Matematyka PP — Maj 2018

Zamiana współczynnika na wykładnik

Korzystamy z własności logarytmu $n{\log }_{a}b={\log }_a{b}^n$: $2{\log }_{3}6={\log }_3{6}^2={\log }_{3}36.$

Odejmowanie logarytmów

Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu, ${\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}$: ${\log }_{3}36-{\log }_{3}4={\log }_3\frac{36}{4}={\log }_{3}9.$

Obliczenie wartości

Ponieważ $9=3^2$, mamy ${\log }_{3}9={\log }_3{3}^2=2$.

Odpowiedź: B. $2$.

Łączenie pierwiastków tego samego stopnia

Pierwiastki trzeciego stopnia mnożymy pod jednym znakiem: $\sqrt[3]{p}\cdot \sqrt[3]{q}=\sqrt[3]{p\cdot q}$: $\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{7}{3}\cdot \frac{81}{56}}.$

Skracanie ułamka

Mnożymy liczniki i mianowniki, a następnie skracamy. Zauważmy, że $81=3\cdot 27$, więc $\frac{81}{3}=27$, oraz $\frac{7}{56}=\frac{1}{8}$. Stąd $\frac{7}{3}\cdot \frac{81}{56}=\frac{27}{8}.$

Wyciągnięcie pierwiastka

$\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$

Odpowiedź: C. $\frac{3}{2}$.

Zapis ilorazu

Dzielimy liczby zapisane w notacji wykładniczej: $\frac{a}{b}=\frac{3,6\cdot 10^{-12}}{2,4\cdot 10^{-20}}=\frac{3,6}{2,4}\cdot \frac{10^{-12}}{10^{-20}}.$

Część liczbowa

$\frac{3,6}{2,4}=1,5.$

Część z potęgami dziesiątki

Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki: $\frac{10^{-12}}{10^{-20}}=10^{-12-(-20)}=10^8.$

Wynik

$\frac{a}{b}=1,5\cdot 10^8.$

Odpowiedź: C. $1,5\cdot 10^8$.

Interpretacja obniżki

Obniżka o $15\%$ oznacza, że cena po obniżce stanowi $100\%-15\%=85\%$ ceny początkowej. Jeśli cena przed obniżką to $x$, to: $0,85\cdot x=850.$

Rozwiązanie równania

$x=\frac{850}{0,85}=1000.$

Sprawdzenie

$15\%$ z $1000$ zł to $150$ zł, a $1000-150=850$ zł — zgadza się.

Odpowiedź: C. $1000$ zł.

Pozbycie się mianowników

Mnożymy obie strony nierówności $\frac{1-2x}{2}>\frac{1}{3}$ przez $6$ (liczba dodatnia, więc znak nierówności bez zmian): $3(1-2x)>2.$

Przekształcenia

$3-6x>2,$ $-6x>2-3,$ $-6x>-1.$

Dzielenie przez liczbę ujemną

Dzielimy przez $-6$ i odwracamy znak nierówności: $x<\frac{-1}{-6}=\frac{1}{6}.$

Zbiorem rozwiązań jest $\left(-\infty ,\frac{1}{6}\right)$.

Odpowiedź: A. $\left(-\infty ,\frac{1}{6}\right)$.

Odczytanie miejsc zerowych

Funkcja $f(x)=-2(x+3)(x-5)$ jest zapisana w postaci iloczynowej. Miejsca zerowe to argumenty, dla których dany czynnik się zeruje: $x+3=0\Rightarrow x_1=-3,x-5=0\Rightarrow x_2=5.$

Suma miejsc zerowych

$x_1+x_2=-3+5=2.$

Odpowiedź: C. $2$.

Dziedzina równania

Mianownik nie może być zerem: $x^2-4\ne 0$, czyli $(x-2)(x+2)\ne 0$, zatem $x\ne 2\text{ oraz }x\ne -2.$

Zerowanie licznika

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem: $x^2+2x=0\Rightarrow x(x+2)=0\Rightarrow x=0\text{ lub }x=-2.$

Uwzględnienie dziedziny

Wartość $x=-2$ jest wykluczona z dziedziny, więc odpada. Pozostaje jedynie $x=0$.

Równanie ma zatem dokładnie jedno rozwiązanie: $x=0$.

Odpowiedź: D. jedno rozwiązanie $x=0$.

Monotoniczność

Funkcja liniowa $f(x)=\frac{1}{3}x-1$ ma współczynnik kierunkowy $a=\frac{1}{3}>0$, więc jest rosnąca.

Punkt przecięcia z osią $OY$

Wykres przecina oś $OY$ dla $x=0$: $f(0)=\frac{1}{3}\cdot 0-1=-1,$ czyli w punkcie $P=(0,-1)$.

Odpowiedź: D. funkcja rosnąca, $P=(0,-1)$.

Współrzędna $p$ wierzchołka

Dla paraboli $f(x)=x^2-6x-3$ mamy $a=1$, $b=-6$, $c=-3$. Odcięta wierzchołka: $p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3.$

Współrzędna $q$ wierzchołka

Obliczamy wartość funkcji w $p=3$: $q=f(3)=3^2-6\cdot 3-3=9-18-3=-12.$

Wierzchołek ma współrzędne $(3,-12)$.

Odpowiedź: C. $(3,-12)$.

Warunek miejsca zerowego

Miejsce zerowe funkcji $f(x)=ax+b$ wynosi $1$, więc $f(1)=0$: $a\cdot 1+b=0\Rightarrow a+b=0.$

Warunek przechodzenia przez punkt

Punkt $M=(3,-2)$ należy do wykresu, więc $f(3)=-2$: $3a+b=-2.$

Rozwiązanie układu

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: $(3a+b)-(a+b)=-2-0,$ $2a=-2\Rightarrow a=-1.$

Odpowiedź: D. $a=-1$.

Sprawdzenie różnicy kolejnych wyrazów

Dla ciągu $a_n=\frac{5-2n}{6}$ obliczamy różnicę sąsiednich wyrazów: $a_{n+1}-a_n=\frac{5-2(n+1)}{6}-\frac{5-2n}{6}=\frac{(5-2n-2)-(5-2n)}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}.$

Wniosek

Różnica jest stała i niezależna od $n$, więc ciąg jest arytmetyczny o różnicy $r=-\frac{1}{3}$.

Odpowiedź: A. arytmetyczny o $r=-\frac{1}{3}$.

Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów. Wyrazy $a_4$ i $a_6$ leżą symetrycznie wokół $a_5$, więc $a_4+a_6=2a_5.$

Podstawienie do warunku

Z danego $a_4+a_5+a_6=12$ otrzymujemy: $2a_5+a_5=12,$ $3a_5=12\Rightarrow a_5=4.$

Odpowiedź: A. $a_5=4$.

Wyznaczenie ilorazu

Dla ciągu geometrycznego iloraz to stosunek kolejnych wyrazów: $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2.$ Sprawdzenie: $\frac{a_3}{a_2}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$ — zgadza się.

Wzór ogólny

Korzystamy z $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$: $a_n=\sqrt{2}\cdot 2^{n-1}.$

Przekształcenie do żądanej postaci

Zapisujemy $\sqrt{2}=2^{1/2}$: $a_n=2^{1/2}\cdot 2^{n-1}=2^{n-1+\frac{1}{2}}=2^{n-\frac{1}{2}}=\frac{2^n}{2^{1/2}}=\frac{2^n}{\sqrt{2}}.$

Sprawdzenie

• $n=1:\frac{2^1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓
• $n=2:\frac{2^2}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ ✓
• $n=3:\frac{2^3}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$ ✓

Odpowiedź: B. $a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}$.

Co wiemy

Trójkąt prostokątny $KLM$ ma kąt prosty przy wierzchołku $M$. Dane: przyprostokątna $LM=3$, przeciwprostokątna $KL=8$. Szukamy przedziału, w którym mieści się kąt $\alpha =\angle LKM$.

Wyznaczenie funkcji trygonometrycznej

Kąt $\alpha$ leży przy wierzchołku $K$. Bok $LM$ leży naprzeciw tego kąta, a $KL$ jest przeciwprostokątną, więc:

$\sin \alpha =\frac{LM}{KL}=\frac{3}{8}=0,375.$

Odczyt z tablic

Z tablic wartości sinusa:

$\sin 21^{\circ }\approx 0,3584,\sin 24^{\circ }\approx 0,4067.$

Ponieważ $0,3584<0,375\le 0,4067$, a sinus jest funkcją rosnącą dla kątów ostrych, to:

$21^{\circ }<\alpha \le 24^{\circ }.$

Odpowiedź: C. $21^{\circ }<\alpha \le 24^{\circ }$

Co wiemy

Boki trójkąta mają długości $2\sqrt{5},3\sqrt{5},4\sqrt{5}$. Szukamy trójkąta do niego podobnego wśród podanych zestawów.

Klucz: stosunek boków

Trójkąty są podobne, gdy ich boki są proporcjonalne. Zapiszmy stosunek boków naszego trójkąta, dzieląc każdy przez $\sqrt{5}$:

$2\sqrt{5}:3\sqrt{5}:4\sqrt{5}=2:3:4.$

Sprawdzenie odpowiedzi

Szukamy zestawu w proporcji $2:3:4$. Dla liczb $10,15,20$ podzielmy przez $5$:

$10:15:20=2:3:4.$

Stosunek jest identyczny, więc ten trójkąt jest podobny do danego.

Odpowiedź: A. $10,15,20$

Co wiemy

Punkt $S$ jest środkiem okręgu. Kąt $\alpha =\angle KSL$ to kąt środkowy, a $\beta =\angle KML$ to kąt wpisany — oba oparte na tym samym łuku $KL$. Dane: $\alpha +\beta =111^{\circ }$.

Zależność między kątami

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:

$\alpha =2\beta .$

Rozwiązanie równania

Podstawiamy do warunku $\alpha +\beta =111^{\circ }$:

$2\beta +\beta =111^{\circ },$ $3\beta =111^{\circ }\Rightarrow \beta =37^{\circ }.$

Stąd:

$\alpha =2\cdot 37^{\circ }=74^{\circ }.$

Odpowiedź: A. $\alpha =74^{\circ }$

Co wiemy

Trapez prostokątny $KLMN$ ma podstawy $|KL|=a$ i $|MN|=b$, przy czym $a>b$. Kąty proste są przy wierzchołkach $K$ i $N$. Kąt $\angle KLM=60^{\circ }$. Szukamy długości ramienia $LM$.

Rzut ramienia na podstawę

Poprowadźmy z wierzchołka $M$ wysokość trapezu na podstawę $KL$. Odcina ona przy boku $NK$ prostokąt o boku $b$, a pozostała część dolnej podstawy to:

$a-b.$

Ten odcinek jest poziomym rzutem ramienia $LM$, czyli przyprostokątną leżącą przy kącie $60^{\circ }$ w powstałym trójkącie prostokątnym, w którym $LM$ jest przeciwprostokątną.

Wykorzystanie cosinusa

$\cos 60^{\circ }=\frac{a-b}{LM}\Rightarrow LM=\frac{a-b}{\cos 60^{\circ }}=\frac{a-b}{\frac{1}{2}}=2(a-b).$

Odpowiedź: B. $2(a-b)$

Co wiemy

Dany jest wierzchołek $K=(2,2)$ trójkąta równoramiennego $KLM$, w którym $|KM|=|LM|$. Odcinek $MN$ jest wysokością, a $N=(4,3)$. Szukamy współrzędnych wierzchołka $L$.

Klucz: własność trójkąta równoramiennego

Skoro $|KM|=|LM|$, to podstawą trójkąta jest bok $KL$, a wierzchołkiem — punkt $M$. Wysokość poprowadzona z wierzchołka $M$ trójkąta równoramiennego pada dokładnie na środek podstawy $KL$. Zatem punkt $N=(4,3)$ jest środkiem odcinka $KL$.

Wyznaczenie współrzędnych L

Ze wzoru na środek odcinka:

$N=\left(\frac{x_K+x_L}{2},\frac{y_K+y_L}{2}\right)=(4,3).$

Pierwsza współrzędna:

$\frac{2+x_L}{2}=4\Rightarrow 2+x_L=8\Rightarrow x_L=6.$

Druga współrzędna:

$\frac{2+y_L}{2}=3\Rightarrow 2+y_L=6\Rightarrow y_L=4.$

Stąd $L=(6,4)$.

Odpowiedź: B. $L=(6,4)$

Co wiemy

Dane są proste o równaniach $y=(m+2)x+3$ oraz $y=(2m-1)x-3$. Mają być równoległe. Szukamy $m$.

Warunek równoległości

Dwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:

$m+2=2m-1.$

Rozwiązujemy:

$2+1=2m-m\Rightarrow m=3.$

Sprawdzenie, że proste nie są tożsame

Wyrazy wolne wynoszą $3$ oraz $-3$, są różne ($3\ne -3$), więc proste są rzeczywiście równoległe (a nie pokrywają się).

Odpowiedź: B. $m=3$

Co wiemy

Ostrosłup ma w podstawie kwadrat $KLMN$ o boku $4$. Wysokość ostrosłupa pokrywa się z krawędzią $NS$ i wynosi $4$. Szukamy kąta $\alpha$ między krawędziami bocznymi $KS$ i $MS$.

Ustawienie współrzędnych

Umieśćmy podstawę w układzie tak, że wysokość wychodzi z wierzchołka $N$:

$N=(0,0,0),K=(4,0,0),L=(4,4,0),M=(0,4,0),S=(0,0,4).$

Długości interesujących odcinków

Długość krawędzi $KS$:

$KS=\sqrt{(4-0{)}^2+0^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}.$

Z symetrii $MS=\sqrt{32}$. Przekątna $KM$ podstawy:

$KM=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}.$

Rozpoznanie trójkąta KSM

W trójkącie $KSM$ mamy $KS=MS=KM=\sqrt{32}$ — wszystkie boki równe, więc jest to trójkąt równoboczny. W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę $60^{\circ }$, zatem $\alpha =\angle KSM=60^{\circ }$.

Odpowiedź: D. $\alpha =60^{\circ }$

Co wiemy

Graniastosłup prosty ma w podstawie prostokąt o bokach $3$ i $4$. Przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $45^{\circ }$. Szukamy wysokości graniastosłupa.

Przekątna podstawy

Najpierw obliczamy przekątną prostokąta podstawy:

$d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$

Wysokość z kąta nachylenia

Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy oraz wysokość tworzą trójkąt prostokątny. Kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą to $45^{\circ }$, więc:

$\tan 45^{\circ }=\frac{H}{d}\Rightarrow H=d\cdot \tan 45^{\circ }=5\cdot 1=5.$

Odpowiedź: A. $5$

Co wiemy

Bryła składa się z walca i postawionej na nim półkuli. Promień podstawy walca oraz promień półkuli są równe $r$, a wysokość walca również wynosi $r$. Szukamy objętości bryły.

Objętość walca

$V_{\text{walca}}=\pi r^2\cdot H=\pi r^2\cdot r=\pi r^3.$

Objętość półkuli

Objętość kuli to $\frac{4}{3}\pi r^3$, więc połowa:

$V_{\text{poˊłkuli}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3.$

Suma

$V=\pi r^3+\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{3}{3}\pi r^3+\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{5}{3}\pi r^3.$

Odpowiedź: A. $\frac{5}{3}\pi r^3$

Co wiemy

Zestaw danych składa się z $m$ liczb równych $2$ oraz $m$ liczb równych $4$ — łącznie $2m$ liczb. Szukamy odchylenia standardowego.

Średnia arytmetyczna

$\bar{x}=\frac{m\cdot 2+m\cdot 4}{2m}=\frac{2m+4m}{2m}=\frac{6m}{2m}=3.$

Wariancja

Każda dwójka odchyla się od średniej o $2-3=-1$, a każda czwórka o $4-3=1$. Wariancja:

${\sigma }^2=\frac{m\cdot (2-3{)}^2+m\cdot (4-3{)}^2}{2m}=\frac{m\cdot 1+m\cdot 1}{2m}=\frac{2m}{2m}=1.$

Odchylenie standardowe

$\sigma =\sqrt{1}=1.$

Odpowiedź: B. $1$

Co wiemy

Szukamy, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od $2018$, które są podzielne przez $5$.

Zakres

Liczby czterocyfrowe zaczynają się od $1000$. Mają być mniejsze od $2018$ i podzielne przez $5$. Najmniejsza taka liczba to $1000$, a największa mniejsza od $2018$ i podzielna przez $5$ to $2015$.

Liczenie wyrazów ciągu

Szukane liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $5$: $1000,1005,\dots ,2015$. Liczba wyrazów:

$n=\frac{2015-1000}{5}+1=\frac{1015}{5}+1=203+1=204.$

Odpowiedź: D. $204$

Co wiemy

W puli jest $50$ kuponów, z czego $15$ to kupony przegrywające, a pozostałe są wygrywające. Losujemy jeden kupon. Szukamy prawdopodobieństwa wylosowania kuponu wygrywającego.

Liczba kuponów wygrywających

$50-15=35.$

Prawdopodobieństwo

Wszystkie zdarzenia są jednakowo prawdopodobne, więc:

$P=\frac{\text{liczba kuponoˊw wygrywających}}{\text{liczba wszystkich kuponoˊw}}=\frac{35}{50}.$

Odpowiedź: D. $\frac{35}{50}$

Przekształcenie do postaci ogólnej

Nierówność $2x^2-3x>5$ przenosimy wszystko na jedną stronę:

$2x^2-3x-5>0.$

Miejsca zerowe trójmianu

Rozwiązujemy równanie $2x^2-3x-5=0$. Liczymy wyróżnik:

$\Delta =(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot (-5)=9+40=49,\sqrt{\Delta }=7.$

Stąd pierwiastki:

$x_1=\frac{3-7}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1,x_2=\frac{3+7}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.$

Odczytanie rozwiązania

Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a=2>0$), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Trójmian przyjmuje wartości dodatnie poza przedziałem między pierwiastkami, czyli dla argumentów mniejszych od $-1$ oraz większych od $\frac{5}{2}$.

Odpowiedź: $x\in (-\infty ,-1)\cup \left(\frac{5}{2},+\infty \right)$.

Wykorzystanie własności iloczynu

Iloczyn dwóch czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich jest zerem. Zatem równanie

$(x^3+125)(x^2-64)=0$

jest spełnione, gdy $x^3+125=0$ lub $x^2-64=0$.

Pierwszy czynnik

$x^3+125=0⟺x^3=-125⟺x=\sqrt[3]{-125}=-5.$

To jedyne rozwiązanie rzeczywiste tego czynnika.

Drugi czynnik

$x^2-64=0⟺(x-8)(x+8)=0⟺x=8\text{lub}x=-8.$

Odpowiedź: $x=-5,x=8,x=-8$.

Przekształcenie lewej strony

Dane są liczby dodatnie $a,b$. Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:

$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{b+a}{2ab}=\frac{a+b}{2ab}.$

Mamy więc udowodnić nierówność

$\frac{a+b}{2ab}\ge \frac{2}{a+b}.$

Mnożenie przez dodatni mianownik

Ponieważ $a>0$ i $b>0$, to $a+b>0$ oraz $2ab>0$. Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę $2ab(a+b)$ — kierunek nierówności się nie zmienia, a wszystkie poniższe przekształcenia są równoważne:

$(a+b{)}^2\ge 4ab.$

Doprowadzenie do kwadratu

Rozwijamy i przenosimy:

$a^2+2ab+b^2\ge 4ab,$ $a^2-2ab+b^2\ge 0,$ $(a-b{)}^2\ge 0.$

Wniosek

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych, bo kwadrat każdej liczby jest nieujemny. Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne, wyjściowa nierówność również jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich $a,b$.

Położenie środków okręgów

Oznaczmy przez $S$ wierzchołek kąta prostego. Każdy z okręgów jest styczny do obu ramion kąta, więc jego środek jest jednakowo odległy od obu ramion — leży zatem na dwusiecznej kąta prostego. Zarówno środek $A$, jak i środek $B$ leżą więc na tej samej półprostej wychodzącej z $S$.

Odległość środka od wierzchołka

Rozważmy okrąg o środku $A$ i promieniu $R$, styczny do ramion kąta prostego. Rzutując $A$ na jedno z ramion, otrzymujemy odcinek długości $R$ (promień do punktu styczności) prostopadły do ramienia. Odcinek $SA$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego, w którym przyprostokątne mają długość $R$ (dwusieczna kąta prostego tworzy z ramieniem kąt $45^{\circ }$). Zatem

$SA=R\sqrt{2}.$

Dla dużego okręgu $R=2$, więc $SA=2\sqrt{2}$.

Odcinek między wierzchołkiem a punktem styczności okręgów

Oznaczmy przez $E$ punkt styczności obu okręgów — leży on na dwusiecznej, między $S$ a $A$. Odległość punktu $E$ od środka $A$ to promień dużego okręgu, czyli $AE=2$. Stąd

$SE=SA-AE=2\sqrt{2}-2.$

Oszacowanie promienia małego okręgu

Mały okrąg (środek $B$, promień $r$) leży między wierzchołkiem $S$ a punktem $E$, cały w "kieszeni" kąta. Jego średnica $2r$ to odcinek dwusiecznej zawarty wewnątrz tego okręgu — musi się on zmieścić na odcinku $SE$, a przy tym go nie wypełnia (mały okrąg dotyka ramion, więc od $S$ dzieli go jeszcze fragment dwusiecznej $SB=r\sqrt{2}>r$). Dlatego

$2r<SE=2\sqrt{2}-2,$ $r<\sqrt{2}-1.$

Nierówność jest ostra, ponieważ okrąg o środku $B$ nie sięga aż do wierzchołka $S$ — część odcinka $SE$ zawsze pozostaje poza nim.

Wyznaczenie podstawy $a$

Punkt $P=(2,9)$ należy do wykresu $f(x)=a^x$, więc jego współrzędne spełniają równanie funkcji:

$9=a^2.$

Stąd $a=3$ lub $a=-3$. Z założenia $a>0$ i $a\ne 1$, więc

$a=3.$

Zbiór wartości funkcji $g$

Funkcja wykładnicza $f(x)=3^x$ przyjmuje wszystkie wartości dodatnie, więc jej zbiór wartości to $(0,+\infty )$.

Funkcja $g(x)=f(x)-2$ powstaje przez przesunięcie wykresu $f$ o $2$ jednostki w dół. Każdą wartość $f$ pomniejszamy o $2$, zatem zbiór wartości przesuwa się o $2$ w dół:

$(0,+\infty )⟶(-2,+\infty ).$

Odpowiedź: $a=3$, a zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział $(-2,+\infty )$.

Wykorzystanie wzoru na sumę

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$

Dla $n=12$ mamy $S_{12}=162$ oraz $a_{12}=30$, więc

$162=\frac{a_1+30}{2}\cdot 12=(a_1+30)\cdot 6.$

Rozwiązanie równania

$a_1+30=\frac{162}{6}=27,$ $a_1=27-30=-3.$

Odpowiedź: $a_1=-3$.

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$

Mamy $A=(4,3)$ i $B=(10,5)$. Współczynnik kierunkowy prostej $AB$:

$a_{AB}=\frac{5-3}{10-4}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$

Prosta $BC$ prostopadła do $AB$

Kąt $ABC$ jest prosty, więc odcinek $BC$ jest prostopadły do $AB$. Dla prostych prostopadłych iloczyn współczynników kierunkowych wynosi $-1$, zatem

$a_{BC}=-\frac{1}{a_{AB}}=-3.$

Prosta $BC$ przechodzi przez $B=(10,5)$:

$y-5=-3(x-10)⟹y=-3x+35.$

Punkt $C$ jako przecięcie prostych

Punkt $C$ leży na prostej $y=2x+3$ oraz na prostej $BC$. Porównujemy:

$2x+3=-3x+35,$ $5x=32,$ $x=\frac{32}{5}.$

Wyznaczamy współrzędną $y$:

$y=2\cdot \frac{32}{5}+3=\frac{64}{5}+\frac{15}{5}=\frac{79}{5}.$

Odpowiedź: $C=\left(\frac{32}{5},\frac{79}{5}\right)$.

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych

Z każdego zbioru losujemy po jednej liczbie. Zbiór $A=\{100,200,\dots ,700\}$ ma $7$ elementów, zbiór $B=\{10,11,\dots ,16\}$ ma $7$ elementów. Zatem

$|\Omega |=7\cdot 7=49.$

Reszty z dzielenia przez 3

Suma $x+y$ jest podzielna przez $3$ wtedy i tylko wtedy, gdy suma reszt z dzielenia $x$ i $y$ przez $3$ jest podzielna przez $3$.

Reszty liczb ze zbioru $A$:

$100\to 1,200\to 2,300\to 0,400\to 1,500\to 2,600\to 0,700\to 1.$

Czyli w $A$: reszta $0$ dają $2$ liczby, reszta $1$ dają $3$ liczby, reszta $2$ dają $2$ liczby.

Reszty liczb ze zbioru $B$:

$10\to 1,11\to 2,12\to 0,13\to 1,14\to 2,15\to 0,16\to 1.$

Czyli w $B$: reszta $0$ dają $2$ liczby, reszta $1$ dają $3$ liczby, reszta $2$ dają $2$ liczby.

Zliczanie par sprzyjających

Suma reszt jest podzielna przez $3$ w trzech przypadkach:

• $0+0$: $2\cdot 2=4$ pary,
• $1+2$: $3\cdot 2=6$ par,
• $2+1$: $2\cdot 3=6$ par.

Razem zdarzeń sprzyjających:

$4+6+6=16.$

Prawdopodobieństwo

$P=\frac{16}{49}.$

Ułamek jest nieskracalny ($49=7^2$, a $16$ nie dzieli się przez $7$).

Odpowiedź: $P=\frac{16}{49}$.

Analiza pól ścian

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma dwie podstawy będące trójkątami równobocznymi o boku $a$ oraz trzy przystające ściany boczne (prostokąty $a\times h$). Z warunku wynika, że pole podstawy jest równe polu jednej ściany bocznej. Zatem wszystkie pięć ścian ma jednakowe pole, a pole całkowite dzieli się na $5$ równych części:

$P_{\text{sˊciany}}=\frac{45\sqrt{3}}{5}=9\sqrt{3}.$

Wyznaczenie boku podstawy

Pole trójkąta równobocznego o boku $a$:

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}⟹a^2=36⟹a=6.$

Wyznaczenie wysokości

Pole ściany bocznej (prostokąta) to $a\cdot h$:

$6h=9\sqrt{3}⟹h=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Objętość

$V=P_{\text{podstawy}}\cdot h=9\sqrt{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\cdot 3\cdot 3}{2}=\frac{81}{2}.$

Odpowiedź: $V=\frac{81}{2}$.