Arkusze

Matematyka

Matematyka PP — Maj 2017

Arkusz maturalny z matematyki, poziom podstawowy, sesja Maj 2017 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Maj 2017 · CKE

Arkusz Zasady oceniania

Zadanie 1

1 pkt

Liczby rzeczywistepotęgi

Liczba $5^{8} \cdot 1 6^{- 2}$ jest równa.

A.
$(\frac{5}{2})^{8}$ ,
B.
$\frac{5}{2}$ ,
C.
$1 0^{8}$ ,
D.
$10$ .

Rozwiązanie

Sprowadzamy wszystko do potęg liczb pierwszych

Zauważmy, że $16 = 2^{4}$ , więc $1 6^{- 2} = 2^{- 8}$ . Zatem $5^{8} \cdot 1 6^{- 2} = 5^{8} \cdot 2^{- 8} = \frac{5 ^{8}}{2 ^{8}} .$

Zwijamy do jednej potęgi

Iloraz potęg o tym samym wykładniku zapisujemy jako potęgę ilorazu: $\frac{5 ^{8}}{2 ^{8}} = (\frac{5}{2})^{8} .$

Odpowiedź: A. $(\frac{5}{2})^{8}$ .

Zadanie 2

1 pkt

Liczby rzeczywistepierwiastki

Liczba $354 - 32$ jest równa.

A.
$352$ ,
B.
$3$ ,
C.
$232$ ,
D.
$2$ .

Rozwiązanie

Wyłączamy pełny sześcian spod pierwiastka

Rozkładamy liczbę pod pierwszym pierwiastkiem: $54 = 27 \cdot 2$ , a $27 = 3^{3}$ jest sześcianem. Dlatego $354 = 3 27 \cdot 2 = 327 \cdot 32 = 332 .$

Odejmujemy wyrazy podobne

Oba składniki mają teraz ten sam pierwiastek $32$ : $354 - 32 = 332 - 32 = 232 .$

Odpowiedź: C. $232$ .

Zadanie 3

1 pkt

Liczby rzeczywistelogarytmy

Liczba $2 lo g_{2} 3 - 2 lo g_{2} 5$ jest równa.

A.
$lo g_{2} \frac{9}{25}$ ,
B.
$lo g_{2} \frac{3}{5}$ ,
C.
$lo g_{2} \frac{9}{5}$ ,
D.
$lo g_{2} \frac{6}{25}$ .

Rozwiązanie

Wciągamy współczynnik 2 pod logarytm

Korzystamy ze wzoru $k lo g_{a} b = lo g_{a} b^{k}$ : $2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3^{2} = lo g_{2} 9, 2 lo g_{2} 5 = lo g_{2} 5^{2} = lo g_{2} 25.$

Stosujemy wzór na logarytm ilorazu

$lo g_{2} 9 - lo g_{2} 25 = lo g_{2} \frac{9}{25} .$

Odpowiedź: A. $lo g_{2} \frac{9}{25}$ .

Zadanie 4

1 pkt

Liczby rzeczywisteprocenty

Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?

A.
4050,
B.
1782,
C.
7425,
D.

Rozwiązanie

Zapisujemy wzrost jako mnożnik

Oznaczmy przez $x$ liczbę zwierząt z końca 2011 roku. Wzrost o $120%$ oznacza, że obecna liczba to $100% + 120% = 220%$ wartości początkowej, czyli $x \cdot 2, 2 = 8910.$

Wyznaczamy $x$

$x = \frac{8910}{2 , 2} = 4050.$

Odpowiedź: A. $4050$ .

Zadanie 5

1 pkt

Równania i nierównościrównania kwadratowe

Równość $(x 2 - 2)^{2} = (2 + 2)^{2}$ jest:

A.
prawdziwa dla $x = - 2$ ,
B.
prawdziwa dla $x = 2$ ,
C.
prawdziwa dla $x = - 1$ ,
D.
fałszywa dla każdej liczby $x$ .

Rozwiązanie

Obliczamy prawą stronę

$(2 + 2)^{2} = 4 + 2 \cdot 22 + 2 = 6 + 42 .$

Sprawdzamy $x = - 1$ (odpowiedź C)

Wstawiamy $x = - 1$ do lewej strony: $(- 1 \cdot 2 - 2)^{2} = (- 2 - 2)^{2} = (2 + 2)^{2} = 6 + 42 .$ Lewa strona jest równa prawej, więc dla $x = - 1$ równość jest prawdziwa.

Dlaczego nie inne wartości

Dla $x = 2$ : $(2 \cdot 2 - 2)^{2} = (2 - 2)^{2} = 0 \neq = 6 + 42$ ; dla $x = - 2$ : $(- 2 - 2)^{2} = 16 \neq = 6 + 42$ . Zatem tylko $x = - 1$ daje równość.

Odpowiedź: C. prawdziwa dla $x = - 1$ .

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 6

1 pkt

Równania i nierównościnierówność iloczynowa

Do zbioru rozwiązań nierówności $(x^{4} + 1) (2 - x) > 0$ nie należy liczba:

A.
$- 3$ ,
B.
$- 1$ ,
C.
$1$ ,
D.
$3$ .

Rozwiązanie

Analizujemy znaki czynników

Czynnik $x^{4} + 1$ jest zawsze dodatni (bo $x^{4} \geq 0$ , więc $x^{4} + 1 \geq 1 > 0$ ). Znak całego iloczynu zależy więc wyłącznie od drugiego czynnika: $(x^{4} + 1) (2 - x) > 0 ⟺ 2 - x > 0 ⟺ x < 2.$

Sprawdzamy podane liczby

Do zbioru rozwiązań ( $x < 2$ ) należą $- 3, - 1, 1$ . Liczba $3$ nie spełnia warunku $x < 2$ , więc nie należy do zbioru rozwiązań.

Odpowiedź: D. $3$ .

Zadanie 7

1 pkt

Równania i nierównościnierówność liniowa

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $2 - 3 x \geq 4$ . Odpowiedzi A–D przedstawiają przedziały na osi liczbowej z końcem w $\pm \frac{2}{3}$ .

Cztery przedziały na osi liczbowej (A-D) - rozwiązania nierówności

Rozwiązanie

Rozwiązujemy nierówność

$2 - 3 x \geq 4 \Rightarrow - 3 x \geq 2.$ Dzielimy obie strony przez $- 3$ (liczba ujemna — zmieniamy zwrot nierówności): $x \leq - \frac{2}{3} .$

Interpretacja graficzna

Zbiorem rozwiązań jest przedział $(- \infty, - \frac{2}{3} ⟩$ : wszystkie liczby na lewo od $- \frac{2}{3}$ wraz z samym $- \frac{2}{3}$ (koniec domknięty, bo nierówność jest nieostra). Odpowiada temu rysunek z zamalowanym punktem w $- \frac{2}{3}$ i półprostą w lewo.

Odpowiedź: D.

Zadanie 8

1 pkt

Równania i nierównościrównanie iloczynowe

Równanie $x (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = 0$ z niewiadomą $x$ :

A.
nie ma rozwiązań,
B.
ma dokładnie dwa rozwiązania,
C.
ma dokładnie trzy rozwiązania,
D.
ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Iloczyn równy zeru

Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem: $x = 0 lub x^{2} - 4 = 0 lub x^{2} + 4 = 0.$

Rozwiązujemy kolejne czynniki

$x = 0$ — jedno rozwiązanie.
$x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = 2$ lub $x = - 2$ — dwa rozwiązania.
$x^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 4$ — brak rozwiązań rzeczywistych.

Liczymy rozwiązania

Różne rozwiązania rzeczywiste to $x = - 2, 0, 2$ — dokładnie trzy.

Odpowiedź: C. ma dokładnie trzy rozwiązania.

Zadanie 9

1 pkt

Funkcja liniowamiejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f (x) = 3 (x + 1) - 12$ jest liczba:

A.
$3 - 4$ ,
B.
$- 23 + 1$ ,
C.
$43 - 1$ ,
D.
$- 3 + 12$ .

Rozwiązanie

Warunek miejsca zerowego

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f (x) = 0$ : $3 (x + 1) - 12 = 0.$

Rozwiązujemy równanie

$3 (x + 1) = 12 \Rightarrow x + 1 = \frac{12}{3} = \frac{12 3}{3} = 43 .$ Stąd $x = 43 - 1.$

Odpowiedź: C. $43 - 1$ .

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja kwadratowapostać ogólna

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , której miejsca zerowe to $- 3$ i $1$ ; wierzchołek $W = (- 1, 4)$ , wykres przecina oś $O Y$ w punkcie $(0, 3)$ . Współczynnik $c$ jest równy:

Wykres funkcji kwadratowej z zaznaczonym wierzchołkiem i miejscami zerowymi

A.
1,
B.
2,
C.
3,
D.

Rozwiązanie

Co oznacza współczynnik $c$

Współczynnik $c$ we wzorze $f (x) = a x^{2} + b x + c$ to wartość funkcji dla $x = 0$ , czyli rzędna punktu przecięcia wykresu z osią $O Y$ : $c = f (0) .$

Odczytujemy z wykresu

Z rysunku wynika, że parabola przecina oś $O Y$ na wysokości $3$ (punkt $(0, 3)$ ). Zatem $c = 3.$

(Można to potwierdzić: z miejsc zerowych $f (x) = a (x + 3) (x - 1)$ , a wierzchołek $W = (- 1, 4)$ daje $a \cdot 2 \cdot (- 2) = 4$ , czyli $a = - 1$ ; wtedy $c = f (0) = - 1 \cdot 3 \cdot (- 1) = 3$ .)

Odpowiedź: C. $3$ .

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 11

1 pkt

Funkcja wykładnicza i logarytmicznafunkcja wykładnicza

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ . Punkt $A = (1, 2)$ należy do wykresu. Podstawa $a$ potęgi jest równa:

Wykres funkcji wykładniczej z zaznaczonym punktem A

A.
$- \frac{1}{2}$ ,
B.
$\frac{1}{2}$ ,
C.
$- 2$ ,
D.
$2$ .

Rozwiązanie

Wykorzystujemy punkt należący do wykresu

Skoro punkt $A = (1, 2)$ leży na wykresie $f (x) = a^{x}$ , to jego współrzędne spełniają wzór funkcji: $a^{1} = 2.$

Wyznaczamy podstawę

$a = 2.$ (Podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia i różna od $1$ , więc wartości ujemne od razu odrzucamy.)

Odpowiedź: D. $2$ .

Zadanie 12

1 pkt

Ciągiciąg arytmetyczny

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ , określonym dla $n \geq 1$ , dane są $a_{1} = 5$ , $a_{2} = 11$ . Wtedy:

A.
$a_{14} = 71$ ,
B.
$a_{12} = 71$ ,
C.
$a_{11} = 71$ ,
D.
$a_{10} = 71$ .

Rozwiązanie

Wyznaczamy różnicę ciągu

W ciągu arytmetycznym $r = a_{2} - a_{1} = 11 - 5 = 6$ .

Sprawdzamy, który wyraz jest równy 71

Wzór na wyraz ogólny: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r = 5 + (n - 1) \cdot 6$ . Przyrównujemy do $71$ : $5 + (n - 1) \cdot 6 = 71 \Rightarrow (n - 1) \cdot 6 = 66 \Rightarrow n - 1 = 11 \Rightarrow n = 12.$ Zatem $a_{12} = 71$ .

Odpowiedź: B. $a_{12} = 71$ .

Zadanie 13

1 pkt

Ciągiciąg geometryczny

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny $(24, 6, a - 1)$ . Stąd wynika, że:

A.
$a = \frac{5}{2}$ ,
B.
$a = \frac{2}{5}$ ,
C.
$a = \frac{3}{2}$ ,
D.
$a = \frac{2}{3}$ .

Rozwiązanie

Wyznaczamy iloraz ciągu

Dla ciągu geometrycznego $(24, 6, a - 1)$ iloraz to $q = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} .$

Obliczamy trzeci wyraz

Trzeci wyraz jest równy drugiemu pomnożonemu przez $q$ : $a - 1 = 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} .$ Stąd $a = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} .$

Odpowiedź: A. $a = \frac{5}{2}$ .

Zadanie 14

1 pkt

Trygonometriawzory redukcyjne

Jeśli $m = sin 5 0^{\circ}$ , to:

A.
$m = sin 4 0^{\circ}$ ,
B.
$m = cos 4 0^{\circ}$ ,
C.
$m = cos 5 0^{\circ}$ ,
D.
$m = tg 5 0^{\circ}$ .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego

Dla kątów dopełniających się do $9 0^{\circ}$ zachodzi $sin φ = cos (9 0^{\circ} - φ)$ . Ponieważ $9 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ , mamy $sin 5 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ} .$

Zatem $m = cos 4 0^{\circ}$ .

Odpowiedź: B. $m = cos 4 0^{\circ}$ .

Zadanie 15

1 pkt

Planimetriakąty w okręguokręgi

Na okręgu o środku $O$ leży punkt $C$ . Odcinek $A B$ jest średnicą tego okręgu. Kąt $O C A$ ma miarę $5 6^{\circ}$ . Zaznaczony kąt środkowy $α$ (kąt $C O B$ ) ma miarę:

Okrąg z punktami A, B, C i środkiem O, kąt wpisany 56°

A.
$11 6^{\circ}$ ,
B.
$11 4^{\circ}$ ,
C.
$11 2^{\circ}$ ,
D.
$11 0^{\circ}$ .

Rozwiązanie

Trójkąt $O A C$ jest równoramienny

Odcinki $O A$ i $O C$ są promieniami okręgu, więc $O A = O C$ i trójkąt $O A C$ jest równoramienny. Kąty przy jego podstawie $A C$ są równe, a jednym z nich jest zaznaczony kąt $∠ O C A = 5 6^{\circ}$ , więc $∠ O A C = ∠ O C A = 5 6^{\circ} .$

Kąt $A O C$

Suma kątów w trójkącie $O A C$ daje $∠ A O C = 18 0^{\circ} - 5 6^{\circ} - 5 6^{\circ} = 6 8^{\circ} .$

Kąt $α = ∠ C O B$

Punkty $A$ , $O$ , $B$ leżą na jednej prostej (bo $A B$ jest średnicą), więc kąty $∠ A O C$ i $∠ C O B$ są przyległe: $α = ∠ C O B = 18 0^{\circ} - 6 8^{\circ} = 11 2^{\circ} .$

Odpowiedź: C. $11 2^{\circ}$ .

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 16

1 pkt

Planimetriapodobieństwo trójkątów

W trójkącie $A B C$ punkt $D$ leży na boku $B C$ , a punkt $E$ na boku $A B$ . Odcinek $D E$ jest równoległy do boku $A C$ , ponadto $∣ B D ∣ = 10$ , $∣ B C ∣ = 12$ , $∣ A C ∣ = 24$ . Długość odcinka $D E$ jest równa:

Trójkąt ABC z odcinkiem DE równoległym do AC

A.
22,
B.
20,
C.
12,
D.

Rozwiązanie

Podobieństwo trójkątów

Odcinek $D E$ jest równoległy do boku $A C$ , więc trójkąt $B D E$ jest podobny do trójkąta $B C A$ (te same kąty — cecha kkk). Odpowiednie boki są proporcjonalne, a skala podobieństwa to stosunek boków przy wierzchołku $B$ : $\frac{B D}{B C} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} .$

Obliczamy $D E$

Bok $D E$ odpowiada bokowi $A C$ , więc $D E = A C \cdot \frac{B D}{B C} = 24 \cdot \frac{5}{6} = 20.$

Odpowiedź: B. $20$ .

Zadanie 17

1 pkt

Planimetriatrójkątyfunkcje trygonometryczne

Obwód trójkąta prostokątnego $A B C$ (kąt prosty przy $B$ , kąt $3 0^{\circ}$ przy $A$ , przyprostokątna $B C = a$ ) jest równy:

Trójkąt prostokątny ABC z kątem 30° przy wierzchołku A

A.
$(3 + \frac{3}{2}) a$ ,
B.
$(2 + \frac{2}{2}) a$ ,
C.
$(3 + 3) a$ ,
D.
$(2 + 2) a$ .

Rozwiązanie

Rozpoznajemy trójkąt

Trójkąt $A B C$ ma kąt prosty przy wierzchołku $B$ , kąt $3 0^{\circ}$ przy $A$ , a przyprostokątna $B C = a$ leży naprzeciw kąta $3 0^{\circ}$ .

Wyznaczamy pozostałe boki

Z funkcji trygonometrycznych kąta $3 0^{\circ}$ w trójkącie prostokątnym: $tan 3 0^{\circ} = \frac{B C}{A B} \Rightarrow A B = \frac{a}{t a n 3 0 ^{\circ}} = \frac{a}{\frac{3}{3}} = a 3,$ $sin 3 0^{\circ} = \frac{B C}{A C} \Rightarrow A C = \frac{a}{s i n 3 0 ^{\circ}} = \frac{a}{\frac{1}{2}} = 2 a .$

Obwód

$L = B C + A B + A C = a + a 3 + 2 a = (3 + 3) a .$

Odpowiedź: C. $(3 + 3) a$ .

Zadanie 18

1 pkt

Trygonometriafunkcje trygonometrycznetangens kąta nachylenia prostej

Prosta $k$ przechodzi przez punkt $A = (2, - 3)$ i przez początek układu współrzędnych; $α$ to kąt nachylenia prostej do osi $O x$ . Zatem:

Wykres prostej k w układzie współrzędnych z zaznaczonym kątem nachylenia

A.
$tg α = - \frac{2}{3}$ ,
B.
$tg α = - \frac{3}{2}$ ,
C.
$tg α = \frac{2}{3}$ ,
D.
$tg α = \frac{3}{2}$ .

Rozwiązanie

Tangens kąta nachylenia to współczynnik kierunkowy prostej

Prosta przechodzi przez początek układu i punkt $A = (2, - 3)$ , więc ma postać $y = m x$ , gdzie $m = tan α$ . Współczynnik kierunkowy obliczamy jako stosunek przyrostów współrzędnych: $tan α = m = \frac{- 3 - 0}{2 - 0} = \frac{- 3}{2} = - \frac{3}{2} .$

(Ujemna wartość jest zgodna z rysunkiem — prosta opada, przechodząc przez czwartą ćwiartkę.)

Odpowiedź: B. $tg α = - \frac{3}{2}$ .

Zadanie 19

1 pkt

Geometria analitycznaproste równoległe i prostopadłe

Proste $k$ i $l$ przecinają się pod kątem prostym w punkcie $A = (- 2, 4)$ . Prosta $k$ ma równanie $y = - \frac{1}{4} x + \frac{7}{2}$ . Prostą $l$ opisuje równanie:

A.
$y = \frac{1}{4} x + \frac{7}{2}$ ,
B.
$y = - \frac{1}{4} x - \frac{7}{2}$ ,
C.
$y = 4 x - 12$ ,
D.
$y = 4 x + 12$ .

Rozwiązanie

Warunek prostopadłości

Prosta $k$ ma współczynnik kierunkowy $- \frac{1}{4}$ . Prosta $l$ jest do niej prostopadła, więc iloczyn współczynników kierunkowych wynosi $- 1$ : $a_{l} \cdot (- \frac{1}{4}) = - 1 \Rightarrow a_{l} = 4.$

Wyznaczamy wyraz wolny

Prosta $l$ przechodzi przez $A = (- 2, 4)$ : $4 = 4 \cdot (- 2) + b \Rightarrow 4 = - 8 + b \Rightarrow b = 12.$ Zatem $l : y = 4 x + 12$ .

Odpowiedź: D. $y = 4 x + 12$ .

Zadanie 20

1 pkt

Geometria analitycznarównanie okręguodległość punktów

Dany jest okrąg o środku $S = (2, 3)$ i promieniu $r = 5$ . Który z punktów leży na tym okręgu?

A.
$A = (- 1, 7)$ ,
B.
$B = (2, - 3)$ ,
C.
$C = (3, 2)$ ,
D.
$D = (5, 3)$ .

Rozwiązanie

Warunek leżenia na okręgu

Punkt leży na okręgu o środku $S = (2, 3)$ i promieniu $r = 5$ , gdy jego odległość od $S$ jest równa $5$ .

Sprawdzamy punkt $A = (- 1, 7)$

$∣ S A ∣ = (- 1 - 2)^{2} + (7 - 3)^{2} = (- 3)^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5.$ Odległość jest równa promieniowi, więc $A$ leży na okręgu. (Pozostałe punkty dają odległości różne od $5$ .)

Odpowiedź: A. $A = (- 1, 7)$ .

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 21

1 pkt

Stereometriagraniastosłupypole powierzchni

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa:

A.
$10$ ,
B.
$310$ ,
C.
$42$ ,
D.
$342$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy pole powierzchni całkowitej

Niech $a$ oznacza krawędź podstawy (kwadratu). Wysokość to $H = 3 a$ . Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego: $P_{c} = 2 a^{2} + 4 a H = 2 a^{2} + 4 a \cdot 3 a = 2 a^{2} + 12 a^{2} = 14 a^{2} .$

Rozwiązujemy równanie

$14 a^{2} = 140 \Rightarrow a^{2} = 10 \Rightarrow a = 10$ (bierzemy wartość dodatnią, bo $a$ jest długością).

Odpowiedź: A. $10$ .

Zadanie 22

1 pkt

Stereometriabryły obrotowefunkcje trygonometryczne

Promień $A S$ podstawy walca jest równy wysokości $O S$ tego walca. Sinus kąta $O A S$ jest równy:

A.
$\frac{3}{2}$ ,
B.
$\frac{2}{2}$ ,
C.
$\frac{1}{2}$ ,
D.
$1$ .

Rozwiązanie

Rozpatrujemy trójkąt prostokątny $O A S$

Kąt przy wierzchołku $S$ jest prosty (wysokość $O S$ walca jest prostopadła do promienia $A S$ podstawy). Z założenia promień i wysokość są równe: $A S = O S = r$ .

Obliczamy przeciwprostokątną $O A$

Z twierdzenia Pitagorasa: $O A = O S^{2} + A S^{2} = r^{2} + r^{2} = r 2 .$

Sinus kąta $O A S$

Kąt $O A S$ jest przy wierzchołku $A$ ; naprzeciw niego leży przyprostokątna $O S$ , a przeciwprostokątną jest $O A$ : $sin ∠ O A S = \frac{O S}{O A} = \frac{r}{r 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} .$

Odpowiedź: B. $\frac{2}{2}$ .

Zadanie 23

1 pkt

Stereometriabryły obrotoweobjętość

Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa:

A.
$576 π$ ,
B.
$192 π$ ,
C.
$144 π$ ,
D.
$48 π$ .

Rozwiązanie

Ustalamy promień podstawy

Średnica podstawy wynosi $12$ , więc promień to $r = 6$ . Wysokość stożka $h = 4$ .

Wzór na objętość stożka

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 6^{2} \cdot 4 = \frac{1}{3} π \cdot 36 \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot 144 π = 48 π .$

Odpowiedź: D. $48 π$ .

Zadanie 24

1 pkt

Statystykaśrednia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: 3, 5, 7, 9, $x$ , 15, 17, 19 jest równa 11. Wtedy:

A.
$x = 1$ ,
B.
$x = 2$ ,
C.
$x = 11$ ,
D.
$x = 13$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy warunek na średnią

Średnia ośmiu liczb jest równa $11$ , więc ich suma wynosi $8 \cdot 11 = 88$ : $3 + 5 + 7 + 9 + x + 15 + 17 + 19 = 88.$

Wyznaczamy $x$

Suma znanych liczb: $3 + 5 + 7 + 9 + 15 + 17 + 19 = 75$ . Zatem $75 + x = 88 \Rightarrow x = 13.$

Odpowiedź: D. $x = 13$ .

Zadanie 25

1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwaprawdopodobieństwo klasyczne

Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. $A$ oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest dzielnikiem liczby 24. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe:

A.
$\frac{1}{4}$ ,
B.
$\frac{1}{3}$ ,
C.
$\frac{1}{8}$ ,
D.
$\frac{1}{6}$ .

Rozwiązanie

Przestrzeń zdarzeń

Losujemy jedną z liczb $1, 2, \dots, 24$ , więc $∣Ω∣ = 24$ , a model jest klasyczny.

Zdarzenia sprzyjające — dzielniki liczby 24

Dzielniki liczby $24$ to $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ — jest ich $8$ , więc $∣ A ∣ = 8$ .

Prawdopodobieństwo

$P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} .$

Odpowiedź: B. $\frac{1}{3}$ .

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 26

2 pkt

Równania i nierównościnierówności kwadratowe

Rozwiąż nierówność $8 x^{2} - 72 x \leq 0$ .

Rozwiązanie

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu

Rozwiązujemy nierówność $8 x^{2} - 72 x \leq 0$ . Najpierw zerujemy trójmian $8 x^{2} - 72 x$ , wyłączając wspólny czynnik: $8 x^{2} - 72 x = 8 x (x - 9) = 0 \Rightarrow x = 0 lub x = 9.$

Odczytujemy zbiór rozwiązań

Współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni ( $a = 8 > 0$ ), więc parabola ma ramiona skierowane w górę i przyjmuje wartości niedodatnie pomiędzy pierwiastkami. Nierówność jest nieostra, więc końce należą do rozwiązania: $0 \leq x \leq 9.$

Odpowiedź: $x \in ⟨ 0, 9 ⟩$ .

Zadanie 27

2 pkt

Liczby rzeczywistepotęgidowód

Wykaż, że liczba $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}$ jest podzielna przez 17.

Rozwiązanie

Wyłączamy wspólny czynnik

Wszystkie składniki mają wspólny czynnik $4^{2017}$ (najniższą potęgę). Wyłączamy go przed nawias: $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017} (1 + 4 + 4^{2} + 4^{3}) .$

Obliczamy nawias

$1 + 4 + 16 + 64 = 85 = 5 \cdot 17.$ Zatem $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017} \cdot 85 = 4^{2017} \cdot 5 \cdot 17.$

Wniosek

Otrzymana liczba jest iloczynem, w którym występuje czynnik $17$ , więc jest podzielna przez $17$ . To kończy dowód.

Zadanie 28

2 pkt

Planimetriadowódokręgistyczna do okręgu

Dane są dwa okręgi o środkach $P$ i $R$ , styczne zewnętrznie w punkcie $C$ . Prosta $A B$ jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach $A$ i $B$ oraz $∠ A P C = α$ i $∠ A B C = β$ . Wykaż, że $α = 18 0^{\circ} - 2 β$ .

Dwa okręgi styczne zewnętrznie z prostą styczną AB

Rozwiązanie

Oznaczenia i prostopadłość stycznej

Prosta $A B$ jest styczna do okręgu o środku $R$ w punkcie $B$ , więc promień $R B$ jest do niej prostopadły: $∠ A B R = 9 0^{\circ}$ . Ponieważ $∠ A B C = β$ , kąt $∠ C B R$ (między cięciwą $B C$ a promieniem $R B$ ) wynosi $∠ C B R = 9 0^{\circ} - β .$

Trójkąt $B R C$ jest równoramienny

Odcinki $R B$ i $R C$ są promieniami tego samego okręgu ( $C$ to punkt styczności okręgów, leży na okręgu o środku $R$ ), więc $R B = R C$ i trójkąt $B R C$ jest równoramienny. Kąty przy podstawie $B C$ są równe: $∠ B C R = ∠ C B R = 9 0^{\circ} - β .$ Stąd kąt przy wierzchołku $R$ : $∠ B R C = 18 0^{\circ} - 2 (9 0^{\circ} - β) = 2 β .$

Suma kątów czworokąta $A B R P$

Analogicznie prosta $A B$ jest styczna w punkcie $A$ do okręgu o środku $P$ , więc $∠ P A B = 9 0^{\circ}$ . Punkty $P$ , $C$ , $R$ leżą na jednej prostej (linia środków okręgów stycznych przechodzi przez punkt styczności), więc $∠ B R P = ∠ B R C = 2 β$ , a $∠ R P A = ∠ C P A = α$ . Suma kątów czworokąta $A B R P$ jest równa $36 0^{\circ}$ : $∠ P A B + ∠ A B R + ∠ B R P + ∠ R P A = 36 0^{\circ},$ $9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} + 2 β + α = 36 0^{\circ} .$ Stąd $α = 36 0^{\circ} - 18 0^{\circ} - 2 β = 18 0^{\circ} - 2 β .$ To kończy dowód.

Zadanie 29

4 pkt

Funkcja kwadratowapostać kanonicznawierzchołek

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Największa wartość funkcji $f$ jest równa 6 oraz $f (- 6) = f (0) = \frac{3}{2}$ . Oblicz wartość współczynnika $a$ .

Rozwiązanie

Znajdujemy oś symetrii i wierzchołek

Wartości funkcji w punktach $x = - 6$ i $x = 0$ są równe ( $f (- 6) = f (0)$ ), więc punkty te leżą symetrycznie względem osi symetrii paraboli. Pierwsza współrzędna wierzchołka to ich średnia: $p = \frac{- 6 + 0}{2} = - 3.$

Funkcja ma największą wartość równą $6$ , więc parabola ma ramiona skierowane w dół ( $a < 0$ ), a wierzchołek to $(p, q) = (- 3, 6)$ . Zapisujemy postać kanoniczną: $f (x) = a (x + 3)^{2} + 6.$

Wykorzystujemy warunek $f (0) = \frac{3}{2}$

Wstawiamy $x = 0$ : $a (0 + 3)^{2} + 6 = \frac{3}{2} \Rightarrow 9 a + 6 = \frac{3}{2} \Rightarrow 9 a = \frac{3}{2} - 6 = - \frac{9}{2} .$ Stąd $a = - \frac{9}{2 \cdot 9} = - \frac{1}{2} .$

Odpowiedź: $a = - \frac{1}{2}$ .

Zadanie 30

2 pkt

Planimetriatwierdzenie Pitagorasatrójkąty

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie

Wprowadzamy oznaczenia i twierdzenie Pitagorasa

Niech krótsza przyprostokątna ma długość $x$ . Wtedy dłuższa ma długość $x + 14$ , a przeciwprostokątna to $26$ . Z twierdzenia Pitagorasa: $x^{2} + (x + 14)^{2} = 2 6^{2} .$

Rozwiązujemy równanie

$x^{2} + x^{2} + 28 x + 196 = 676,$ $2 x^{2} + 28 x - 480 = 0 : 2,$ $x^{2} + 14 x - 240 = 0.$ Wyróżnik: $Δ = 1 4^{2} + 4 \cdot 240 = 196 + 960 = 1156$ , $Δ = 34$ . $x = \frac{- 14 + 34}{2} = 10 lub x = \frac{- 14 - 34}{2} = - 24.$ Długość musi być dodatnia, więc $x = 10$ .

Obliczamy obwód

Boki trójkąta to $10$ , $10 + 14 = 24$ oraz $26$ . Obwód: $L = 10 + 24 + 26 = 60 cm .$

Odpowiedź: obwód trójkąta wynosi $60$ cm.

Matematyka

Poziom podstawowy

799 zł

Szczegóły

Zadanie 31

2 pkt

Ciągiciąg arytmetycznysuma ciągu

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ , określonym dla $n \geq 1$ , dane są: $a_{1} = 8$ i suma trzech początkowych wyrazów $S_{3} = 33$ . Oblicz różnicę $a_{16} - a_{13}$ .

Rozwiązanie

Wyznaczamy różnicę ciągu

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi $S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3 a_{1} + 3 r .$ Z danych $a_{1} = 8$ i $S_{3} = 33$ : $3 \cdot 8 + 3 r = 33 \Rightarrow 24 + 3 r = 33 \Rightarrow 3 r = 9 \Rightarrow r = 3.$

Obliczamy różnicę $a_{16} - a_{13}$

Dla ciągu arytmetycznego $a_{16} - a_{13} = (16 - 13) r = 3 r$ : $a_{16} - a_{13} = 3 \cdot 3 = 9.$

Odpowiedź: $a_{16} - a_{13} = 9$ .

Zadanie 32

5 pkt

Geometria analitycznaprosta na płaszczyźniepole trójkąta

Dane są punkty $A = (- 4, 0)$ i $M = (2, 9)$ oraz prosta $k$ o równaniu $y = - 2 x + 10$ . Wierzchołek $B$ trójkąta $A B C$ to punkt przecięcia prostej $k$ z osią $O x$ , a wierzchołek $C$ jest punktem przecięcia prostej $k$ z prostą $A M$ . Oblicz pole trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

Wyznaczamy wierzchołek $B$

Punkt $B$ to przecięcie prostej $k : y = - 2 x + 10$ z osią $O x$ (czyli $y = 0$ ): $0 = - 2 x + 10 \Rightarrow x = 5,$ zatem $B = (5, 0)$ . Długość podstawy: $A B = 5 - (- 4) = 9.$

Wyznaczamy równanie prostej $A M$

Prosta $A M$ przechodzi przez $A = (- 4, 0)$ i $M = (2, 9)$ . Współczynnik kierunkowy: $a = \frac{9 - 0}{2 - ( - 4 )} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$ Z punktu $A$ : $0 = \frac{3}{2} \cdot (- 4) + b \Rightarrow b = 6$ , więc $A M : y = \frac{3}{2} x + 6$ .

Wyznaczamy wierzchołek $C$

Punkt $C$ to przecięcie prostych $k$ i $A M$ : $\frac{3}{2} x + 6 = - 2 x + 10 \cdot 2,$ $3 x + 12 = - 4 x + 20 \Rightarrow 7 x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{7} .$ Wtedy $y_{C} = - 2 \cdot \frac{8}{7} + 10 = - \frac{16}{7} + \frac{70}{7} = \frac{54}{7} .$

Obliczamy pole

Podstawa $A B$ leży na osi $O x$ , więc wysokość opuszczona z $C$ to $y_{C} = \frac{54}{7}$ . Pole trójkąta: $P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot y_{C} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{54}{7} = \frac{243}{7} = 34 \frac{5}{7} .$

Odpowiedź: $P_{A B C} = \frac{243}{7} = 34 \frac{5}{7}$ .

Zadanie 33

2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwaprawdopodobieństwo klasyczne

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Rozwiązanie

Przestrzeń zdarzeń

Losujemy jedną liczbę naturalną dwucyfrową. Liczb dwucyfrowych jest od $10$ do $99$ , czyli $∣Ω∣ = 90.$ Model jest klasyczny (każda liczba jednakowo prawdopodobna).

Zdarzenia sprzyjające

Szukamy liczb, które są jednocześnie mniejsze od 40 i podzielne przez 3. To dwucyfrowe wielokrotności trójki mniejsze od 40: $A = {12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39},$ czyli $∣ A ∣ = 10$ .

Prawdopodobieństwo

$P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9} .$

Odpowiedź: $P (A) = \frac{1}{9}$ .

Zadanie 34

4 pkt

Stereometriaostrosłupyobjętość

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy jest równa $\frac{5 3}{4}$ , a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe $\frac{15 3}{4}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Wyznaczamy krawędź podstawy

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a$ . Ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie $a$ i wysokości (apotemie bocznej) $h = \frac{5 3}{4}$ . Pole powierzchni bocznej (trzy ściany): $P_{b} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{3}{2} \cdot a \cdot \frac{5 3}{4} = \frac{15 3}{8} a .$ Z warunku $P_{b} = \frac{15 3}{4}$ : $\frac{15 3}{8} a = \frac{15 3}{4} \Rightarrow a = 2.$

Odległość środka podstawy od krawędzi

Apotema podstawy (odcinek od środka $O$ do środka $D$ boku) trójkąta równobocznego o boku $a = 2$ to jedna trzecia jego wysokości: $D O = \frac{1}{3} \cdot \frac{a 3}{2} = \frac{a 3}{6} = \frac{2 3}{6} = \frac{3}{3} .$

Wysokość ostrosłupa

Wysokość ściany bocznej $h$ , wysokość ostrosłupa $H$ i odcinek $D O$ tworzą trójkąt prostokątny $S O D$ (kąt prosty przy $O$ ), w którym $h$ jest przeciwprostokątną. Z twierdzenia Pitagorasa: $H^{2} = h^{2} - D O^{2} = (\frac{5 3}{4})^{2} - (\frac{3}{3})^{2} = \frac{75}{16} - \frac{1}{3} .$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika $48$ : $H^{2} = \frac{225}{48} - \frac{16}{48} = \frac{209}{48} .$ Stąd $H = \frac{209}{48} = \frac{209}{4 3} .$

Objętość ostrosłupa

Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku $2$ ): $P_{p} = \frac{a ^{2} 3}{4} = \frac{4 3}{4} = 3 .$ Objętość: $V = \frac{1}{3} P_{p} H = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{209}{4 3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{209}{4} = \frac{209}{12} .$

Odpowiedź: $V = \frac{209}{12}$ .

Przeczytaj także

Zobacz wszystkie

Matematyka PP — Maj 2026

Arkusz maturalny z matematyki, poziom podstawowy, sesja Maj 2026 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Matematyka PP — Maj 2025

Arkusz maturalny z matematyki, poziom podstawowy, sesja Maj 2025 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Matematyka PP — Maj 2024

Arkusz maturalny z matematyki, poziom podstawowy, sesja Maj 2024 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.