Matematyka PP — Maj 2019

Korzystamy z definicji logarytmu

Oznaczmy $x={\log }_{\sqrt{2}}2$. Z definicji logarytmu oznacza to, że ${\left(\sqrt{2}\right)}^x=2.$

Sprowadzamy do wspólnej podstawy

Ponieważ $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$, mamy ${\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^x=2^{\frac{x}{2}}$, więc $2^{\frac{x}{2}}=2^1\Rightarrow \frac{x}{2}=1\Rightarrow x=2.$

Odpowiedź: A. $2$.

Grupujemy czynniki w dziesiątki

Mamy $n=2^{14}\cdot 5^{15}$. Wyłączamy tyle piątek, ile mamy dwójek, aby utworzyć potęgę liczby $10$: $n=2^{14}\cdot 5^{14}\cdot 5={\left(2\cdot 5\right)}^{14}\cdot 5=10^{14}\cdot 5.$

Zliczamy cyfry

Liczba $5\cdot 10^{14}$ to cyfra $5$, po której następuje $14$ zer: $n=5\underset{14\text{ zer}}{\underbrace{00\dots 0}}.$ Razem daje to $1+14=15$ cyfr.

Odpowiedź: B. 15 cyfr.

Ustalamy nową wysokość prowizji

Prowizja spadła z $4\%$ o $1$ punkt procentowy, czyli do $4\%-1\%=3\%$.

Liczymy zmianę względną

Pytamy, o ile procent zmniejszyła się sama prowizja (a nie o ile punktów). Odnosimy spadek do wartości początkowej: $\frac{4\%-3\%}{4\%}=\frac{1}{4}=0,25=25\%.$

Odpowiedź: B. $25\%$.

Wyznaczamy $\frac{1}{a}$

Z równości $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1$ mamy $\frac{1}{a}=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}.$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika $20$: $\frac{1}{a}=\frac{20}{20}-\frac{5}{20}-\frac{4}{20}=\frac{11}{20}.$

Odwracamy

$\frac{1}{a}=\frac{11}{20}\Rightarrow a=\frac{20}{11}.$

Odpowiedź: D. $a=\frac{20}{11}$.

Podstawiamy dane rozwiązanie do pierwszego równania

Para $x=2,y=2$ ma spełniać oba równania. Z pierwszego $ax+y=4$: $a\cdot 2+2=4\Rightarrow 2a=2\Rightarrow a=1.$

Sprawdzamy drugie równanie

Dla $a=1$ drugie równanie $-2x+3y=2a$ daje $-2\cdot 2+3\cdot 2=-4+6=2,2a=2\cdot 1=2.$ Obie strony są równe, więc para $(2,2)$ jest rozwiązaniem układu dokładnie dla $a=1$.

Odpowiedź: B. $a=1$.

Ustalamy dziedzinę

Mianownik nie może być zerem, więc $x-3\ne 0$, czyli $x\ne 3$.

Przyrównujemy licznik do zera

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest zerem (a mianownik różny od zera): $(x-1)(x+2)=0\Rightarrow x=1\text{lub}x=-2.$

Sprawdzamy dziedzinę

Obie liczby $1$ i $-2$ są różne od $3$, więc obie należą do dziedziny. Równanie ma zatem dwa rozwiązania: $x=1$ oraz $x=-2$.

Odpowiedź: C. ma dwa różne rozwiązania $x=1,x=-2$.

Zapisujemy warunek miejsca zerowego

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x)=0$: $3(x+1)-6\sqrt{3}=0.$

Rozwiązujemy równanie

$3(x+1)=6\sqrt{3}\Rightarrow x+1=2\sqrt{3}\Rightarrow x=2\sqrt{3}-1.$

Odpowiedź: C. $2\sqrt{3}-1$.

Ustalamy kierunek ramion paraboli

Wierzchołek paraboli to $W=(2,-4)$, a miejsca zerowe $0$ i $4$ leżą po obu jego stronach na osi $OX$ (powyżej wierzchołka). Skoro w wierzchołku funkcja ma wartość $-4$, a przy miejscach zerowych wartość $0$, to ramiona paraboli są skierowane w górę ($a>0$).

Odczytujemy zbiór wartości

Najmniejszą wartością jest wartość w wierzchołku, czyli $-4$, i jest ona przyjmowana. Funkcja przyjmuje wszystkie wartości większe lub równe $-4$: $Z{W}_f=⟨-4,+\infty ).$

Odpowiedź: C. $⟨-4,+\infty )$.

Wyznaczamy wzór funkcji

Z miejsc zerowych $0$ i $4$: $f(x)=ax(x-4)$. Z warunku wierzchołka $f(2)=-4$: $a\cdot 2\cdot (2-4)=-4\Rightarrow -4a=-4\Rightarrow a=1,$ czyli $f(x)=x(x-4)$.

Szukamy wartości największej na $⟨1,4⟩$

Ramiona paraboli są skierowane w górę, a wierzchołek $x=2$ leży wewnątrz przedziału i daje wartość najmniejszą. Wartości największej szukamy więc na końcach przedziału: $f(1)=1\cdot (1-4)=-3,f(4)=4\cdot (4-4)=0.$ Większa z nich to $0$.

Odpowiedź: D. $0$.

Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek, czyli $x=p$, gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka.

Wierzchołek to $W=(2,-4)$, więc $p=2$ i osią symetrii jest prosta $x=2.$

Odpowiedź: D. $x=2$.

Wyznaczamy różnicę ciągu

W ciągu arytmetycznym $a_8=a_1+7r$. Z danych $a_1=7$, $a_8=-49$: $-49=7+7r\Rightarrow 7r=-56\Rightarrow r=-8.$

Obliczamy sumę ośmiu wyrazów

Korzystamy ze wzoru $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$: $S_8=\frac{a_1+a_8}{2}\cdot 8=\frac{7+(-49)}{2}\cdot 8=\frac{-42}{2}\cdot 8=-21\cdot 8=-168.$

Odpowiedź: A. $-168$.

Zapisujemy iloraz przez $q$

W ciągu geometrycznym $a_n=a_1{q}^{n-1}$, więc $\frac{a_5}{a_3}=\frac{a_1{q}^4}{a_1{q}^2}=q^2.$

Rozwiązujemy równanie na $q$

Z warunku $\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}$ mamy $q^2=\frac{1}{9}\Rightarrow q=\frac{1}{3}\text{lub}q=-\frac{1}{3}.$ Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc iloraz musi być dodatni. Zatem $q=\frac{1}{3}$.

Odpowiedź: A. $\frac{1}{3}$.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej

Dla kąta ostrego $\alpha$ zachodzi ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, przy czym $\cos \alpha >0$. Stąd $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$

Odpowiedź: D. $\cos \alpha =\frac{3}{5}$.

Ustalamy miary łuków

Trójkąt $ABC$ jest równoboczny i wpisany w okrąg, więc dzieli okrąg na trzy równe łuki po $\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$ (łuki $AB$, $BC$, $CA$).

Znajdujemy położenie punktu $D$

Odcinek $CD$ jest średnicą, więc $D$ jest punktem leżącym po przeciwnej stronie okręgu niż $C$ — dokładnie $180^{\circ }$ od $C$. Idąc od $C$ przez $B$ pokonujemy najpierw łuk $CB=120^{\circ }$, a następnie jeszcze $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$, docierając do $D$. Zatem łuk $BD$ (nieprzechodzący przez $C$ ani $A$) ma miarę $60^{\circ }.$

Kąt wpisany

Kąt $DEB$ jest kątem wpisanym opartym na łuku $BD$ o mierze $60^{\circ }$. Kąt wpisany jest połową łuku, na którym się opiera: $\alpha =|\angle DEB|=\frac{1}{2}\cdot 60^{\circ }=30^{\circ }.$

Odpowiedź: A. $\alpha =30^{\circ }$.

Wskazujemy podobne trójkąty

Prosta $AB$ jest styczna do obu okręgów, więc promienie $OA$ i $PB$ są do niej prostopadłe: $OA\perp AB$ oraz $PB\perp AB$. Punkt $K$ leży na odcinku $OP$ (między okręgami), więc trójkąty prostokątne $OAK$ i $PBK$ mają:

• kąty proste przy $A$ i $B$,
• równe kąty wierzchołkowe przy $K$.

Są więc podobne.

Zapisujemy proporcję

Z podobieństwa stosunek odpowiednich boków jest stały: $\frac{OK}{PK}=\frac{OA}{PB}=\frac{5}{3}.$

Wyznaczamy $OK$

Punkt $K$ dzieli odcinek $OP=16$ w stosunku $5:3$, więc $OK=\frac{5}{5+3}\cdot 16=\frac{5}{8}\cdot 16=10.$

Odpowiedź: C. $|OK|=10$.

Wzór na pole rombu z kąta

Pole rombu o boku $a$ i kącie $\phi$ między bokami wyraża się wzorem $P=a^2\sin \phi .$ Możemy użyć dowolnego z kątów rombu, bo kąty sąsiednie się dopełniają i mają równe sinusy ($\sin (180^{\circ }-\phi )=\sin \phi$).

Podstawiamy dane

Dla $a=4$ i kąta rozwartego $150^{\circ }$: $P=4^2\cdot \sin 150^{\circ }=16\cdot \frac{1}{2}=8.$

Odpowiedź: A. $8$.

Warunek równoległości prostych

Proste dane w postaci kierunkowej są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (i różne wyrazy wolne). Porównujemy współczynniki: $2m+2=3m-3.$

Rozwiązujemy równanie

$2m+2=3m-3\Rightarrow 2+3=3m-2m\Rightarrow m=5.$

Wyrazy wolne to $-2019$ i $2019$ — są różne, więc proste są równoległe (nie pokrywają się).

Odpowiedź: D. $m=5$.

Warunek prostopadłości

Prosta $y=ax+b$ jest prostopadła do $y=-4x+1$, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$: $a\cdot (-4)=-1\Rightarrow a=\frac{1}{4}.$

Wyznaczamy $b$ z warunku przejścia przez punkt

Prosta przechodzi przez $P=\left(\frac{1}{2},0\right)$, więc $0=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}+b\Rightarrow 0=\frac{1}{8}+b\Rightarrow b=-\frac{1}{8}.$

Odpowiedź: B. $a=\frac{1}{4}$ i $b=-\frac{1}{8}$.

Wyznaczamy wzór prostej $AB$

Prosta przechodzi przez $A=(0,4)$ i $B=(2,2)$. Współczynnik kierunkowy: $a=\frac{2-4}{2-0}=\frac{-2}{2}=-1.$ Wyraz wolny to rzędna punktu przecięcia z osią $OY$, czyli $4$. Zatem $AB:y=-x+4$.

Stosujemy symetrię względem początku układu

W symetrii środkowej względem $(0,0)$ punkt $(x,y)$ przechodzi na $(-x,-y)$. Jeśli $(x,y)$ leży na $AB$, to punkt obrazu $(x^{\prime },y^{\prime })=(-x,-y)$, czyli $x=-x^{\prime }$, $y=-y^{\prime }$. Wstawiamy do $y=-x+4$: $-y^{\prime }=-(-x^{\prime })+4\Rightarrow -y^{\prime }=x^{\prime }+4\Rightarrow y^{\prime }=-x^{\prime }-4.$

Zatem obraz ma równanie $g(x)=-x-4$.

Odpowiedź: C. $g(x)=-x-4$.

Obliczamy długość boku kwadratu

Bokiem kwadratu jest odcinek $AB$ dla $A=(-2,5)$, $B=(4,-1)$: $|AB|=\sqrt{(4-(-2){)}^2+(-1-5{)}^2}=\sqrt{6^2+(-6{)}^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}.$

Średnica okręgu wpisanego

Okrąg wpisany w kwadrat jest styczny do wszystkich boków, więc jego średnica jest równa długości boku kwadratu: $d=|AB|=6\sqrt{2}.$

Odpowiedź: C. $6\sqrt{2}$.

Wzór na przekątną prostopadłościanu

Dla prostopadłościanu o krawędziach $a,b,c$ przekątna ma długość $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Podstawiamy wymiary $5,3,2$: $KL=\sqrt{5^2+3^2+2^2}=\sqrt{25+9+4}=\sqrt{38}.$

Przybliżamy

$\sqrt{38}\approx 6,164\dots \approx 6,16\mathrm{dm}.$

Odpowiedź: B. $6,16$ dm.

Zapisujemy oba pola

Pole powierzchni kuli o promieniu $r=4$: $P_k=4\pi r^2=4\pi \cdot 4^2=64\pi .$ Pole powierzchni całkowitej stożka o promieniu podstawy $r=4$ i tworzącej $l$: $P_c=\pi r^2+\pi rl=16\pi +4\pi l.$

Przyrównujemy pola

$64\pi =16\pi +4\pi l\Rightarrow 48\pi =4\pi l\Rightarrow l=12.$

Odpowiedź: D. $12$.

Jak liczymy medianę sześciu danych

Dla zestawu sześciu liczb mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów po uporządkowaniu rosnąco.

Sprawdzamy warunek

Dane bez $a$: $4,8,16,21,25$. Dla mediany równej $14$ suma dwóch środkowych musi wynosić $2\cdot 14=28$. Jeżeli $a=12$, to uporządkowany zestaw to $4,8,12,16,21,25,$ a dwoma środkowymi wyrazami są $12$ i $16$: $\text{mediana}=\frac{12+16}{2}=\frac{28}{2}=14.$ Warunek jest spełniony.

Odpowiedź: B. $a=12$.

Rozkładamy wybór na kolejne pozycje

Tworzymy liczby pięciocyfrowe, w których każda cyfra należy do zbioru $\{0,2,5\}$. Stosujemy regułę mnożenia.

• Pierwsza cyfra (dziesiątki tysięcy): nie może być zerem (bo liczba byłaby czterocyfrowa), więc wybieramy spośród $2,5$ — $2$ możliwości.
• Każda z pozostałych czterech cyfr: dowolna z trzech cyfr $0,2,5$ — po $3$ możliwości.

Reguła mnożenia

$2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=2\cdot 3^4=2\cdot 81=162.$

Odpowiedź: C. $162$.

Ustalamy liczbę kul czerwonych

Wszystkich kul jest $40$, białych $35$, więc czerwonych $40-35=5.$

Prawdopodobieństwo klasyczne

Losujemy jedną kulę, każda jest jednakowo prawdopodobna, więc $P=\frac{\text{liczba kul czerwonych}}{\text{liczba wszystkich kul}}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}.$

Odpowiedź: A. $\frac{1}{8}$.

Korzystamy z własności iloczynu równego zeru

Iloczyn $(x^3-8)(x^2-4x-5)=0$ jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem: $x^3-8=0\text{lub}{x}^2-4x-5=0.$

Pierwsze równanie

$x^3-8=0\Rightarrow x^3=8\Rightarrow x=2.$ Jest to jedyny pierwiastek rzeczywisty (funkcja $x\mapsto x^3$ jest rosnąca, więc wartość $8$ przyjmuje tylko raz).

Drugie równanie

Rozwiązujemy trójmian kwadratowy $x^2-4x-5=0$. Rozkładamy na czynniki (szukamy liczb o sumie $4$ i iloczynie $-5$: to $5$ i $-1$): $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0\Rightarrow x=5\text{lub}x=-1.$

Zbieramy rozwiązania

Odpowiedź: $x=-1,x=2,x=5$.

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu

Rozwiązujemy nierówność $3x^2-16x+16>0$. Najpierw pierwiastki trójmianu $3x^2-16x+16$: $\Delta =(-16{)}^2-4\cdot 3\cdot 16=256-192=64,\sqrt{\Delta }=8.$ $x_1=\frac{16-8}{2\cdot 3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},x_2=\frac{16+8}{6}=\frac{24}{6}=4.$

Odczytujemy zbiór rozwiązań

Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a=3>0$), więc parabola ma ramiona w górę i przyjmuje wartości dodatnie poza pierwiastkami. Nierówność jest ostra, więc końce wykluczamy: $x\in \left(-\infty ,\frac{4}{3}\right)\cup (4,+\infty ).$

Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ,\frac{4}{3}\right)\cup (4,+\infty )$.

Co mamy wykazać

Mamy udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ zachodzi $3a^2-2ab+3b^2\ge 0.$

Przekształcamy lewą stronę do sumy kwadratów

Rozbijamy współczynniki tak, aby wyłonić kwadrat różnicy $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$: $3a^2-2ab+3b^2=(a^2-2ab+b^2)+2a^2+2b^2=(a-b{)}^2+2a^2+2b^2.$

Analizujemy znak

Każdy składnik prawej strony jest nieujemny:

• $(a-b{)}^2\ge 0$ jako kwadrat liczby,
• $2a^2\ge 0$ oraz $2b^2\ge 0$ jako wielokrotności kwadratów liczb.

Suma liczb nieujemnych jest nieujemna, więc $(a-b{)}^2+2a^2+2b^2\ge 0,$ czyli $3a^2-2ab+3b^2\ge 0$ dla dowolnych rzeczywistych $a,b$. To kończy dowód.

Oznaczenia i trójkąt równoramienny $BCS$

Z założenia $BC=r$ oraz $BS=r$ (bo $S$ to środek, a $B$ leży na okręgu), więc trójkąt $BCS$ jest równoramienny, a kąty przy jego podstawie $CS$ są równe: $|\angle BCS|=|\angle BSC|.$ Ponieważ $|\angle ACS|=\alpha$, a punkty $A,B,C$ leżą na jednej prostej (bo $C$ jest na przedłużeniu cięciwy $AB$), mamy $|\angle BCS|=|\angle ACS|=\alpha$. Zatem $|\angle BSC|=\alpha .$

Kąt $ABS$ jako kąt zewnętrzny

Kąt $ABS$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $BCS$ przy wierzchołku $B$, więc jest równy sumie dwóch kątów nieprzyległych: $|\angle ABS|=|\angle BCS|+|\angle BSC|=\alpha +\alpha =2\alpha .$

Trójkąt równoramienny $ABS$

Odcinki $AS$ i $BS$ są promieniami, więc $AS=BS=r$ i trójkąt $ABS$ jest równoramienny. Kąty przy jego podstawie $AB$ są równe: $|\angle BAS|=|\angle ABS|=2\alpha .$ Stąd kąt przy wierzchołku $S$: $|\angle ASB|=180^{\circ }-2\alpha -2\alpha =180^{\circ }-4\alpha .$

Kąt $ASD$

Punkty $D,S,E$ leżą na jednej prostej (bo $DE$ to cięciwa przechodząca przez $S$ na prostej $CS$), a kąty $ASD$, $ASB$, $BSC$ tworzą kąt półpełny wzdłuż prostej $DC$: $|\angle ASD|+|\angle ASB|+|\angle BSC|=180^{\circ }.$ Stąd $|\angle ASD|=180^{\circ }-(180^{\circ }-4\alpha )-\alpha =4\alpha -\alpha =3\alpha .$

To należało wykazać.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zbioru $\{1,2,3,4,5\}$ ze zwracaniem, więc zdarzenie elementarne to uporządkowana para $(a,b)$. Wszystkich par jest $|\Omega |=5\cdot 5=25.$

Zdarzenia sprzyjające

Iloczyn $a\cdot b$ jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Liczb nieparzystych w zbiorze jest trzy: $1,3,5$. Zatem liczba par o nieparzystym iloczynie: $|A|=3\cdot 3=9.$

Prawdopodobieństwo

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{9}{25}.$

Odpowiedź: $P(A)=\frac{9}{25}$.

Wyznaczamy wysokość trapezu $AD$

W trapezie prostokątnym $ABCD$ ramię $AD$ jest prostopadłe do obu podstaw ($AB$ i $DC$). Przekątna $AC$ tworzy z krótszą podstawą $DC$ kąt $30^{\circ }$, więc — z własności kątów naprzemianległych przy prostych równoległych $DC\parallel AB$ — także $|\angle CAB|=30^{\circ }$... skorzystajmy jednak wprost z trójkąta $ACD$.

Trójkąt $ACD$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$), z kątem $30^{\circ }$ przy wierzchołku $C$ i przeciwprostokątną $AC=4$. Przyprostokątna $AD$ leży naprzeciw kąta $30^{\circ }$, więc $AD=AC\cdot \sin 30^{\circ }=4\cdot \frac{1}{2}=2.$

Obliczamy przekątną $BD$

Rozważamy trójkąt $ABD$ z kątem prostym przy $A$ (bo $AD\perp AB$). Z twierdzenia Pitagorasa: $B{D}^2=A{D}^2+A{B}^2=2^2+8^2=4+64=68.$ Stąd $BD=\sqrt{68}=\sqrt{4\cdot 17}=2\sqrt{17}.$

Odpowiedź: $|BD|=2\sqrt{17}$.

a) Pierwszy wyraz ciągu

Średnia arytmetyczna sześciu początkowych wyrazów jest równa $16$, więc ich suma to $S_6=6\cdot 16=96.$ Ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego $S_6=\frac{2a_1+5r}{2}\cdot 6=(2a_1+5r)\cdot 3$. Podstawiamy $r=-4$: $(2a_1+5\cdot (-4))\cdot 3=96\Rightarrow 2a_1-20=32\Rightarrow 2a_1=52\Rightarrow a_1=26.$

(Równoważnie: $S_6=6a_1+15r=6a_1-60=96$, skąd $a_1=26$.)

b) Wyznaczamy $k$

Stosujemy wzór na $k$-ty wyraz $a_k=a_1+(k-1)r$ i przyrównujemy do $-78$: $26+(k-1)\cdot (-4)=-78.$ Przekształcamy: $(k-1)\cdot (-4)=-104\Rightarrow k-1=26\Rightarrow k=27.$

Odpowiedź: a) $a_1=26$; b) $k=27$.

Prosta $AB$ jest prostopadła do symetralnej

Symetralna odcinka $AB$ ma równanie $y=3x$ (współczynnik kierunkowy $3$). Prosta $AB$ jest do niej prostopadła, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi $a=-\frac{1}{3}.$ Prosta $AB$ przechodzi przez $A=(-18,10)$: $10=-\frac{1}{3}\cdot (-18)+b\Rightarrow 10=6+b\Rightarrow b=4,$ czyli $AB:y=-\frac{1}{3}x+4$.

Środek $S$ odcinka $AB$

Punkt $S$ to przecięcie prostej $AB$ z symetralną $y=3x$ (symetralna przechodzi przez środek odcinka): $3x=-\frac{1}{3}x+4|\cdot 3\Rightarrow 9x=-x+12\Rightarrow 10x=12\Rightarrow x=\frac{6}{5}.$ Wtedy $y=3\cdot \frac{6}{5}=\frac{18}{5}$, więc $S=\left(\frac{6}{5},\frac{18}{5}\right)$.

Współrzędne punktu $B$

Punkt $S$ jest środkiem odcinka $AB$, więc $S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Stąd $x_B=2\cdot \frac{6}{5}-(-18)=\frac{12}{5}+\frac{90}{5}=\frac{102}{5},$ $y_B=2\cdot \frac{18}{5}-10=\frac{36}{5}-\frac{50}{5}=-\frac{14}{5}.$

Odpowiedź: $B=\left(\frac{102}{5},-\frac{14}{5}\right)$.

Pole podstawy i pole boczne

Podstawą jest kwadrat o boku $6$, więc pole podstawy $P_p=6^2=36.$ Pole powierzchni całkowitej jest cztery razy większe od pola podstawy: $P_c=4P_p=144.$ Stąd pole powierzchni bocznej: $P_b=P_c-P_p=144-36=108.$

Wysokość ściany bocznej

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery przystające ściany boczne — trójkąty równoramienne o podstawie $6$ i wysokości $h_b$ (apotema boczna). Zatem $P_b=4\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot h_b=12h_b\Rightarrow 12h_b=108\Rightarrow h_b=9.$

Długość krawędzi bocznej

Wysokość ściany bocznej łączy wierzchołek $S$ ze środkiem $E$ krawędzi podstawy. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $h_b=9$ i $\frac{a}{2}=3$ przeciwprostokątną jest krawędź boczna $b$: $b^2=h_b^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=9^2+3^2=81+9=90\Rightarrow b=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$

Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej

Kąt $\alpha$ to kąt między krawędzią boczną $AS$ a płaszczyzną podstawy. Rzutem $S$ na podstawę jest środek $O$ kwadratu, więc rozważamy trójkąt prostokątny $AOS$ (kąt prosty przy $O$). Odcinek $AO$ to połowa przekątnej podstawy: $AO=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}=3\sqrt{2},$ a przeciwprostokątną jest krawędź boczna $AS=b=3\sqrt{10}$. Zatem $\cos \alpha =\frac{AO}{AS}=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Odpowiedź: $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$.