Matematyka PP — Maj 2016

Dzielenie potęg o tej samej podstawie

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki: $\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}.$

Odpowiedź: A. $a^{-3,9}$.

Zapisujemy liczbę logarytmowaną jako potęgę podstawy

Podstawą logarytmu jest $\sqrt{2}$. Zauważmy, że $2\sqrt{2}=2^1\cdot 2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}={\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^3={\left(\sqrt{2}\right)}^3.$

Obliczamy logarytm

Z definicji logarytmu ${\log }_{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)}^3=3$, bo pytamy, do której potęgi podnieść $\sqrt{2}$, aby otrzymać ${\left(\sqrt{2}\right)}^3$: ${\log }_{\sqrt{2}}\left(2\sqrt{2}\right)=3.$

Odpowiedź: D. $3$.

Zapisujemy warunki zadania równaniami

Liczba $b$ stanowi $48\%$ liczby $a$ oraz $32\%$ liczby $c$, więc $b=0,48a\text{oraz}b=0,32c.$

Przyrównujemy i wyznaczamy związek między $a$ i $c$

$0,32c=0,48a\Rightarrow c=\frac{0,48}{0,32}a=1,5a.$

Odpowiedź: A. $c=1,5a$.

Rozwijamy lewą stronę wzorem skróconego mnożenia

${\left(2\sqrt{2}-a\right)}^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot a+a^2=8-4\sqrt{2}a+a^2.$

Porównujemy z prawą stroną

Ma być $8+a^2-4\sqrt{2}a=17-12\sqrt{2}$. Porównujemy część niewymierną (przy $\sqrt{2}$): $-4\sqrt{2}a=-12\sqrt{2}\Rightarrow a=3.$ Sprawdzamy część wymierną: $8+a^2=8+9=17$ — zgadza się.

Odpowiedź: A. $a=3$.

Sprawdzamy podane liczby w nierówności $-x^5+x^3-x<-2$

Podstawiamy kolejno wartości z odpowiedzi:

• $x=1$: $-1+1-1=-1$, a $-1<-2$ jest fałszem.
• $x=-1$: $1-1+1=1$, a $1<-2$ jest fałszem.
• $x=2$: $-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26$, a $-26<-2$ jest prawdą.
• $x=-2$: $32-8+2=26$, a $26<-2$ jest fałszem.

Tylko $x=2$ spełnia nierówność.

Odpowiedź: C. $2$.

Rozwiązujemy układ równań prostych

Punkt przecięcia to wspólne rozwiązanie układu $\{\begin{array}{l}2x-3y=4\\ 5x-6y=7.\end{array}$ Pierwsze równanie mnożymy przez $2$: $4x-6y=8$. Odejmujemy je od drugiego: $(5x-6y)-(4x-6y)=7-8\Rightarrow x=-1.$

Wyznaczamy $y$

Wstawiamy $x=-1$ do pierwszego równania: $2\cdot (-1)-3y=4\Rightarrow -3y=6\Rightarrow y=-2.$ Zatem $P=(-1,-2)$.

Odpowiedź: C. $P=(-1,-2)$.

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy $\angle ASC$

Kąt środkowy $\angle ASC=118^{\circ }$ jest oparty na łuku $AC$ (tym, po którym leży punkt $B$). Kąt wpisany $\angle ADB$ i kąt wpisany $\angle ADC$ opieramy z wierzchołka $D$. Kąt wpisany $\angle ADC$ oparty na tym samym łuku $AC$ co kąt środkowy jest dwa razy mniejszy: $\angle ADC=\frac{1}{2}\cdot \angle ASC=\frac{1}{2}\cdot 118^{\circ }=59^{\circ }.$

Rozkładamy kąt $\angle ADC$

Promień poprowadzony z $D$ „widzi" kolejno punkty $A$, $B$, $C$, więc półprosta $DB$ leży wewnątrz kąta $\angle ADC$: $\angle ADC=\angle ADB+\angle BDC.$ Z danych $\angle ADB=27^{\circ }$, więc $\angle BDC=\angle ADC-\angle ADB=59^{\circ }-27^{\circ }=32^{\circ }.$

Odpowiedź: D. $32^{\circ }$.

Warunek miejsca zerowego

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x)=0$: $\frac{3}{4}x+6=0.$

Rozwiązujemy równanie

$\frac{3}{4}x=-6\Rightarrow x=-6\cdot \frac{4}{3}=-8.$

Odpowiedź: D. $-8$.

Sprowadzamy równanie wymierne do liniowego

Dla $x\ne -5$ mnożymy obie strony przez $x+5$: $\frac{3x-1}{x+5}=3\Rightarrow 3x-1=3(x+5).$

Analizujemy otrzymane równanie

$3x-1=3x+15\Rightarrow -1=15.$ Otrzymaliśmy sprzeczność — żadne $x$ nie spełnia tej równości. Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Odpowiedź: A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Odczytujemy kształt paraboli

Wierzchołek paraboli to $W=(1,9)$, a parabola ma miejsca zerowe $-2$ i $4$ (leżą po obu stronach wierzchołka), więc ramiona są skierowane w dół. Największą wartością funkcji jest więc rzędna wierzchołka $9$, a funkcja przyjmuje wszystkie wartości mniejsze lub równe $9$.

Zbiór wartości

$Z_f=(-\infty ,9⟩.$

Odpowiedź: D. $(-\infty ,9⟩$.

Ustalamy wzór funkcji

Parabola ma wierzchołek $W=(1,9)$ i ramiona skierowane w dół, więc w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-1{)}^2+9$. Z miejsca zerowego $x=4$: $0=a(4-1{)}^2+9\Rightarrow 9a=-9\Rightarrow a=-1,$ czyli $f(x)=-(x-1{)}^2+9$.

Szukamy najmniejszej wartości na przedziale $⟨-1,2⟩$

Wierzchołek $x=1$ leży w przedziale i daje wartość największą, więc najmniejszej szukamy na końcach przedziału. Ponieważ koniec $x=-1$ jest dalej od osi symetrii $x=1$ niż $x=2$, to właśnie tam wartość jest najmniejsza: $f(-1)=-(-1-1{)}^2+9=-4+9=5.$ (Dla porównania $f(2)=-(2-1{)}^2+9=8$.)

Odpowiedź: B. $5$.

Podstawiamy argument do wzoru

Dla $x=-\sqrt[3]{3}$ obliczamy potrzebne potęgi: $x^3={\left(-\sqrt[3]{3}\right)}^3=-3,x^6={\left(x^3\right)}^2=(-3{)}^2=9.$

Wyliczamy wartość funkcji

$f\left(-\sqrt[3]{3}\right)=\frac{2x^3}{x^6+1}=\frac{2\cdot (-3)}{9+1}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}.$

Odpowiedź: B. $-\frac{3}{5}$.

Tworzymy trójkąt prostokątny

Niech $K$ będzie spodkiem prostopadłej opuszczonej ze środka $S$ na cięciwę $AB$. Odcinek $SK$ to szukana odległość. W trójkącie prostokątnym $ASK$ kąt prosty jest przy $K$, przeciwprostokątną jest promień $AS=10$, a kąt przy wierzchołku $A$ wynosi $31^{\circ }$.

Obliczamy odległość

Naprzeciw kąta $31^{\circ }$ leży przyprostokątna $SK$, więc $SK=AS\cdot \sin 31^{\circ }=10\cdot \sin 31^{\circ }.$ Z tablic $\sin 31^{\circ }\approx 0,5150$, zatem $SK\approx 10\cdot 0,5150=5,15.$

Wskazujemy przedział

Liczba $5,15$ należy do przedziału $⟨\frac{9}{2},\frac{11}{2}⟩=⟨4,5;5,5⟩$.

Odpowiedź: A. $⟨\frac{9}{2},\frac{11}{2}⟩$.

Cofamy się od $a_{14}$ do $a_7$

W ciągu arytmetycznym $a_{14}=a_7+(14-7)r=a_7+7r$. Znamy $a_{14}=8$ i $r=-\frac{3}{2}$, więc $a_7=a_{14}-7r=8-7\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=8+\frac{21}{2}=\frac{16}{2}+\frac{21}{2}=\frac{37}{2}.$

Odpowiedź: A. $\frac{37}{2}$.

Warunek ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym środkowy wyraz spełnia $(2x+3{)}^2=x\cdot (4x+3)$ (kwadrat wyrazu środkowego równy iloczynowi sąsiednich).

Rozwiązujemy równanie

$4x^2+12x+9=4x^2+3x\Rightarrow 12x+9=3x\Rightarrow 9x=-9\Rightarrow x=-1.$ Sprawdzenie: wyrazy to $-1,1,-1$ — ciąg geometryczny o ilorazie $q=-1$ (wszystkie wyrazy niezerowe), więc warunek jest spełniony.

Odpowiedź: D. $-1$.

Ustalamy odpowiadające sobie wierzchołki

W trójkącie $ABC$ mamy $\angle A=70^{\circ }$, $\angle B=48^{\circ }$, więc $\angle C=180^{\circ }-70^{\circ }-48^{\circ }=62^{\circ }$. W trójkącie $PQR$ mamy $\angle P=70^{\circ }$, $\angle R=62^{\circ }$, więc $\angle Q=48^{\circ }$. Równym kątom odpowiadają wierzchołki: $A\leftrightarrow P(70^{\circ }),B\leftrightarrow Q(48^{\circ }),C\leftrightarrow R(62^{\circ }).$

Wyznaczamy skalę podobieństwa

Boki $BC$ i $QR$ leżą naprzeciw równych kątów $70^{\circ }$ ($A$ i $P$), więc są to boki odpowiadające: $k=\frac{BC}{QR}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}.$

Obliczamy $AB$

Boki $AB$ i $PQ$ leżą naprzeciw równych kątów $62^{\circ }$ ($C$ i $R$) — również odpowiadają sobie. Zatem $AB=PQ\cdot k=17\cdot \frac{1}{2}=8,5.$

Odpowiedź: B. $8,5$.

Budujemy trójkąt prostokątny dla kąta ostrego

Skoro $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{3}$, to w trójkącie prostokątnym przyprostokątna naprzeciw $\alpha$ ma długość $2$, a przyległa $3$. Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: $c=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.$

Obliczamy sinus

$\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}.$

Odpowiedź: C. $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

Sprawdzamy warunek trójkąta równoramiennego

Dla $a=2$ boki mają długości $5,2a+1=5,a-1=1,$ czyli $5,5,1$ — dwa boki są równe, więc trójkąt jest równoramienny. Nierówność trójkąta jest spełniona ($5+1>5$).

Dlaczego pozostałe wartości nie pasują

• $a=6$: boki $5,13,5$ — ale $5+5=10<13$, nie da się zbudować trójkąta.
• $a=4$: boki $5,9,3$ — brak dwóch równych boków (i $5+3=8<9$).
• $a=3$: boki $5,7,2$ — brak dwóch równych boków (i $5+2=7$, trójkąt zdegenerowany).

Odpowiedź: D. $a=2$.

Ustalamy dane trójkąta

Oznaczmy środki okręgów $O_1$ (promień $3$) i $O_2$ (promień $4$). Okręgi są styczne zewnętrznie, więc $O_1{O}_2=3+4=7.$ Prosta jest styczna do okręgu o promieniu $4$ w punkcie $P$, więc promień $O_{2}P$ jest do niej prostopadły: $\angle O_{2}P{O}_1=90^{\circ }$. Trójkąt $O_{1}P{O}_2$ jest prostokątny z przeciwprostokątną $O_1{O}_2=7$ i przyprostokątną $O_{2}P=4$.

Obliczamy drugą przyprostokątną

Z twierdzenia Pitagorasa: $O_{1}P=\sqrt{O_1{O}_2^2-O_2{P}^2}=\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{49-16}=\sqrt{33}.$

Pole trójkąta

Przyprostokątne to $O_{1}P=\sqrt{33}$ i $O_{2}P=4$: $P=\frac{1}{2}\cdot O_{1}P\cdot O_{2}P=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{33}\cdot 4=2\sqrt{33}.$

Odpowiedź: B. $2\sqrt{33}$.

Warunek prostopadłości prostych

Współczynniki kierunkowe prostych to $a_1=\frac{2}{m-1}$ oraz $a_2=m$. Proste są prostopadłe, gdy iloczyn współczynników kierunkowych jest równy $-1$: $\frac{2}{m-1}\cdot m=-1.$

Rozwiązujemy równanie

Mnożymy obie strony przez $m-1$ (dla $m\ne 1$): $2m=-(m-1)\Rightarrow 2m=-m+1\Rightarrow 3m=1\Rightarrow m=\frac{1}{3}.$ (Dla $m=\frac{1}{3}$ mianowniki $m-1$ i $m+1$ są różne od zera, więc rozwiązanie jest poprawne.)

Odpowiedź: C. $m=\frac{1}{3}$.

Korzystamy ze wzoru na środek odcinka

Środek odcinka $AB$ ma współrzędne będące średnimi współrzędnych końców: $M=\left(\frac{a+7}{2},\frac{6+b}{2}\right)=(3,4).$

Wyznaczamy $a$ i $b$

$\frac{a+7}{2}=3\Rightarrow a+7=6\Rightarrow a=-1,$ $\frac{6+b}{2}=4\Rightarrow 6+b=8\Rightarrow b=2.$

Odpowiedź: B. $a=-1$ i $b=2$.

Model klasyczny dla trzech rzutów monetą

Każdy rzut daje orła (O) lub reszkę (R), więc wszystkich wyników jest $2^3=8$ i są jednakowo prawdopodobne.

Zdarzenia sprzyjające — dokładnie dwa orły

Dwa orły w trzech rzutach można ustawić na $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ sposoby: OOR, ORO, ROO. Zatem $p=\frac{3}{8}=0,375.$

Wskazujemy przedział

Liczba $0,375$ spełnia $0,35<p\le 0,5$.

Odpowiedź: C. $0,35<p\le 0,5$.

Analizujemy przekrój osiowy stożka

Kąt rozwarcia stożka (kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym) ma miarę $120^{\circ }$, więc kąt między wysokością a tworzącą to jego połowa: $60^{\circ }$. Tworząca $l=4$.

Obliczamy promień i wysokość

W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość $h$, promień $r$ i tworzącą $l$: $r=l\sin 60^{\circ }=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3},h=l\cos 60^{\circ }=4\cdot \frac{1}{2}=2.$

Objętość stożka

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {\left(2\sqrt{3}\right)}^2\cdot 2=\frac{1}{3}\pi \cdot 12\cdot 2=8\pi .$

Odpowiedź: D. $8\pi$.

Wprowadzamy oznaczenia

Niech podstawą będzie kwadrat o boku $a$, a wysokość graniastosłupa niech wynosi $H$. Przekątna podstawy to $a\sqrt{2}$ i z warunku jest dwa razy dłuższa od wysokości: $a\sqrt{2}=2H\Rightarrow H=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Znajdujemy kąt nachylenia płaszczyzny przekroju

Przekątna podstawy przechodzi przez środek $O$ podstawy. Kąt $\alpha$ mierzymy w trójkącie prostokątnym: pozioma przyprostokątna to odległość od środka $O$ do wierzchołka podstawy leżącego pod górnym wierzchołkiem, równa połowie przekątnej $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, a pionowa to wysokość $H$. Zatem $\mathrm{tg}\alpha =\frac{H}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=1.$

Odczytujemy miarę kąta

$\mathrm{tg}\alpha =1\Rightarrow \alpha =45^{\circ }.$

Odpowiedź: B. $45^{\circ }$.

Zapisujemy warunek na średnią

Średnia sześciu liczb $31,16,25,29,27,x$ jest równa $\frac{x}{2}$: $\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2}.$ Suma znanych liczb to $128$, więc $\frac{128+x}{6}=\frac{x}{2}\Rightarrow 128+x=3x\Rightarrow 2x=128\Rightarrow x=64.$

Wyznaczamy medianę

Ustawiamy liczby rosnąco: $16,25,27,29,31,64$. Dla sześciu liczb mediana to średnia dwóch środkowych ($3.$ i $4.$): $\text{mediana}=\frac{27+29}{2}=28.$

Odpowiedź: C. $28$.

Obliczamy średni roczny przyrost

Dodajemy przyrosty z sześciu lat i dzielimy przez $6$: $\bar{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{50}{6}=\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\text{cm}.$

Zaokrąglamy i liczymy błąd bezwzględny

Zaokrąglenie do $1$ cm daje przybliżenie $8$ cm. Błąd bezwzględny przybliżenia: $\left|\frac{25}{3}-8\right|=\left|\frac{25}{3}-\frac{24}{3}\right|=\frac{1}{3}.$

Błąd względny w procentach

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wartości dokładnej: $\delta =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{25}=\frac{1}{25}=0,04=4\%.$

Odpowiedź: średni roczny przyrost to $8\frac{1}{3}$ cm ($\approx 8$ cm), a błąd względny przybliżenia wynosi $4\%$.

Przenosimy wszystko na jedną stronę

$2x^2-4x>3x^2-6x\Rightarrow 0>3x^2-6x-2x^2+4x\Rightarrow 0>x^2-2x,$ czyli $x^2-2x<0.$

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu

Wyłączamy $x$ przed nawias: $x(x-2)=0\Rightarrow x=0\text{lub}x=2.$

Odczytujemy zbiór rozwiązań

Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami. Nierówność jest ostra, więc końce nie należą do rozwiązania: $x\in (0,2).$

Odpowiedź: $x\in (0,2)$.

Iloczyn równy zeru

Iloczyn $(4-x)\left(x^2+2x-15\right)=0$ jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem: $4-x=0\text{lub}{x}^2+2x-15=0.$

Rozwiązujemy oba równania

Pierwsze: $4-x=0\Rightarrow x=4$.

Drugie — trójmian kwadratowy: $\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot (-15)=4+60=64,\sqrt{\Delta }=8,$ $x=\frac{-2-8}{2}=-5\text{lub}x=\frac{-2+8}{2}=3.$

Zbieramy rozwiązania

$x=-5,x=3,x=4.$

Odpowiedź: $x=-5$, $x=3$ lub $x=4$.

Oznaczamy kąt i wyznaczamy kąty trójkąta $CDE$

Niech $\angle ACB=\alpha$. W trójkącie $ABC$ kąt przy $A$ jest prosty, więc $\angle ABC=90^{\circ }-\alpha$.

Rozpatrzmy trójkąt $CDE$. Punkt $E$ leży na przeciwprostokątnej $BC$, a $\angle DEC=90^{\circ }$. Kąt $\angle DCE$ to ten sam kąt co $\angle ACB=\alpha$ (bo $D$ leży na $AC$, a $E$ na $CB$). Stąd trzeci kąt: $\angle CDE=180^{\circ }-90^{\circ }-\alpha =90^{\circ }-\alpha .$

Wyznaczamy kąty trójkąta $FBG$

W trójkącie $FBG$ kąt $\angle BGF=90^{\circ }$, a kąt $\angle FBG$ to ten sam kąt co $\angle ABC=90^{\circ }-\alpha$ (bo $G$ leży na $AB$, a $F$ na $BC$). Zatem trzeci kąt: $\angle BFG=180^{\circ }-90^{\circ }-(90^{\circ }-\alpha )=\alpha .$

Porównujemy kąty i wnioskujemy o podobieństwie

Oba trójkąty mają te same miary kątów: $90^{\circ }$, $\alpha$ oraz $90^{\circ }-\alpha$. Na mocy cechy podobieństwa kąt–kąt–kąt (kkk) trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $FBG$.

Zapisujemy dwa kolejne wyrazy ciągu

Mamy $a_n=2n^2+2n$. Kolejny wyraz otrzymujemy, wstawiając $n+1$: $a_{n+1}=2(n+1{)}^2+2(n+1)=2\left(n^2+2n+1\right)+2n+2=2n^2+4n+2+2n+2=2n^2+6n+4.$

Dodajemy wyrazy

$a_n+a_{n+1}=\left(2n^2+2n\right)+\left(2n^2+6n+4\right)=4n^2+8n+4.$

Rozpoznajemy kwadrat

Wyłączamy $4$ i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: $4n^2+8n+4=4\left(n^2+2n+1\right)=4(n+1{)}^2=(2(n+1){)}^2=(2n+2{)}^2.$ Liczba $2n+2$ jest naturalna (bo $n\ge 1$), więc suma dwóch kolejnych wyrazów jest kwadratem liczby naturalnej. To kończy dowód.

Zapisujemy równanie z danych

Wstawiamy $R=6,2$ oraz $A_0=10^{-4}$ do wzoru $R=\log \frac{A}{A_0}$: $6,2=\log \frac{A}{10^{-4}}.$

Korzystamy z definicji logarytmu

Równość $\log \frac{A}{10^{-4}}=6,2$ oznacza (logarytm dziesiętny), że $\frac{A}{10^{-4}}=10^{6,2}\Rightarrow A=10^{6,2}\cdot 10^{-4}=10^{6,2-4}=10^{2,2}.$ Zatem amplituda to $A=10^{2,2}$ cm.

Porównujemy ze $100$ cm

Ponieważ funkcja $y=10^x$ jest rosnąca, a $2,2>2$, to $10^{2,2}>10^2=100.$ Amplituda trzęsienia jest więc większa od $100$ cm.

Odpowiedź: $A=10^{2,2}$ cm ($\approx 158,5$ cm), czyli amplituda jest większa od $100$ cm.

Oznaczamy kąty przez jeden z nich

Niech $\alpha$ oznacza najmniejszy z dwóch „pozostałych" kątów. Wtedy drugi z tych dwóch kątów, różniący się o $50^{\circ }$, ma miarę $\alpha +50^{\circ }$, a trzeci kąt trójkąta — trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych — ma miarę $3\alpha$.

Układamy i rozwiązujemy równanie

Suma kątów trójkąta wynosi $180^{\circ }$: $\alpha +(\alpha +50^{\circ })+3\alpha =180^{\circ },$ $5\alpha +50^{\circ }=180^{\circ },$ $5\alpha =130^{\circ }\Rightarrow \alpha =26^{\circ }.$

Obliczamy pozostałe kąty

$\alpha +50^{\circ }=76^{\circ },3\alpha =78^{\circ }.$ Sprawdzenie: $26^{\circ }+76^{\circ }+78^{\circ }=180^{\circ }$, dwa „pozostałe" kąty ($26^{\circ }$ i $76^{\circ }$) różnią się o $50^{\circ }$, a trzeci ($78^{\circ }$) jest trzy razy większy od mniejszego z nich ($26^{\circ }$).

Odpowiedź: kąty trójkąta mają miary $26^{\circ }$, $76^{\circ }$ i $78^{\circ }$.

Wyznaczamy krawędź podstawy z objętości

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a$; jego pole to $P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, a wysokość $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Wysokość ostrosłupa jest równa wysokości podstawy: $H=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Objętość ostrosłupa wynosi $27$: $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3a^3}{8}=\frac{a^3}{8}=27\Rightarrow a^3=216\Rightarrow a=6.$ Stąd $H=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.

Odległość środka podstawy od krawędzi (apotema podstawy)

Punkt $O$ to środek trójkąta równobocznego. Odległość $OP$ od środka do środka boku to $\frac{1}{3}$ wysokości podstawy: $OP=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt{3}.$

Wysokość ściany bocznej

Wysokość ściany bocznej $h$, wysokość ostrosłupa $H$ i odcinek $OP$ tworzą trójkąt prostokątny $POS$ (kąt prosty przy $O$), w którym $h$ jest przeciwprostokątną: $h^2=O{P}^2+H^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2=3+27=30\Rightarrow h=\sqrt{30}.$

Pole powierzchni bocznej

Trzy przystające ściany boczne (trójkąty o podstawie $a=6$ i wysokości $h=\sqrt{30}$): $P_b=3\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot h=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{30}=9\sqrt{30}.$

Cosinus szukanego kąta

Kąt $\alpha$ między wysokością ściany bocznej a płaszczyzną podstawy występuje w trójkącie $POS$ przy wierzchołku $P$; przy nim leży $OP$, a przeciwprostokątną jest $h$: $\cos \alpha =\frac{OP}{h}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}=\sqrt{\frac{3}{30}}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$

Odpowiedź: pole powierzchni bocznej $P_b=9\sqrt{30}$, a $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Model klasyczny — liczba wszystkich zdarzeń

Liczb naturalnych dwucyfrowych jest $90$ (od $10$ do $99$). Losujemy kolejno dwie różne liczby (bez zwracania), a kolejność ma znaczenie, więc zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para różnych liczb: $|\Omega |=90\cdot 89.$ Wszystkie takie pary są jednakowo prawdopodobne.

Zdarzenia sprzyjające — suma równa 30

Szukamy uporządkowanych par różnych liczb dwucyfrowych o sumie $30$. Pary (bez powtórzeń liczb, więc bez $15+15$): $(10,20),(11,19),(12,18),(13,17),(14,16)$ oraz te same w odwrotnej kolejności: $(20,10),(19,11),(18,12),(17,13),(16,14).$ Razem $|A|=10$.

Obliczamy prawdopodobieństwo

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{10}{90\cdot 89}=\frac{10}{8010}=\frac{1}{801}.$

Odpowiedź: $P(A)=\frac{1}{801}$.