Matematyka PP — Maj 2015

Rozwiązujemy nierówność podwójną

Mamy $-4\le x-1\le 4$. Do każdej części dodajemy $1$: $-4+1\le x\le 4+1,$ $-3\le x\le 5.$

Zapisujemy zbiór rozwiązań jako przedział

Nierówności są nieostre ($\le$), więc oba końce należą do zbioru rozwiązań: $x\in ⟨-3,5⟩.$ Na osi liczbowej jest to przedział domknięty od $-3$ do $5$ (oba końce zamalowane).

Odpowiedź: C.

Obliczamy poszczególne logarytmy

Mamy $a=-\frac{1}{27}$. Wyznaczmy $b$ i $c$ z definicji logarytmu.

Dla $b={\log }_{\frac{1}{4}}64$: szukamy wykładnika, do którego podnosimy $\frac{1}{4}$, aby otrzymać $64$. Ponieważ $64=4^3={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-3}$, to $b=-3.$

Dla $c={\log }_{\frac{1}{3}}27$: mamy $27=3^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}$, więc $c=-3.$

Obliczamy iloczyn

$abc=\left(-\frac{1}{27}\right)\cdot (-3)\cdot (-3)=\left(-\frac{1}{27}\right)\cdot 9=-\frac{9}{27}=-\frac{1}{3}.$

Odpowiedź: B. $-\frac{1}{3}$.

Obliczamy odsetki i podatek

Odsetki od kwoty $1000$ zł przy oprocentowaniu $4\%$ w skali roku wynoszą $1000\cdot \frac{4}{100}$.

Od tych odsetek pobierany jest podatek $19\%$, więc do wypłaty zostaje $100\%-19\%=81\%$ odsetek, czyli $1000\cdot \frac{4}{100}\cdot \frac{81}{100}$.

Kwota do wypłaty

Do kapitału początkowego dodajemy odsetki po opodatkowaniu: $1000+1000\cdot \frac{4}{100}\cdot \frac{81}{100}=1000\left(1+\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100}\right).$

Odpowiedź: C. $1000\cdot \left(1+\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100}\right)$.

Wyznaczamy $m$ z proporcji

Z równości $\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}$ mnożymy „na krzyż" lub mnożymy obie strony przez $5-\sqrt{5}$: $m=(5-\sqrt{5})\cdot \frac{5+\sqrt{5}}{5}=\frac{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}{5}.$

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów

W liczniku mamy $(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})=5^2-(\sqrt{5}{)}^2=25-5=20$. Zatem $m=\frac{20}{5}=4.$

Odpowiedź: B. $m=4$.

Sprawdzamy, czy proste są równoległe

Układ opisuje dwie proste. Zapiszmy je w postaci kierunkowej:

• z pierwszego równania $x-y=3$ mamy $y=x-3$ (współczynnik kierunkowy $1$),
• z drugiego $2x+0,5y=4$ mamy $0,5y=4-2x$, czyli $y=8-4x$ (współczynnik kierunkowy $-4$).

Wnioskujemy o liczbie rozwiązań

Współczynniki kierunkowe $1$ i $-4$ są różne, więc proste nie są równoległe — przecinają się w dokładnie jednym punkcie. Układ ma zatem dokładnie jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: B. dokładnie jeden punkt.

Odczytujemy pierwiastki z postaci iloczynowej

Równanie $(x+3)(x+7)(x-11)=0$ jest spełnione, gdy któryś z czynników jest zerem: $x=-3,x=-7,x=11.$

Sumujemy pierwiastki

$-3+(-7)+11=1.$

Odpowiedź: C. $1$.

Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie

Równanie $\frac{x-1}{x+1}=x-1$ ma sens dla $x\ne -1$. Przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik $x-1$: $\frac{x-1}{x+1}-(x-1)=0\Rightarrow (x-1)\left(\frac{1}{x+1}-1\right)=0.$

Rozwiązujemy

Drugi czynnik: $\frac{1}{x+1}-1=\frac{1-(x+1)}{x+1}=\frac{-x}{x+1}$. Zatem $(x-1)\cdot \frac{-x}{x+1}=0\Rightarrow x-1=0\text{lub}x=0.$ Stąd $x=1$ lub $x=0$ — obie liczby należą do dziedziny. Równanie ma dwa rozwiązania.

Odpowiedź: D. ma dokładnie dwa rozwiązania: $x=0$, $x=1$.

Odczytujemy z wykresu największą i najmniejszą wartość

Zbiór wartości to zbiór wszystkich rzędnych punktów wykresu. Najwyżej wykres sięga poziomu $y=2$ — ta wartość jest osiągana (koniec odcinka zamalowany), więc $2$ należy do zbioru wartości.

Najniżej wykres schodzi w okolice $y=-2$, ale punkt $(0,-2)$ zaznaczono kółkiem niezamalowanym — wartość $-2$ nie jest przyjmowana.

Zapisujemy zbiór wartości

Wykres przyjmuje wszystkie wartości większe od $-2$ i nie większe niż $2$: $Z{W}_f=(-2,2⟩.$

Odpowiedź: D. $(-2,2⟩$.

Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru

Skoro punkt $S=(5,-2)$ leży na wykresie funkcji $f(x)=(m-1)x+3$, to jego współrzędne spełniają wzór: $-2=(m-1)\cdot 5+3.$

Rozwiązujemy równanie

$-2-3=5(m-1)\Rightarrow -5=5(m-1)\Rightarrow m-1=-1\Rightarrow m=0.$

Odpowiedź: B. $m=0$.

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $g$

Miejsce zerowe $g(x)=-3x+4$: $-3x+4=0\Rightarrow x=\frac{4}{3}.$

Żądamy tego samego miejsca zerowego dla $f$

Funkcja $f(x)=2x+b$ ma mieć miejsce zerowe $x=\frac{4}{3}$, więc $f\left(\frac{4}{3}\right)=0$: $2\cdot \frac{4}{3}+b=0\Rightarrow \frac{8}{3}+b=0\Rightarrow b=-\frac{8}{3}.$

Odpowiedź: C. $b=-\frac{8}{3}$.

Wyznaczamy współczynnik $c$ z warunku $f(3)=4$

Dla $f(x)=x^2+x+c$: $f(3)=9+3+c=12+c=4\Rightarrow c=-8.$

Obliczamy $f(1)$

$f(1)=1^2+1+(-8)=1+1-8=-6.$

Odpowiedź: A. $f(1)=-6$.

Mnożymy nierówność podwójną przez $14$

Mamy $\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}$. Mnożymy wszystkie części przez $14$ (liczba dodatnia, znaki bez zmian): $\frac{2}{7}\cdot 14<x<\frac{4}{3}\cdot 14,$ $4<x<\frac{56}{3}.$

Zliczamy liczby całkowite

Ponieważ $\frac{56}{3}\approx 18,67$, szukamy liczb całkowitych spełniających $4<x<18,67$, czyli $x\in \{5,6,7,\dots ,18\}$.

Jest ich $18-5+1=14$.

Odpowiedź: A. $14$.

Zapisujemy warunek za pomocą ilorazu

W ciągu geometrycznym $a_4=a_1\cdot q^3$. Z warunku $a_4=3a_1$ (przy $a_1\ne 0$) otrzymujemy $a_1{q}^3=3a_1\Rightarrow q^3=3.$

Wyznaczamy $q$

$q=\sqrt[3]{3}.$ Ciąg jest rosnący, a $\sqrt[3]{3}>1$, więc warunek monotoniczności jest spełniony (dla dodatniego $a_1$).

Odpowiedź: C. $q=\sqrt[3]{3}$.

Korzystamy z definicji tangensa dla kąta w układzie współrzędnych

Końcowe ramię kąta $\alpha$ przechodzi przez punkt $P=(-4,5)$. Tangens kąta to iloraz rzędnej przez odciętą punktu leżącego na tym ramieniu: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_P}{x_P}=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}.$

Odpowiedź: D. $-\frac{5}{4}$.

Zamieniamy tangens na iloraz sinusa i cosinusa

Dla $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ mamy $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Warunek $\mathrm{tg}\alpha =2\sin \alpha$ przyjmuje postać $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2\sin \alpha .$

Rozwiązujemy równanie

Dla kąta ostrego $\sin \alpha \ne 0$, więc możemy podzielić obie strony przez $\sin \alpha$: $\frac{1}{\cos \alpha }=2\Rightarrow \cos \alpha =\frac{1}{2}.$

Odpowiedź: A. $\cos \alpha =\frac{1}{2}$.

Zapisujemy zależność między kątem wpisanym a środkowym

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego. Oznaczmy miarę kąta wpisanego przez $x$, wtedy kąt środkowy ma miarę $2x$.

Wykorzystujemy różnicę kątów

Kąt wpisany jest o $20^{\circ }$ mniejszy od środkowego: $2x-x=20^{\circ }\Rightarrow x=20^{\circ }.$

Odpowiedź: C. $20^{\circ }$.

Wyznaczamy bok rombu

Obwód rombu to $8$, a romb ma cztery równe boki, więc bok $a=\frac{8}{4}=2$.

Zapisujemy pole rombu przez sinus kąta

Pole rombu o boku $a$ i kącie $\alpha$ wynosi $P=a^2\sin \alpha$. Z warunku $P=1$: $2^2\sin \alpha =1\Rightarrow 4\sin \alpha =1\Rightarrow \sin \alpha =\frac{1}{4}=0,25.$

Szacujemy miarę kąta

Szukamy kąta ostrego $\alpha$ o sinusie $0,25$. Z tablic $\sin 14^{\circ }\approx 0,2419$ oraz $\sin 15^{\circ }\approx 0,2588$, a $0,2419<0,25<0,2588$, więc $14^{\circ }<\alpha <15^{\circ }.$

Odpowiedź: A. $14^{\circ }<\alpha <15^{\circ }$.

Warunek równoległości prostych

Proste $l:y=m^{2}x+3$ oraz $k:y=(4m-4)x-3$ są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: $m^2=4m-4.$

Rozwiązujemy równanie

$m^2-4m+4=0\Rightarrow (m-2{)}^2=0\Rightarrow m=2.$ Dla $m=2$ wyrazy wolne to $3$ i $-3$ (różne), więc proste są równoległe, a nie pokrywają się.

Odpowiedź: A. $m=2$.

Warunek prostopadłości prostych

Współczynniki kierunkowe prostych to $a_1=2m$ oraz $a_2=4m^2$. Proste są prostopadłe, gdy iloczyn współczynników kierunkowych jest równy $-1$: $2m\cdot 4m^2=-1\Rightarrow 8m^3=-1.$

Rozwiązujemy równanie

$m^3=-\frac{1}{8}\Rightarrow m=-\frac{1}{2}.$

Odpowiedź: A. $m=-\frac{1}{2}$.

Wyznaczamy środek odcinka $MN$

Dla $M=(-2,1)$ i $N=(-1,3)$ środek ma współrzędne będące średnimi współrzędnych końców: $K=\left(\frac{-2+(-1)}{2},\frac{1+3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2},2\right).$

Obraz w symetrii względem początku układu

W symetrii środkowej względem punktu $(0,0)$ każda współrzędna zmienia znak: $K^{\prime }=\left(\frac{3}{2},-2\right).$

Odpowiedź: D. $K^{\prime }=\left(\frac{3}{2},-2\right)$.

Ustalamy rzut wysokości $OL$ na podstawę

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $EFGHIJKL$ wierzchołek $L$ leży dokładnie nad wierzchołkiem $H$ podstawy $EFGH$. Punkt $O$ to środek podstawy (przecięcie przekątnych $EG$ i $FH$).

Rzutem prostokątnym punktu $L$ na płaszczyznę podstawy jest punkt $H$, a punkt $O$ leży już w podstawie. Zatem rzutem odcinka $OL$ na podstawę jest odcinek $OH$.

Wskazujemy kąt nachylenia

Kąt między prostą $OL$ a płaszczyzną podstawy to kąt między $OL$ a jej rzutem $OH$, czyli kąt $\angle HOL$.

Odpowiedź: A. $\angle HOL$.

Odczytujemy dane z przekroju osiowego

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoboczny o boku $6$. Podstawa tego trójkąta jest średnicą podstawy stożka, więc $2r=6\Rightarrow r=3,$ a boki trójkąta to tworzące: $l=6$.

Obliczamy wysokość stożka

Wysokość stożka to wysokość trójkąta równobocznego: $h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$

Objętość

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2\cdot 3\sqrt{3}=\frac{1}{3}\pi \cdot 9\cdot 3\sqrt{3}=9\pi \sqrt{3}.$

Odpowiedź: B. $9\pi \sqrt{3}$.

Ustalamy elementy graniastosłupa

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Każda krawędź ma długość $8$, więc bok podstawy $a=8$ i wysokość graniastosłupa $H=8$.

Pole dwóch podstaw

Pole trójkąta równobocznego o boku $8$: $\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}$. Dwie podstawy: $2\cdot 16\sqrt{3}=32\sqrt{3}.$

Pole powierzchni bocznej

Trzy prostokąty o wymiarach $8\times 8$: $3\cdot 8\cdot 8=192.$

Pole całkowite

$P_c=192+32\sqrt{3}=8^2\cdot 3+8^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right).$

Odpowiedź: D. $8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)$.

Obliczamy średnią pierwszego zestawu

Dla danych $2,4,7,8,9$: $\bar{x}=\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{30}{5}=6.$

Zapisujemy warunek dla drugiego zestawu

Średnia zestawu $2,4,7,8,9,x$ ma być również równa $6$: $\frac{30+x}{6}=6\Rightarrow 30+x=36\Rightarrow x=6.$

Odpowiedź: D. $x=6$.

Budujemy model

Z każdego z trzech pojemników losujemy jedną kulę: czerwoną (C) lub niebieską (N). Każde losowanie ma $2$ możliwości, więc wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników jest $|\Omega |=2^3=8.$

Zliczamy zdarzenia sprzyjające

Dokładnie dwie kule czerwone (a więc jedna niebieska) — wybieramy, który pojemnik da kulę niebieską, na $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ sposoby: CCN, CNC, NCC.

Obliczamy prawdopodobieństwo

$p=\frac{3}{8}.$

Odpowiedź: B. $\frac{3}{8}$.

Przekształcamy nierówność do postaci ogólnej

Rozwijamy prawą stronę: $(x+3)(x-2)=x^2+x-6$. Nierówność $2x^2-4x>(x+3)(x-2)$ zapisujemy jako $2x^2-4x>x^2+x-6.$ Przenosimy wszystko na lewą stronę: $2x^2-4x-x^2-x+6>0\Rightarrow x^2-5x+6>0.$

Znajdujemy pierwiastki trójmianu

$\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,\sqrt{\Delta }=1,$ $x_1=\frac{5-1}{2}=2,x_2=\frac{5+1}{2}=3.$

Odczytujemy zbiór rozwiązań

Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola przyjmuje wartości dodatnie poza pierwiastkami. Nierówność jest ostra, więc końce nie należą do zbioru rozwiązań: $x\in (-\infty ,2)\cup (3,+\infty ).$

Odpowiedź: $x\in (-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$.

Grupujemy wyrażenie tak, by powstał pełny kwadrat

Rozbijamy współczynnik $5y^2=4y^2+y^2$ i grupujemy: $4x^2-8xy+5y^2=(4x^2-8xy+4y^2)+y^2.$

Rozpoznajemy kwadrat sumy (różnicy)

W nawiasie wyłączamy $4$ i stosujemy wzór skróconego mnożenia: $4x^2-8xy+4y^2=4(x^2-2xy+y^2)=4(x-y{)}^2=(2x-2y{)}^2.$ Zatem $4x^2-8xy+5y^2=(2x-2y{)}^2+y^2.$

Wniosek

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc $(2x-2y{)}^2\ge 0$ oraz $y^2\ge 0$. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna, więc dla dowolnych liczb rzeczywistych $x,y$ $4x^2-8xy+5y^2=(2x-2y{)}^2+y^2\ge 0.$ To kończy dowód.

Wprowadzamy oznaczenia

Niech bok kwadratu $ABCD$ ma długość $a$. Przekątne kwadratu są równe i wynoszą $AC=BD=a\sqrt{2}$, przecinają się w środku $E$ pod kątem prostym, przy czym $E$ dzieli każdą z nich na połowy: $AE=EC=BE=ED=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ Pole kwadratu: $P_{ABCD}=a^2$.

Wyznaczamy położenie punktów $K,L,M,N$ na przekątnych

Dla wygody przyjmijmy $AE=ED=6x$, gdzie $6x=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Wtedy:

• $K$ i $M$ to środki $AE$ i $EC$, więc $KE=EM=3x$,
• $BL=\frac{1}{3}BE$ oraz $DN=\frac{1}{3}DE$, więc $LB=DN=2x$, a stąd $EL=EN=6x-2x=4x$.

Obliczamy przekątne czworokąta $KLMN$

Czworokąt $KLMN$ ma przekątne leżące na przekątnych kwadratu (a więc wzajemnie prostopadłe): $KM=KE+EM=3x+3x=6x,NL=NE+EL=4x+4x=8x.$

Porównujemy pola

Pole czworokąta o prostopadłych przekątnych to połowa iloczynu przekątnych: $P_{KLMN}=\frac{1}{2}\cdot KM\cdot NL=\frac{1}{2}\cdot 6x\cdot 8x=24x^2.$ Pole kwadratu przez jego przekątne $AC=BD=12x$: $P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 12x\cdot 12x=72x^2.$ Stąd $\frac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}}=\frac{24x^2}{72x^2}=\frac{1}{3},$ czyli stosunek pól wynosi $1:3$. To kończy dowód.

Znajdujemy wierzchołek paraboli

Dla $f(x)=x^2-6x+3$ pierwsza współrzędna wierzchołka: $x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3.$ Ramiona paraboli skierowane są w górę ($a=1>0$), więc w wierzchołku funkcja ma najmniejszą wartość. Argument $x_w=3$ należy do przedziału $⟨0,4⟩$, więc $f(3)=3^2-6\cdot 3+3=9-18+3=-6$ jest najmniejszą wartością funkcji na tym przedziale.

Sprawdzamy końce przedziału

Największej wartości szukamy na końcach przedziału: $f(0)=0-0+3=3,f(4)=16-24+3=-5.$ Większa z nich to $f(0)=3$.

Odpowiedź: najmniejsza wartość to $f(3)=-6$, największa to $f(0)=3$.

Wyznaczamy równanie prostej $AB$

Współczynnik kierunkowy prostej przez $A=(-43,-12)$ i $B=(50,19)$: $a=\frac{19-(-12)}{50-(-43)}=\frac{31}{93}=\frac{1}{3}.$ Równanie prostej wyznaczamy z punktu $B=(50,19)$: $y-19=\frac{1}{3}(x-50)\Rightarrow y=\frac{1}{3}x-\frac{50}{3}+19=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}.$

Znajdujemy punkt przecięcia z osią $Ox$

Na osi $Ox$ jest $y=0$: $\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}=0\Rightarrow \frac{1}{3}x=-\frac{7}{3}\Rightarrow x=-7.$

Odpowiedź: pierwsza współrzędna punktu $P$ jest równa $-7$.

Wprowadzamy niewiadome i zapisujemy warunki

Niech $x$ to licznik, a $y$ to mianownik szukanego ułamka $\frac{x}{y}$ (nieskracalnego, dodatniego).

Pierwszy warunek — dodajemy połowę licznika do licznika i mianownika: $\frac{x+\frac{1}{2}x}{y+\frac{1}{2}x}=\frac{4}{7}.$ Drugi warunek — dodajemy $1$ do licznika i mianownika: $\frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2}.$

Upraszczamy równania

Pierwsze: $\frac{\frac{3}{2}x}{y+\frac{1}{2}x}=\frac{4}{7}$, czyli $7\cdot \frac{3}{2}x=4\left(y+\frac{1}{2}x\right)$: $\frac{21}{2}x=4y+2x\Rightarrow \frac{17}{2}x=4y.$ Drugie: $2(x+1)=y+1$, czyli $y=2x+1.$

Rozwiązujemy układ

Wstawiamy $y=2x+1$ do $\frac{17}{2}x=4y$: $\frac{17}{2}x=4(2x+1)\Rightarrow 17x=16x+8\Rightarrow x=8.$ Stąd $y=2\cdot 8+1=17$.

Sprawdzenie: ułamek $\frac{8}{17}$ jest nieskracalny, $\frac{8+4}{17+4}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$ oraz $\frac{8+1}{17+1}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$.

Odpowiedź: szukany ułamek to $\frac{8}{17}$.

Oznaczenia i kąt nachylenia

Niech $a$ oznacza krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, a $H=16$ jego wysokość. Przekątna graniastosłupa nachylona jest do podstawy pod kątem $\alpha$, dla którego $\cos \alpha =\frac{3}{5}$. Kąt $\alpha$ jest ostry, więc z jedynki trygonometrycznej $\sin \alpha =\frac{4}{5},\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{4}{3}.$

Wyznaczamy krawędź podstawy

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna podstawy $d=a\sqrt{2}$. W trójkącie prostokątnym (przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy, wysokość $H$) kąt $\alpha$ leży przy podstawie, a naprzeciw niego stoi wysokość $H$: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{H}{a\sqrt{2}}=\frac{16}{a\sqrt{2}}.$ Przyrównujemy do $\frac{4}{3}$: $\frac{16}{a\sqrt{2}}=\frac{4}{3}\Rightarrow 4a\sqrt{2}=48\Rightarrow a\sqrt{2}=12\Rightarrow a=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}.$

Obliczamy pole powierzchni całkowitej

Dwie kwadratowe podstawy o boku $a=6\sqrt{2}$ oraz cztery prostokąty $a\times H$: $P_c=2a^2+4aH=2{\left(6\sqrt{2}\right)}^2+4\cdot 6\sqrt{2}\cdot 16.$ Kolejno: $2{\left(6\sqrt{2}\right)}^2=2\cdot 72=144,4\cdot 6\sqrt{2}\cdot 16=384\sqrt{2}.$ Zatem $P_c=144+384\sqrt{2}=48\left(3+8\sqrt{2}\right).$

Odpowiedź: $P_c=48\left(3+8\sqrt{2}\right)=144+384\sqrt{2}$.

Ustalamy liczbę wszystkich zdarzeń

Ankietę przeprowadzono wśród $115$ osób i losujemy jedną z nich, więc $|\Omega |=115$.

Liczymy osoby, które kupiły co najmniej jeden bilet

Oznaczmy: $A$ — kupili bilet ulgowy ($|A|=76$), $B$ — kupili bilet normalny ($|B|=41$), oba rodzaje kupiło $|A\cap B|=27$ osób. Ze wzoru włączeń i wyłączeń liczba osób, które kupiły co najmniej jeden bilet: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=76+41-27=90.$

Liczymy osoby bez biletu i prawdopodobieństwo

Osób, które nie kupiły żadnego biletu, jest $115-90=25.$ Zatem prawdopodobieństwo wylosowania takiej osoby: $P=\frac{25}{115}=\frac{5}{23}.$

Odpowiedź: $P=\frac{5}{23}$.

Zapisujemy warunki ciągu arytmetycznego

Niech $a_1$ to pierwszy wyraz, a $r$ różnica ciągu arytmetycznego $(a_n)$.

Suma jedenastu początkowych wyrazów wynosi $187$: $S_{11}=\frac{2a_1+10r}{2}\cdot 11=187\Rightarrow (a_1+5r)\cdot 11=187\Rightarrow a_1+5r=17.$

Średnia arytmetyczna wyrazów $a_1$, $a_3$, $a_9$ jest równa $12$: $\frac{a_1+(a_1+2r)+(a_1+8r)}{3}=12\Rightarrow \frac{3a_1+10r}{3}=12\Rightarrow a_1+\frac{10}{3}r=12.$

Rozwiązujemy układ równań

$\{\begin{array}{l}{a}_1+5r=17\\ a_1+\frac{10}{3}r=12.\end{array}$ Odejmując równania stronami: $\left(5-\frac{10}{3}\right)r=5$, czyli $\frac{5}{3}r=5\Rightarrow r=3$. Wtedy $a_1=17-5\cdot 3=2$.

Wykorzystujemy warunek ciągu geometrycznego

Wyrazy $a_1$, $a_3$, $a_k$ tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny, więc $a_3^2=a_1\cdot a_k.$ Mamy $a_3=a_1+2r=2+6=8$ oraz $a_k=a_1+(k-1)r=2+3(k-1)$. Stąd $8^2=2\cdot (2+3(k-1))\Rightarrow 64=2(2+3(k-1))\Rightarrow 32=2+3(k-1).$ Dalej $3(k-1)=30\Rightarrow k-1=10\Rightarrow k=11.$

Odpowiedź: $k=11$.