicami przechodzącymi przez $O$ . Kąt środkowy $D O C$ ma miarę $11 8^{\circ}$ . Miara kąta $A B C$ jest równa:

Okrąg o środku O z punktami A, B, C, D; kąt środkowy DOC ma miarę 118 stopni

A.
$5 9^{\circ}$ ,
B.
$4 8^{\circ}$ ,
C.
$6 2^{\circ}$ ,
D.
$3 1^{\circ}$ .

Rozwiązanie

Odczytujemy z rysunku

Odcinki $A D$ i $B C$ są średnicami okręgu — obie przechodzą przez środek $O$ . Dany jest kąt środkowy $∣∠ D O C ∣ = 11 8^{\circ}$ .

Wyznaczamy kąt środkowy oparty na łuku $A C$

Punkty $A$ , $O$ , $D$ leżą na jednej prostej (bo $A D$ to średnica), więc kąty $A O C$ i $D O C$ są kątami przyległymi i sumują się do $18 0^{\circ}$ : $∣∠ A O C ∣ = 18 0^{\circ} - ∣∠ D O C ∣ = 18 0^{\circ} - 11 8^{\circ} = 6 2^{\circ} .$

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku

Kąt $A B C$ jest kątem wpisanym opartym na łuku $A C$ , a kąt $A O C$ jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku. Kąt wpisany jest połową kąta środkowego: $∣∠ A B C ∣ = \frac{1}{2} ∣∠ A O C ∣ = \frac{6 2 ^{\circ}}{2} = 3 1^{\circ} .$

Odpowiedź: D. $3 1^{\circ}$ .

Zadanie 18

1 pkt

Geometria analitycznaprosta na płaszczyźnie

Prosta przechodząca przez punkty $A = (3, - 2)$ i $B = (- 1, 6)$ jest określona równaniem:

A.
$y = - 2 x + 4$ ,
B.
$y = - 2 x - 8$ ,
C.
$y = 2 x + 8$ ,
D.
$y = 2 x - 4$ .

Rozwiązanie

Obliczamy współczynnik kierunkowy

Dla prostej przez $A = (3, - 2)$ i $B = (- 1, 6)$ : $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{6 - ( - 2 )}{- 1 - 3} = \frac{8}{- 4} = - 2.$

Wyznaczamy wyraz wolny

Prosta ma postać $y = - 2 x + b$ . Podstawiamy punkt $A = (3, - 2)$ : $- 2 = - 2 \cdot 3 + b \Rightarrow - 2 = - 6 + b \Rightarrow b = 4.$

Zatem $y = - 2 x + 4$ .

Odpowiedź: A. $y = - 2 x + 4$ .

Zadanie 19

1 pkt

Trygonometriafunkcje trygonometryczne

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $α$ i $β$ . Wyrażenie $2 cos α - sin β$ jest równe:

Trójkąt prostokątny z kątami ostrymi alfa i beta

A.
$2 sin β$ ,
B.
$cos α$ ,
C.
$0$ ,
D.
$2$ .

Rozwiązanie

Wykorzystujemy, że kąty ostre trójkąta prostokątnego się dopełniają

W trójkącie prostokątnym $α + β = 9 0^{\circ}$ , więc $β = 9 0^{\circ} - α$ . Z własności funkcji kątów dopełniających: $sin β = sin (9 0^{\circ} - α) = cos α .$

Przekształcamy wyrażenie

$2 cos α - sin β = 2 cos α - cos α = cos α .$

Odpowiedź: B. $cos α$ .

Zadanie 20

1 pkt

Geometria analitycznaodległość punktówsymetria

Punkt $B$ jest obrazem punktu $A = (- 3, 5)$ w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka $A B$ jest równa:

A.
$234$ ,
B.
$8$ ,
C.
$34$ ,
D.
$12$ .

Rozwiązanie

Wyznaczamy obraz punktu w symetrii środkowej

W symetrii względem początku układu współrzędnych punkt $A = (- 3, 5)$ przechodzi na punkt o przeciwnych współrzędnych: $B = (3, - 5) .$

Obliczamy długość odcinka $A B$

$∣ A B ∣ = (3 - (- 3))^{2} + (- 5 - 5)^{2} = 6^{2} + (- 10)^{2} = 36 + 100 = 136 .$ Upraszczamy: $136 = 4 \cdot 34 = 234$ .

Odpowiedź: A. $234$ .

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 21

1 pkt

Kombinatorykareguła mnożenia

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr $1, 3, 5, 7, 9$ , w których cyfry się nie powtarzają?

A.
$10$ ,
B.
$15$ ,
C.
$20$ ,
D.
$25$ .

Rozwiązanie

Dobieramy cyfry na kolejnych pozycjach (reguła mnożenia)

Tworzymy liczby dwucyfrowe z cyfr $1, 3, 5, 7, 9$ bez powtórzeń.

Cyfra dziesiątek: możemy wybrać dowolną z $5$ cyfr — $5$ możliwości.
Cyfra jedności: musi być różna od już użytej, więc zostają $4$ cyfry — $4$ możliwości.

Reguła mnożenia

$5 \cdot 4 = 20.$

Odpowiedź: C. $20$ .

Zadanie 22

1 pkt

Planimetriapole figurczworokąty

Pole prostokąta $A B C D$ jest równe $90$ . Na bokach $A B$ i $C D$ wybrano punkty $P$ i $R$ takie, że $\frac{A P}{P B} = \frac{C R}{R D} = \frac{3}{2}$ . Pole czworokąta $A P C R$ jest równe:

Prostokąt ABCD z punktami P na AB i R na CD oraz odcinkami AR i PC

A.
$36$ ,
B.
$40$ ,
C.
$54$ ,
D.
$60$ .

Rozwiązanie

Wprowadzamy oznaczenia

Niech $A B = C D = a$ (długość) oraz wysokość prostokąta $= h$ . Wtedy pole prostokąta $a \cdot h = 90$ .

Wyznaczamy położenie punktów $P$ i $R$

Z warunku $\frac{A P}{P B} = \frac{3}{2}$ punkt $P$ dzieli bok $A B$ tak, że $A P = \frac{3}{5} a$ (bo $A P : P B = 3 : 2$ , więc $A P = \frac{3}{3 + 2} a$ ). Analogicznie $C R = \frac{3}{5} a$ , licząc od wierzchołka $C$ .

Liczymy pole czworokąta $A P C R$ jako sumę dwóch trójkątów

Przekątna $A C$ dzieli czworokąt $A P C R$ na trójkąty $A P C$ i $A C R$ . Oba mają wysokość równą $h$ (odległość między równoległymi bokami $A B$ i $C D$ ).

Trójkąt $A P C$ : podstawa $A P = \frac{3}{5} a$ leży na $A B$ , wysokość $h$ : $P_{A P C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} a \cdot h = \frac{3}{10} ah .$
Trójkąt $A C R$ : podstawa $C R = \frac{3}{5} a$ leży na $C D$ , wysokość $h$ : $P_{A C R} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} a \cdot h = \frac{3}{10} ah .$

Sumujemy

$P_{A P C R} = \frac{3}{10} ah + \frac{3}{10} ah = \frac{6}{10} ah = \frac{3}{5} \cdot 90 = 54.$

Odpowiedź: C. $54$ .

Zadanie 23

1 pkt

Statystykamediana

Cztery liczby $2, 3, a, 8$ (uporządkowane rosnąco) tworzą zestaw danych. Mediana tego zestawu jest równa medianie zestawu pięciu danych $5, 3, 6, 8, 2$ . Zatem:

A.
$a = 7$ ,
B.
$a = 6$ ,
C.
$a = 5$ ,
D.
$a = 4$ .

Rozwiązanie

Mediana zestawu pięciu danych

Porządkujemy dane $5, 3, 6, 8, 2$ rosnąco: $2, 3, 5, 6, 8$ . Środkowa (trzecia) liczba to $mediana = 5.$

Mediana zestawu czterech danych

Zestaw $2, 3, a, 8$ jest uporządkowany rosnąco, więc mediana to średnia dwóch środkowych wyrazów $3$ i $a$ : $\frac{3 + a}{2} .$

Przyrównujemy mediany

$\frac{3 + a}{2} = 5 \Rightarrow 3 + a = 10 \Rightarrow a = 7.$ (Warunek uporządkowania $3 \leq a \leq 8$ jest spełniony.)

Odpowiedź: A. $a = 7$ .

Zadanie 24

1 pkt

Stereometriagraniastosłupypole powierzchni

Przekątna sześcianu ma długość $43$ . Pole powierzchni tego sześcianu jest równe:

A.
$96$ ,
B.
$243$ ,
C.
$192$ ,
D.
$163$ .

Rozwiązanie

Wyznaczamy krawędź sześcianu

Przekątna (przestrzenna) sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a 3$ . Z warunku: $a 3 = 43 \Rightarrow a = 4.$

Obliczamy pole powierzchni

Sześcian ma $6$ jednakowych ścian kwadratowych o polu $a^{2}$ : $P = 6 a^{2} = 6 \cdot 4^{2} = 6 \cdot 16 = 96.$

Odpowiedź: A. $96$ .

Zadanie 25

1 pkt

Stereometriabryły obrotoweobjętość

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami. Stosunek wysokości tych stożków jest równy $3 : 2$ . Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa $12 cm^{3}$ . Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa:

Dwa stożki o wspólnej podstawie połączone w kształcie rombu, z zaznaczonym promieniem r

A.
$20 cm^{3}$ ,
B.
$30 cm^{3}$ ,
C.
$39 cm^{3}$ ,
D.
$52, 5 cm^{3}$ .

Rozwiązanie

Objętość stożka jest proporcjonalna do wysokości

Oba stożki mają tę samą podstawę (ten sam promień $r$ ), więc ich objętości $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ różnią się tylko wysokością — są wprost proporcjonalne do wysokości.

Stosunek wysokości wynosi $3 : 2$ , więc taki sam jest stosunek objętości.

Obliczamy objętość drugiego stożka

Stożek o krótszej wysokości (część „ $2$ ") ma objętość $12 cm^{3}$ . Stożek o dłuższej wysokości (część „ $3$ ") ma objętość: $V_{d ł u \overset{z}{˙} szy} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18 cm^{3} .$

Sumujemy objętości

$V = 12 + 18 = 30 cm^{3} .$

Odpowiedź: B. $30 cm^{3}$ .

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 26

2 pkt

Równania i nierównościnierówności kwadratowe

Rozwiąż nierówność $2 (x - 1) (x + 3) > x - 1$ .

Rozwiązanie

Sprowadzamy nierówność do postaci z zerem po prawej

$2 (x - 1) (x + 3) > x - 1.$ Wymnażamy lewą stronę: $2 (x^{2} + 2 x - 3) = 2 x^{2} + 4 x - 6$ . Zatem $2 x^{2} + 4 x - 6 > x - 1.$ Przenosimy wszystko na lewą stronę: $2 x^{2} + 4 x - 6 - x + 1 > 0 \Rightarrow 2 x^{2} + 3 x - 5 > 0.$

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu

Dla $2 x^{2} + 3 x - 5$ : $Δ = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49, Δ = 7.$ $x_{1} = \frac{- 3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{- 10}{4} = - \frac{5}{2}, x_{2} = \frac{- 3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1.$

Odczytujemy zbiór rozwiązań

Współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni ( $a = 2 > 0$ ), więc parabola ma ramiona w górę i przyjmuje wartości dodatnie poza pierwiastkami. Nierówność jest ostra, więc końce wyłączamy.

Odpowiedź: $x \in (- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (1, + \infty)$ .

Zadanie 27

2 pkt

Równania i nierównościrównania kwadratowerównanie iloczynowe

Rozwiąż równanie $(x^{2} - 1) (x^{2} - 2 x) = 0$ .

Rozwiązanie

Korzystamy z własności iloczynu równego zeru

Iloczyn $(x^{2} - 1) (x^{2} - 2 x) = 0$ jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem: $x^{2} - 1 = 0 lub x^{2} - 2 x = 0.$

Rozwiązujemy pierwsze równanie

$x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = - 1 lub x = 1.$

Rozwiązujemy drugie równanie

Wyłączamy $x$ przed nawias: $x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 lub x = 2.$

Zbieramy wszystkie rozwiązania

Odpowiedź: $x = - 1, x = 0, x = 1, x = 2$ .

Zadanie 28

2 pkt

Wyrażenia algebraicznedowódwzory skróconego mnożenia

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a (a - 2 b) + 2 b^{2} > 0$ .

Rozwiązanie

Co mamy wykazać

Mamy udowodnić, że dla każdych różnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ ( $a \neq = b$ ) zachodzi $a (a - 2 b) + 2 b^{2} > 0.$

Przekształcamy lewą stronę

Najpierw opuszczamy nawias: $a (a - 2 b) + 2 b^{2} = a^{2} - 2 ab + 2 b^{2} .$ Rozbijamy $2 b^{2} = b^{2} + b^{2}$ i grupujemy tak, by powstał kwadrat różnicy: $a^{2} - 2 ab + 2 b^{2} = (a - b)^{2} a^{2} - 2 ab + b^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + b^{2} .$

Analizujemy znak

Ponieważ $a \neq = b$ , mamy $a - b \neq = 0$ , a kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni: $(a - b)^{2} > 0$ .
Wyrażenie $b^{2}$ jest nieujemne: $b^{2} \geq 0$ .

Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia, więc $(a - b)^{2} + b^{2} > 0,$ czyli $a (a - 2 b) + 2 b^{2} > 0$ . To należało wykazać.

Zadanie 29

2 pkt

Planimetriapodobieństwo trójkątówdowódtrójkąty

Trójkąt $A B C$ jest równoboczny. Punkt $E$ leży na wysokości $C D$ tego trójkąta oraz $C E = \frac{3}{4} C D$ . Punkt $F$ leży na boku $B C$ i odcinek $E F$ jest prostopadły do $B C$ . Wykaż, że $C F = \frac{9}{16} C B$ .

Trójkąt równoboczny ABC z punktem E na wysokości CD i punktem F na boku BC

Rozwiązanie

Wprowadzamy oznaczenia

Niech bok trójkąta równobocznego $A B C$ ma długość $B C = a$ . Wysokość trójkąta równobocznego to $C D = \frac{a 3}{2} .$

Wyznaczamy długość $C E$

Z warunku $C E = \frac{3}{4} C D$ : $C E = \frac{3}{4} \cdot \frac{a 3}{2} = \frac{3 a 3}{8} .$

Analizujemy trójkąt prostokątny $C E F$

Wysokość $C D$ w trójkącie równobocznym jest jednocześnie dwusieczną kąta przy wierzchołku $C$ , więc kąt między $C D$ (czyli $C E$ ) a bokiem $C B$ wynosi $\frac{1}{2} \cdot 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ . Ponieważ $E F ⊥ B C$ , trójkąt $C E F$ jest prostokątny z kątem prostym przy $F$ i kątem $3 0^{\circ}$ przy $C$ . Odcinek $C F$ jest przyprostokątną przyległą do kąta $3 0^{\circ}$ , a $C E$ — przeciwprostokątną, zatem $C F = C E \cdot cos 3 0^{\circ} = \frac{3 a 3}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 a \cdot 3}{16} = \frac{9 a}{16} .$

Wniosek

Ponieważ $a = C B$ , otrzymujemy $C F = \frac{9}{16} C B .$

Rozumowanie oparliśmy na stałych proporcjach (własnościach trójkąta równobocznego), więc jest ono niezależne od konkretnej wartości $a$ . To kończy dowód.

Zadanie 30

2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwaprawdopodobieństwo klasyczne

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Rozwiązanie

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Rzucamy kostką dwa razy, wynik to uporządkowana para oczek. Wszystkich zdarzeń elementarnych jest $∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36.$

Liczymy zdarzenia sprzyjające (metoda zdarzenia przeciwnego)

Wygodnie policzyć zdarzenie przeciwne $A^{'}$ — „ani razu nie wypadło $5$ ". W każdym rzucie jest wtedy $5$ dozwolonych wyników, więc $∣ A^{'} ∣ = 5 \cdot 5 = 25.$ Stąd zdarzeń sprzyjających $A$ jest $∣ A ∣ = 36 - 25 = 11.$

Prawdopodobieństwo

$P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{11}{36} .$ (Można też: $P (A) = 1 - P (A^{'}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ .)

Odpowiedź: $P (A) = \frac{11}{36}$ .

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 31

2 pkt

Trygonometriatożsamości trygonometrycznefunkcje trygonometryczne

Kąt $α$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{2 sin α + 3 cos α}{cos α} = 4$ . Oblicz tangens kąta $α$ .

Rozwiązanie

Rozdzielamy ułamek

Korzystamy z tego, że $cos α \neq = 0$ (kąt ostry), i rozbijamy lewą stronę: $\frac{2 s i n α + 3 c o s α}{c o s α} = \frac{2 s i n α}{c o s α} + \frac{3 c o s α}{c o s α} = 2 \cdot \frac{s i n α}{c o s α} + 3 = 2 tg α + 3.$

Rozwiązujemy równanie

Równanie przyjmuje postać $2 tg α + 3 = 4 \Rightarrow 2 tg α = 1 \Rightarrow tg α = \frac{1}{2} .$

(Wartość dodatnia jest zgodna z tym, że $α$ jest kątem ostrym.)

Odpowiedź: $tg α = \frac{1}{2}$ .

Zadanie 32

4 pkt

Geometria analitycznaprosta na płaszczyźnieodległość punktów

Dany jest kwadrat $A B C D$ , w którym $A = (5, - \frac{5}{3})$ . Przekątna $B D$ tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu $y = \frac{4}{3} x$ . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych $A C$ i $B D$ oraz pole kwadratu $A B C D$ .

Rozwiązanie

Wyznaczamy równanie prostej $A C$

Przekątne kwadratu są prostopadłe, a przekątna $B D$ leży na prostej $y = \frac{4}{3} x$ (współczynnik kierunkowy $\frac{4}{3}$ ). Zatem prosta $A C$ ma współczynnik kierunkowy prostopadły: $a_{A C} = - \frac{1}{\frac{4}{3}} = - \frac{3}{4} .$ Prosta $A C$ przechodzi przez $A = (5, - \frac{5}{3})$ : $y + \frac{5}{3} = - \frac{3}{4} (x - 5) \Rightarrow y = - \frac{3}{4} x + \frac{15}{4} - \frac{5}{3} = - \frac{3}{4} x + \frac{45 - 20}{12} = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{12} .$

Punkt przecięcia przekątnych $O$

Punkt $O$ to przecięcie prostych $A C$ i $B D$ . Rozwiązujemy układ: ${y = \frac{4}{3} x y = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{12}$ Przyrównujemy prawe strony: $\frac{4}{3} x = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{12} .$ Mnożymy obie strony przez $12$ : $16 x = - 9 x + 25 \Rightarrow 25 x = 25 \Rightarrow x = 1.$ Stąd $y = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$ , więc $O = (1, \frac{4}{3}) .$

Pole kwadratu

Punkt $O$ jest środkiem przekątnej $A C$ , więc $A O$ to połowa przekątnej: $∣ A O ∣ = (1 - 5)^{2} + (\frac{4}{3} + \frac{5}{3})^{2} = (- 4)^{2} + (\frac{9}{3})^{2} = 16 + 9 = 25 = 5.$ Cała przekątna ma długość $∣ A C ∣ = 2 \cdot ∣ A O ∣ = 10$ .

Pole kwadratu wyrażamy przez przekątną $d$ wzorem $P = \frac{d ^{2}}{2}$ (przekątne kwadratu są równe i prostopadłe): $P_{A B C D} = \frac{1 0 ^{2}}{2} = \frac{100}{2} = 50.$

Odpowiedź: punkt przecięcia przekątnych $O = (1, \frac{4}{3})$ , pole kwadratu $P_{A B C D} = 50$ .

Zadanie 33

4 pkt

Ciągiciąg geometryczny

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , określonego dla $n \geq 1$ , są dodatnie i spełniają warunek $6 a_{1} - 5 a_{2} + a_{3} = 0$ . Oblicz iloraz $q$ tego ciągu należący do przedziału $(22, 32)$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy warunek przez pierwszy wyraz i iloraz

Oznaczmy iloraz ciągu geometrycznego przez $q$ . Wtedy $a_{2} = a_{1} q$ oraz $a_{3} = a_{1} q^{2}$ . Warunek $6 a_{1} - 5 a_{2} + a_{3} = 0$ przyjmuje postać: $6 a_{1} - 5 a_{1} q + a_{1} q^{2} = 0.$

Wyłączamy $a_{1}$ i korzystamy z jego dodatniości

$a_{1} (q^{2} - 5 q + 6) = 0.$ Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc $a_{1} \neq = 0$ . Zatem $q^{2} - 5 q + 6 = 0.$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1, Δ = 1.$ $q = \frac{5 - 1}{2} = 2 lub q = \frac{5 + 1}{2} = 3.$

Wybieramy iloraz z podanego przedziału

Szacujemy: $22 \approx 2, 83$ oraz $32 \approx 4, 24$ , więc przedział to w przybliżeniu $(2, 83; 4, 24)$ . Do niego należy $q = 3$ , a $q = 2$ nie należy.

Odpowiedź: $q = 3$ .

Zadanie 34

5 pkt

Stereometriaostrosłupyobjętość

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $A B C D S$ , którego krawędź boczna ma długość $6$ . Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy $7$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS z krawędzią boczną długości 6

Rozwiązanie

Wprowadzamy oznaczenia

Niech $a$ — krawędź podstawy (kwadratu), $h$ — wysokość ostrosłupa, $S$ — wierzchołek. Środek podstawy oznaczmy $O$ , a środek krawędzi podstawy $E$ . Krawędź boczna $S C = 6$ .

Kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy jest kąt $α = ∠ S E O$ , gdzie $E$ to środek krawędzi podstawy (apotema podstawy $O E = \frac{a}{2}$ , a $S E$ to wysokość ściany bocznej). Dane: $tg α = 7$ .

Zależność z definicji tangensa (trójkąt $S O E$ )

W trójkącie prostokątnym $S O E$ (kąt prosty przy $O$ ): $tg α = \frac{S O}{O E} = \frac{h}{\frac{a}{2}} = 7 \Rightarrow h = \frac{7}{2} a .$

Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $S O C$

Odcinek $O C$ to połowa przekątnej podstawy: $O C = \frac{a 2}{2}$ . W trójkącie prostokątnym $S O C$ ( $∠ S O C = 9 0^{\circ}$ , przeciwprostokątna $S C = 6$ ): $S O^{2} + O C^{2} = S C^{2} \Rightarrow h^{2} + (\frac{a 2}{2})^{2} = 6^{2} .$ Wstawiamy $h = \frac{7}{2} a$ : $(\frac{7}{2} a)^{2} + \frac{2 a ^{2}}{4} = 36 \Rightarrow \frac{7 a ^{2}}{4} + \frac{2 a ^{2}}{4} = 36 \Rightarrow \frac{9 a ^{2}}{4} = 36.$

Wyznaczamy $a$ i $h$

$a^{2} = 16 \Rightarrow a = 4, h = \frac{7}{2} \cdot 4 = 27 .$

Obliczamy objętość

Pole podstawy $P_{p} = a^{2} = 16$ , więc $V = \frac{1}{3} P_{p} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 27 = \frac{32 7}{3} .$

Odpowiedź: $V = \frac{32 7}{3}$ .

Przeczytaj także

Zobacz wszystkie

Matematyka PP — Maj 2026

Arkusz maturalny z matematyki, poziom podstawowy, sesja Maj 2026 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Matematyka PP — Maj 2025

Arkusz maturalny z matematyki, poziom podstawowy, sesja Maj 2025 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Matematyka PP — Maj 2024

Arkusz maturalny z matematyki, poziom podstawowy, sesja Maj 2024 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.