Arkusze

Matematyka

Matematyka PR — Maj 2024

Arkusz maturalny z matematyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2024 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Maj 2024 · CKE

Zadanie 1

2 pkt

Funkcja wykładnicza i logarytmicznamodel wykładniczy

W chwili początkowej ( $t = 0$ ) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa $80 ° C$ . Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa $20 ° C$ . Temperatura $T$ tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością

$T (t) = (T_{p} - T_{z}) \cdot k^{- t} + T_{z} dla t \geq 0$

gdzie:

$T$ – temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,

$t$ – czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,

$T_{p}$ – temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,

$T_{z}$ – temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,

$k$ – stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po $10$ minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury $65 ° C$ .

Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisujemy dane w modelu

Temperatura kawy w chwili $t$ (w minutach) opisana jest wzorem $T (t) = (T_{p} - T_{z}) \cdot k^{- t} + T_{z},$ gdzie $T_{p}$ to temperatura początkowa kawy, a $T_{z}$ to temperatura otoczenia.

Z treści zadania:

$T_{p} = 8 0^{\circ} C$ (temperatura w chwili $t = 0$ ),
$T_{z} = 2 0^{\circ} C$ (temperatura otoczenia),
$T (10) = 6 5^{\circ} C$ (po 10 minutach).

Różnica $T_{p} - T_{z} = 80 - 20 = 60$ , więc $T (t) = 60 \cdot k^{- t} + 20.$

Krok 2. Wyznaczamy $k^{- 10}$ z pomiaru po 10 minutach

Podstawiamy $t = 10$ i $T (10) = 65$ : $65 = 60 \cdot k^{- 10} + 20.$

Odejmujemy 20 od obu stron: $45 = 60 \cdot k^{- 10},$ skąd $k^{- 10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} .$

Nie musimy nawet obliczać samego $k$ — wystarczy nam wartość $k^{- 10}$ .

Krok 3. Zapisujemy $T (15)$ przez znane $k^{- 10}$

Szukamy temperatury po następnych 5 minutach, czyli w chwili $t = 15$ : $T (15) = 60 \cdot k^{- 15} + 20.$

Zauważmy, że $k^{- 15} = (k^{- 10})^{15/10} = (k^{- 10})^{1, 5}$ . Korzystamy z tego, że $k^{- 10} = \frac{3}{4}$ : $T (15) = 60 \cdot (\frac{3}{4})^{1, 5} + 20.$

Krok 4. Obliczamy potęgę $(\frac{3}{4})^{1, 5}$

Potęgę o wykładniku $1, 5 = \frac{3}{2}$ rozbijamy na $1 + \frac{1}{2}$ : $(\frac{3}{4})^{1, 5} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{3}{4})^{1/2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} .$

Stąd $T (15) = 60 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} + 20 = 60 \cdot \frac{3 3}{8} + 20 = \frac{45 3}{2} + 20.$

Krok 5. Zaokrąglamy do jedności

Przyjmujemy $3 \approx 1, 732$ : $\frac{45 3}{2} \approx \frac{45 \cdot 1 , 732}{2} = \frac{77 , 94}{2} \approx 38, 97.$

Zatem $T (15) \approx 38, 97 + 20 = 58, 97 \approx 59.$

Odpowiedź: Po następnych 5 minutach (czyli po łącznie 15 minutach) kawa ma temperaturę około $5 9^{\circ} C$ .

Zadanie 2

2 pkt

Granice ciągów i funkcjigranica funkcjigranice jednostronne

Oblicz granicę

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}}$

Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Sprawdzamy, co dzieje się z licznikiem i mianownikiem

Badamy granicę $lim_{x \to 2^{-}} \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} .$

Gdy podstawimy $x = 2$ , dostajemy licznik $2^{3} - 8 = 0$ oraz mianownik $(2 - 2)^{2} = 0$ , czyli symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$ . Musimy przekształcić wyrażenie.

Krok 2. Rozkładamy licznik na czynniki

Licznik to różnica sześcianów: $x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3}$ . Korzystamy ze wzoru $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}),$ dla $a = x$ , $b = 2$ : $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) .$

Krok 3. Skracamy wspólny czynnik

Mianownik $(x - 2)^{2} = (x - 2) (x - 2)$ . Skracamy jeden czynnik $(x - 2)$ (dla $x \neq = 2$ , co jest spełnione, bo $x \to 2$ , ale $x \neq = 2$ ): $\frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{( x - 2 ) ( x - 2 )} = \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2} .$

Krok 4. Analizujemy granicę jednostronną $x \to 2^{-}$

Rozpatrujemy osobno licznik i mianownik nowego wyrażenia, gdy $x$ dąży do $2$ od lewej strony (czyli $x < 2$ ).

Licznik: $x^{2} + 2 x + 4 \to 2^{2} + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$ . Jest to liczba dodatnia.

Mianownik: $x - 2$ . Skoro $x \to 2^{-}$ , to $x$ jest tuż poniżej $2$ , więc $x - 2$ jest małą liczbą ujemną, dążącą do zera od strony ujemnej: $x - 2 \to 0^{-}$ .

Krok 5. Wyciągamy wniosek o znaku i granicy

Dzielimy liczbę dodatnią (bliską $12$ ) przez liczbę ujemną dążącą do zera. Iloraz jest wtedy ujemny i rośnie co do wartości bezwzględnej nieograniczenie, więc dąży do $- \infty$ : $lim_{x \to 2^{-}} \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x - 2} = \frac{12}{0 ^{-}} = - \infty.$

Odpowiedź: $x \to 2^{-} lim \frac{x ^{3} - 8}{( x - 2 ) ^{2}} = - \infty.$

Zadanie 3

3 pkt

Rachunek prawdopodobieństwaschemat Bernoulliego

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36% tłuszczu, jest równe $0, 01$ . Kontroli poddajemy $10$ losowo wybranych opakowań ze śmietaną.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Rozpoznajemy schemat Bernoulliego

Kontrolujemy $n = 10$ opakowań śmietany niezależnie od siebie. Dla każdego opakowania „sukcesem" nazwijmy zdarzenie, że zawiera ono mniej niż 36% tłuszczu. Wtedy:

prawdopodobieństwo sukcesu: $p = 0, 01$ ,
prawdopodobieństwo porażki: $q = 1 - p = 0, 99$ .

Mamy powtarzalne, niezależne próby o stałym prawdopodobieństwie sukcesu — to schemat Bernoulliego. Prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach: $P (k) = (k n) p^{k} q^{n - k} .$

Krok 2. Zapisujemy szukane zdarzenie

„Co najwyżej jedno opakowanie" oznacza $0$ sukcesów albo $1$ sukces. Zatem $P = P (0) + P (1) .$

Krok 3. Obliczamy $P (0)$ — zero opakowań poniżej normy

$P (0) = (0 10) (0, 01)^{0} (0, 99)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0, 99)^{10} = (0, 99)^{10} .$

Krok 4. Obliczamy $P (1)$ — dokładnie jedno opakowanie poniżej normy

$P (1) = (1 10) (0, 01)^{1} (0, 99)^{9} = 10 \cdot 0, 01 \cdot (0, 99)^{9} = 0, 1 \cdot (0, 99)^{9} .$

Krok 5. Dodajemy i wyłączamy wspólny czynnik

W obu składnikach występuje $(0, 99)^{9}$ . Zapiszmy $(0, 99)^{10} = (0, 99)^{9} \cdot 0, 99$ , dzięki czemu możemy wyłączyć $(0, 99)^{9}$ przed nawias: $P = (0, 99)^{9} \cdot 0, 99 + (0, 99)^{9} \cdot 0, 1 = (0, 99)^{9} \cdot (0, 99 + 0, 1) = (0, 99)^{9} \cdot 1, 09.$

Krok 6. Obliczamy wartość liczbową

Obliczamy $(0, 99)^{9} \approx 0, 9135$ . Zatem $P \approx 0, 9135 \cdot 1, 09 \approx 0, 9957.$

Po zaokrągleniu do tysięcznych otrzymujemy $0, 996$ .

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że co najwyżej jedno opakowanie zawiera mniej niż 36% tłuszczu, wynosi około $0, 996$ .

Zadanie 4

3 pkt

Rachunek różniczkowystyczna do wykresupochodna

Funkcja $f$ jest określona wzorem

$f (x) = \frac{x ^{3} - 3 x + 2}{x}$

dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $P$ , o pierwszej współrzędnej równej $2$ , należy do wykresu funkcji $f$ . Prosta o równaniu $y = a x + b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$ .

Oblicz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisujemy funkcję i wzór na współczynnik kierunkowy stycznej

Dana jest funkcja $f (x) = \frac{x ^{3} - 3 x + 2}{x}, x \neq = 0.$

Prosta styczna do wykresu funkcji w punkcie o pierwszej współrzędnej $x_{0}$ ma równanie $y = a x + b$ , przy czym współczynnik kierunkowy jest równy pochodnej w tym punkcie: $a = f^{'} (x_{0})$ . Tutaj $x_{0} = 2$ .

Krok 2. Obliczamy pochodną jako pochodną ilorazu

Stosujemy wzór $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , gdzie $u = x^{3} - 3 x + 2, u^{'} = 3 x^{2} - 3, v = x, v^{'} = 1.$

Stąd $f^{'} (x) = \frac{( 3 x ^{2} - 3 ) \cdot x - ( x ^{3} - 3 x + 2 ) \cdot 1}{x ^{2}} .$

Rozwijamy licznik: $(3 x^{2} - 3) \cdot x = 3 x^{3} - 3 x,$ $3 x^{3} - 3 x - (x^{3} - 3 x + 2) = 3 x^{3} - 3 x - x^{3} + 3 x - 2 = 2 x^{3} - 2.$

Zatem $f^{'} (x) = \frac{2 x ^{3} - 2}{x ^{2}} .$

Krok 3. Obliczamy współczynnik kierunkowy $a = f^{'} (2)$

$a = f^{'} (2) = \frac{2 \cdot 2 ^{3} - 2}{2 ^{2}} = \frac{2 \cdot 8 - 2}{4} = \frac{16 - 2}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} .$

Krok 4. Wyznaczamy współrzędne punktu styczności $P$

Punkt $P$ leży na wykresie i ma pierwszą współrzędną $2$ , więc jego druga współrzędna to $f (2)$ : $f (2) = \frac{2 ^{3} - 3 \cdot 2 + 2}{2} = \frac{8 - 6 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2.$

Zatem $P = (2, 2)$ .

Krok 5. Wyznaczamy wyraz wolny $b$

Styczna $y = a x + b$ przechodzi przez punkt $P = (2, 2)$ , a $a = \frac{7}{2}$ . Podstawiamy współrzędne punktu: $2 = \frac{7}{2} \cdot 2 + b = 7 + b,$ skąd $b = 2 - 7 = - 5.$

Odpowiedź: $a = \frac{7}{2}$ oraz $b = - 5$ , więc styczna ma równanie $y = \frac{7}{2} x - 5$ .

Zadanie 5

3 pkt

Liczby rzeczywistelogarytmydowód

Wykaż, że jeżeli $lo g_{5} 4 = a$ oraz $lo g_{4} 3 = b$ , to $lo g_{12} 80 = \frac{2 a + 1}{a \cdot ( 1 + b )}$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Co mamy, a co chcemy pokazać

Dane są dwie wielkości: $lo g_{5} 4 = a, lo g_{4} 3 = b .$ Mamy wykazać tożsamość $lo g_{12} 80 = \frac{2 a + 1}{a ( 1 + b )} .$

Pomysł jest prosty: liczba $lo g_{12} 80$ ma "niewygodną" podstawę $12$ . Sprowadzimy ją do podstawy $4$ , bo obie dane wielkości ( $a$ i $b$ ) łatwo z tą podstawą powiązać ( $4$ to potęga naturalna, a $lo g_{4} 3 = b$ jest już wprost przy podstawie $4$ ).

Krok 2. Zamiana podstawy logarytmu na podstawę 4

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy: $lo g_{c} d = \frac{lo g _{e} d}{lo g _{e} c}$ . Przyjmujemy nową podstawę $e = 4$ : $lo g_{12} 80 = \frac{lo g _{4} 80}{lo g _{4} 12} .$

Krok 3. Rozkładamy liczby 80 i 12 na czynniki wygodne dla podstawy 4

Zauważmy, że $80 = 16 \cdot 5$ , a $16 = 4^{2}$ , oraz $12 = 4 \cdot 3$ . Dzięki temu w liczniku i mianowniku wydzielą się "czyste" potęgi czwórki. Korzystając z tego, że logarytm iloczynu to suma logarytmów: $lo g_{4} 80 = lo g_{4} (16 \cdot 5) = lo g_{4} 16 + lo g_{4} 5 = 2 + lo g_{4} 5,$ $lo g_{4} 12 = lo g_{4} (4 \cdot 3) = lo g_{4} 4 + lo g_{4} 3 = 1 + lo g_{4} 3.$ Zatem $lo g_{12} 80 = \frac{2 + lo g _{4} 5}{1 + lo g _{4} 3} .$

Krok 4. Wstawiamy dane $a$ i $b$

Od razu wykorzystujemy $lo g_{4} 3 = b$ , więc mianownik to $1 + b$ .

Zostaje wyrazić $lo g_{4} 5$ przez $a$ . Mamy $a = lo g_{5} 4$ , a jak wiadomo logarytm i jego "odwrócenie podstaw" są odwrotnościami: $lo g_{4} 5 = \frac{lo g _{5} 5}{lo g _{5} 4} = \frac{1}{lo g _{5} 4} = \frac{1}{a} .$ (Skorzystaliśmy ponownie ze zmiany podstawy na podstawę $5$ oraz z $lo g_{5} 5 = 1$ .)

Krok 5. Składamy całość

Podstawiamy $lo g_{4} 5 = \frac{1}{a}$ oraz $lo g_{4} 3 = b$ : $lo g_{12} 80 = \frac{2 + \frac{1}{a}}{1 + b} .$ Licznik sprowadzamy do wspólnego mianownika: $2 + \frac{1}{a} = \frac{2 a + 1}{a},$ więc $lo g_{12} 80 = \frac{\frac{2 a + 1}{a}}{1 + b} = \frac{2 a + 1}{a ( 1 + b )} .$

To należało wykazać.

Matematyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 6

3 pkt

Kombinatorykareguła mnożeniapermutacjekombinacje

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.

Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalamy, ile cyfr ma taka liczba

Warunki: w zapisie dziesiętnym żadna cyfra się nie powtarza, dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie parzyste. Skoro cyfr nieparzystych jest $3$ , a parzystych $2$ , to liczba ma łącznie $3 + 2 = 5$ cyfr — szukamy więc liczb pięciocyfrowych.

Jedyny haczyk: liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od $0$ . O tym trzeba pamiętać, bo $0$ jest cyfrą parzystą i normalnie mogłoby wejść do naszej piątki.

Przypomnijmy pule cyfr:

nieparzyste: ${1, 3, 5, 7, 9}$ — $5$ cyfr,
parzyste: ${0, 2, 4, 6, 8}$ — $5$ cyfr.

Krok 2. Strategia: policzmy wszystko, potem odejmijmy zabronione

Najwygodniej najpierw policzyć wszystkie układy $5$ różnych cyfr (3 nieparzyste + 2 parzyste), nie przejmując się zakazem zera na początku, a następnie odjąć te, które faktycznie zaczynają się od $0$ .

Krok 3. Wszystkie ciągi 5 różnych cyfr (bez ograniczenia na pierwszą pozycję)

Budujemy taki układ w trzech niezależnych etapach:

Wybieramy, które $3$ z $5$ cyfr nieparzystych użyjemy: $(3 5) = 10$ sposobów.
Wybieramy, które $2$ z $5$ cyfr parzystych użyjemy: $(2 5) = 10$ sposobów.
Wybrane $5$ różnych cyfr ustawiamy w ciąg pięciocyfrowy: $5! = 120$ permutacji.

Razem: $L_{1} = (3 5) \cdot (2 5) \cdot 5! = 10 \cdot 10 \cdot 120 = 12000.$

Krok 4. Odejmujemy układy zaczynające się od zera

Teraz liczymy $L_{2}$ — ile spośród tych $12000$ ma $0$ na pierwszym miejscu (to są "fałszywe" liczby, tak naprawdę czterocyfrowe).

Jeśli na pierwszej pozycji stoi $0$ , to:

jedną z dwóch cyfr parzystych mamy już ustaloną — to $0$ . Drugą parzystą wybieramy więc spośród ${2, 4, 6, 8}$ , czyli $(1 4) = 4$ sposoby.
trzy cyfry nieparzyste dalej wybieramy z pięciu: $(3 5) = 10$ sposobów.
pozostałe $4$ cyfry (bo $0$ już stoi na początku) ustawiamy na $4$ dalszych miejscach: $4! = 24$ permutacje.

Stąd $L_{2} = (3 5) \cdot (1 4) \cdot 4! = 10 \cdot 4 \cdot 24 = 960.$

Krok 5. Wynik

Od wszystkich układów odejmujemy zabronione: $L = L_{1} - L_{2} = 12000 - 960 = 11040.$

Odpowiedź: Istnieje $11040$ takich liczb.

Zadanie 7

4 pkt

Ciągiciąg geometrycznyciąg arytmetyczny

Trzywyrazowy ciąg $(x, y, z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$ . Liczby $x$ , $y$ oraz $z$ są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , określonego dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ .

Oblicz $x$ , $y$ oraz $z$ . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisujemy warunki zadania

Mamy ciąg trzywyrazowy $(x, y, z)$ , który jest:

geometryczny i rosnący,
o sumie wyrazów $x + y + z = 105$ ,

a ponadto liczby $x, y, z$ są odpowiednio $1.$ , $2.$ i $6.$ wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ .

Krok 2. Wykorzystujemy ciąg arytmetyczny do wyrażenia y i z przez x

Niech $r$ oznacza różnicę ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ . Wtedy $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , więc: $x = a_{1}, y = a_{2} = a_{1} + r = x + r, z = a_{6} = a_{1} + 5 r = x + 5 r .$ Dzięki temu wszystkie trzy wyrazy opisaliśmy dwiema niewiadomymi: $x$ oraz $r$ .

Krok 3. Warunek sumy

Podstawiamy do $x + y + z = 105$ : $x + (x + r) + (x + 5 r) = 105 ⟹ 3 x + 6 r = 105 ⟹ x + 2 r = 35. (*)$

Krok 4. Warunek geometryczny

W ciągu geometrycznym środkowy wyraz spełnia $y^{2} = x \cdot z$ . Podstawiamy $y = x + r$ oraz $z = x + 5 r$ : $(x + r)^{2} = x (x + 5 r) .$ Rozwijamy obie strony: $x^{2} + 2 x r + r^{2} = x^{2} + 5 x r .$ Upraszczamy $x^{2}$ i przenosimy wszystko na jedną stronę: $r^{2} + 2 x r - 5 x r = 0 ⟹ r^{2} - 3 x r = 0 ⟹ r (r - 3 x) = 0.$ Zatem $r = 0$ albo $r = 3 x$ .

Krok 5. Odrzucamy przypadek $r = 0$

Gdyby $r = 0$ , to $x = y = z$ — ciąg byłby stały, a więc nie rosnący. To sprzeczne z warunkiem, że $(x, y, z)$ jest rosnący. Odrzucamy więc $r = 0$ i zostaje $r = 3 x .$

Krok 6. Rozwiązujemy układ

Wstawiamy $r = 3 x$ do warunku sumy $3 x + 6 r = 105$ : $3 x + 6 \cdot 3 x = 105 ⟹ 3 x + 18 x = 105 ⟹ 21 x = 105 ⟹ x = 5.$ Stąd $r = 3 x = 15$ , więc: $y = x + r = 5 + 15 = 20, z = x + 5 r = 5 + 75 = 80.$

Krok 7. Sprawdzenie

Ciąg $(5, 20, 80)$ : iloraz $\frac{20}{5} = 4$ oraz $\frac{80}{20} = 4$ — jest geometryczny, iloraz $4 > 1$ , więc rosnący. Suma: $5 + 20 + 80 = 105$ . Wszystkie warunki spełnione.

Odpowiedź: $x = 5, y = 20, z = 80$ .

Zadanie 8

4 pkt

Planimetriatrójkątytwierdzenie cosinusówdowód

Dany jest trójkąt $A B C$ , który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $A B C$ jest dwa razy większa od miary kąta $B A C$ .

Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

$∣ A C ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣$

Rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenia i przełożenie tezy na język boków i kątów

Przyjmijmy standardowe oznaczenia w trójkącie $A B C$ :

$a = ∣ B C ∣$ (bok naprzeciw wierzchołka $A$ ),
$b = ∣ C A ∣ = ∣ A C ∣$ (bok naprzeciw wierzchołka $B$ ),
$c = ∣ A B ∣$ (bok naprzeciw wierzchołka $C$ ),
$α = ∣∠ C A B ∣ = ∣∠ B A C ∣$ (kąt przy wierzchołku $A$ ).

Z założenia miara kąta $A B C$ jest dwa razy większa od miary kąta $B A C$ , zatem

$∣∠ A B C ∣ = 2 α .$

Teza $∣ A C ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣$ w tych oznaczeniach przyjmuje postać

$b^{2} = a^{2} + c \cdot a .$

To właśnie chcemy wykazać.

Krok 2. Twierdzenie sinusów — związek między bokami $a$ i $b$

Bok $b = ∣ A C ∣$ leży naprzeciw kąta $A B C$ (o mierze $2 α$ ), a bok $a = ∣ B C ∣$ leży naprzeciw kąta $B A C$ (o mierze $α$ ). Z twierdzenia sinusów

$\frac{b}{s i n 2 α} = \frac{a}{s i n α} .$

Korzystając ze wzoru $sin 2 α = 2 sin α cos α$ , mamy

$\frac{b}{2 s i n α c o s α} = \frac{a}{s i n α} .$

Kąt $α$ jest kątem trójkąta, więc $0 < α < 18 0^{\circ}$ i $sin α \neq = 0$ — możemy więc skrócić $sin α$ . Mnożąc obustronnie i porządkując, dostajemy

$b sin α = 2 a sin α cos α \Rightarrow b = 2 a cos α,$

skąd

$cos α = \frac{b}{2 a} . (*)$

Krok 3. Twierdzenie cosinusów dla boku $a$

Bok $a = ∣ B C ∣$ leży naprzeciw kąta $α$ przy wierzchołku $A$ . Zapiszmy twierdzenie cosinusów dla tego boku (kąt między bokami $b$ i $c$ wychodzącymi z wierzchołka $A$ to właśnie $α$ ):

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α .$

Podstawiamy $cos α = \frac{b}{2 a}$ z $(*)$ :

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \frac{b}{2 a} = b^{2} + c^{2} - \frac{c b ^{2}}{a} .$

Krok 4. Przekształcenie i wyłączenie wspólnego czynnika

Przenieśmy $c^{2}$ na lewą stronę, a $b^{2}$ zostawmy z prawej:

$a^{2} - c^{2} = b^{2} - \frac{c b ^{2}}{a} = b^{2} (1 - \frac{c}{a}) = b^{2} \cdot \frac{a - c}{a} .$

Lewą stronę rozkładamy jako różnicę kwadratów $a^{2} - c^{2} = (a - c) (a + c)$ . Otrzymujemy równość

$(a - c) (a + c) = b^{2} \cdot \frac{a - c}{a} . (* *)$

Krok 5. Dlaczego $a \neq = c$ — tu wykorzystujemy założenie

W równości $(* *)$ chcemy podzielić obie strony przez $(a - c)$ , ale wolno to zrobić tylko wtedy, gdy $a - c \neq = 0$ . Uzasadnijmy, że tak istotnie jest.

Gdyby zachodziło $a = c$ , to znaczyłoby $∣ B C ∣ = ∣ A B ∣$ , czyli dwa boki trójkąta $A B C$ byłyby równej długości — a to oznacza, że trójkąt $A B C$ jest równoramienny. Jest to sprzeczne z założeniem zadania, które mówi, że trójkąt $A B C$ nie jest równoramienny.

Zatem $a \neq = c$ , czyli $a - c \neq = 0$ , i przez ten czynnik możemy podzielić.

Krok 6. Zakończenie dowodu

Dzieląc obie strony $(* *)$ przez $(a - c) \neq = 0$ , dostajemy

$a + c = \frac{b ^{2}}{a},$

a po pomnożeniu przez $a$ :

$a (a + c) = b^{2}, czyli b^{2} = a^{2} + c \cdot a .$

Wracając do oznaczeń długości boków, jest to dokładnie

$∣ A C ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣,$

co należało wykazać.

Zadanie 9

4 pkt

Planimetriaczworokątypole figurtwierdzenie o dwusiecznej

Dany jest kwadrat $A B C D$ o boku długości $a$ . Punkt $E$ jest środkiem boku $C D$ . Przekątna $B D$ dzieli trójkąt $A C E$ na dwie figury: $A GF$ oraz $C E F G$ (zobacz rysunek).

Oblicz pola figur $A GF$ oraz $C E F G$ . Zapisz obliczenia.

Kwadrat ABCD z punktem E (środek CD), przekątną BD i punktami przecięcia F, G, dzielącymi trójkąt ACE na figury AGF i CEFG

Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie układu współrzędnych

Metoda współrzędnych jest tu najpewniejsza — pozwala wyliczyć wszystkie punkty przecięcia bez ryzyka błędu w konfiguracji figury. Umieśćmy kwadrat $A B C D$ o boku $a$ tak, by kolejne wierzchołki (idąc wzdłuż obwodu) miały współrzędne:

$A = (0, 0), B = (a, 0), C = (a, a), D = (0, a) .$

Sprawdzamy, że to poprawny kwadrat: $A B C D$ obchodzimy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, kolejne boki $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ mają długość $a$ i są prostopadłe. Przekątne to $A C$ (z $(0, 0)$ do $(a, a)$ ) oraz $B D$ (z $(a, 0)$ do $(0, a)$ ).

Krok 2. Wyznaczenie punktów $E$ i $G$

Punkt $E$ to środek boku $C D$ , gdzie $C = (a, a)$ , $D = (0, a)$ :

$E = (\frac{a + 0}{2}, \frac{a + a}{2}) = (\frac{a}{2}, a) .$

Punkt $G$ to punkt przecięcia przekątnych $A C$ i $B D$ , czyli środek kwadratu. Jako środek przekątnej $A C$ (od $(0, 0)$ do $(a, a)$ ):

$G = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}) .$

Krok 3. Równania prostych $A E$ i $B D$ oraz wyznaczenie punktu $F$

Prosta $A E$ przechodzi przez $A = (0, 0)$ i $E = (\frac{a}{2}, a)$ . Ma współczynnik kierunkowy $\frac{a - 0}{\frac{a}{2} - 0} = 2$ i przechodzi przez początek układu, więc

$y = 2 x .$

Prosta $B D$ przechodzi przez $B = (a, 0)$ i $D = (0, a)$ . Przechodzi przez $(0, a)$ , więc wyraz wolny to $a$ , a współczynnik kierunkowy $\frac{a - 0}{0 - a} = - 1$ , zatem

$y = - x + a .$

Punkt $F$ to przecięcie $A E$ z $B D$ . Przyrównujemy:

$2 x = - x + a \Rightarrow 3 x = a \Rightarrow x = \frac{a}{3},$

skąd $y = 2 x = \frac{2 a}{3}$ . Zatem

$F = (\frac{a}{3}, \frac{2 a}{3}) .$

Krok 4. Pole trójkąta $A GF$

Wierzchołki: $A = (0, 0)$ , $G = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ , $F = (\frac{a}{3}, \frac{2 a}{3})$ . Ponieważ jeden wierzchołek leży w początku układu, wygodnie użyć wzoru

$P_{A GF} = \frac{1}{2} ∣ x_{G} y_{F} - x_{F} y_{G} ∣ .$

Podstawiamy:

$P_{A GF} = \frac{1}{2} \frac{a}{2} \cdot \frac{2 a}{3} - \frac{a}{3} \cdot \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \frac{a ^{2}}{3} - \frac{a ^{2}}{6} .$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $\frac{a ^{2}}{3} = \frac{2 a ^{2}}{6}$ , więc różnica wynosi $\frac{2 a ^{2}}{6} - \frac{a ^{2}}{6} = \frac{a ^{2}}{6}$ . Stąd

$P_{A GF} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a ^{2}}{6} = \frac{a ^{2}}{12} .$

Krok 5. Pole całego trójkąta $A C E$

Czworokąt $C E F G$ jest częścią trójkąta $A C E$ — dokładniej tym, co zostaje po odjęciu trójkąta $A GF$ . Policzmy więc najpierw pole trójkąta $A C E$ o wierzchołkach $A = (0, 0)$ , $C = (a, a)$ , $E = (\frac{a}{2}, a)$ . Znów jeden wierzchołek w początku układu:

$P_{A C E} = \frac{1}{2} ∣ x_{C} y_{E} - x_{E} y_{C} ∣ = \frac{1}{2} a \cdot a - \frac{a}{2} \cdot a = \frac{1}{2} a^{2} - \frac{a ^{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a ^{2}}{2} = \frac{a ^{2}}{4} .$

Krok 6. Pole czworokąta $C E F G$

Przekątna $B D$ dzieli trójkąt $A C E$ na dwie części: trójkąt $A GF$ (przy wierzchołku $A$ ) oraz czworokąt $C E F G$ . Zatem

$P_{C E F G} = P_{A C E} - P_{A GF} = \frac{a ^{2}}{4} - \frac{a ^{2}}{12} .$

Wspólny mianownik $12$ : $\frac{a ^{2}}{4} = \frac{3 a ^{2}}{12}$ , więc

$P_{C E F G} = \frac{3 a ^{2}}{12} - \frac{a ^{2}}{12} = \frac{2 a ^{2}}{12} = \frac{a ^{2}}{6} .$

Odpowiedź: $P_{A GF} = \frac{a ^{2}}{12}$ , $P_{C E F G} = \frac{a ^{2}}{6}$ .

Zadanie 10

5 pkt

Trygonometriarównania trygonometrycznesinus/cosinus podwojonego i potrojonego kąta

Rozwiąż równanie

$sin (4 x) - sin (2 x) = 4 cos^{2} x - 3$

w zbiorze $[0, 2 π]$ . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisujemy lewą stronę przez podwojony kąt

Zauważmy, że $4 x = 2 \cdot (2 x)$ , więc możemy skorzystać ze wzoru na sinus podwojonego kąta: $sin (4 x) = sin (2 \cdot 2 x) = 2 sin (2 x) cos (2 x) .$ Dzięki temu cała lewa strona da się zapisać przez funkcje kąta $2 x$ : $sin (4 x) - sin (2 x) = 2 sin (2 x) cos (2 x) - sin (2 x) .$

Krok 2. Przekształcamy prawą stronę

Prawa strona zawiera $cos^{2} x$ , a chcemy mieć wszystko w kącie $2 x$ . Korzystamy ze wzoru $cos (2 x) = 2 cos^{2} x - 1$ , z którego $2 cos^{2} x = cos (2 x) + 1$ , a więc $4 cos^{2} x = 2 cos (2 x) + 2$ . Wtedy: $4 cos^{2} x - 3 = (2 cos (2 x) + 2) - 3 = 2 cos (2 x) - 1.$

Krok 3. Zapisujemy równanie w kącie $2 x$

Równanie przyjmuje postać: $2 sin (2 x) cos (2 x) - sin (2 x) = 2 cos (2 x) - 1.$ Po lewej stronie wyłączamy $sin (2 x)$ przed nawias: $sin (2 x) [2 cos (2 x) - 1] = 2 cos (2 x) - 1.$

Krok 4. Przenosimy wszystko na jedną stronę i rozkładamy na czynniki

Przenieśmy prawą stronę w lewo i wyłączmy wspólny nawias $[2 cos (2 x) - 1]$ : $sin (2 x) [2 cos (2 x) - 1] - [2 cos (2 x) - 1] = 0,$ $[sin (2 x) - 1] \cdot [2 cos (2 x) - 1] = 0.$ Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem — rozpatrujemy dwa przypadki.

Krok 5. Przypadek (A): $sin (2 x) = 1$

$sin (2 x) = 1 ⟺ 2 x = \frac{π}{2} + 2 k π ⟺ x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z .$ Szukamy $x \in [0, 2 π]$ :

$k = 0 : x = \frac{π}{4}$ — należy,
$k = 1 : x = \frac{π}{4} + π = \frac{5 π}{4}$ — należy,
$k = - 1 : x = \frac{π}{4} - π < 0$ — odpada; $k = 2 : x = \frac{9 π}{4} > 2 π$ — odpada.

Stąd z przypadku (A): $x = \frac{π}{4}$ oraz $x = \frac{5 π}{4}$ .

Krok 6. Przypadek (B): $2 cos (2 x) - 1 = 0$

$cos (2 x) = \frac{1}{2} ⟺ 2 x = \pm \frac{π}{3} + 2 k π ⟺ x = \pm \frac{π}{6} + k π, k \in Z .$ Wypisujemy $x \in [0, 2 π]$ .

Dla $x = \frac{π}{6} + k π$ :

$k = 0 : x = \frac{π}{6}$ — należy,
$k = 1 : x = \frac{π}{6} + π = \frac{7 π}{6}$ — należy,
$k = - 1$ daje wartość ujemną, $k = 2$ przekracza $2 π$ — odpadają.

Dla $x = - \frac{π}{6} + k π$ :

$k = 1 : x = - \frac{π}{6} + π = \frac{5 π}{6}$ — należy,
$k = 2 : x = - \frac{π}{6} + 2 π = \frac{11 π}{6}$ — należy,
$k = 0$ daje wartość ujemną, $k = 3$ przekracza $2 π$ — odpadają.

Stąd z przypadku (B): $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$ .

Krok 7. Zbieramy wszystkie rozwiązania

Łącząc przypadki (A) i (B), otrzymujemy sześć rozwiązań w przedziale $[0, 2 π]$ : $x \in {\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{4}, \frac{11 π}{6}} .$

Odpowiedź: $x \in {\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{4}, \frac{11 π}{6}}$ .

Matematyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 11

5 pkt

Geometria analitycznaodległość punktu od prostejrównanie okręgu

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $5$ leży na prostej o równaniu $y = x + 1$ . Przez punkt $A = (1, 2)$ , którego odległość od punktu $S$ jest większa od $5$ , poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $B$ i $C$ . Pole czworokąta $A B S C$ jest równe $15$ .

Oblicz współrzędne punktu $S$ . Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Robimy rysunek i rozumiemy sytuację

Mamy okrąg o środku $S$ i promieniu $r = 5$ . Z punktu $A = (1, 2)$ leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzono dwie styczne, które dotykają okręgu w punktach $B$ i $C$ . Powstaje czworokąt $A B S C$ o wierzchołkach kolejno $A$ , $B$ , $S$ , $C$ .

Kluczowa własność stycznej: promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Zatem $S B ⊥ A B$ oraz $S C ⊥ A C$ , czyli w wierzchołkach $B$ i $C$ czworokąta są kąty proste.

Krok 2. Rozbijamy czworokąt na dwa przystające trójkąty

Przekątna $A S$ dzieli czworokąt $A B S C$ na trójkąty prostokątne $A B S$ i $A C S$ (kąt prosty przy $B$ i przy $C$ ). Odcinki stycznych poprowadzone z jednego punktu do okręgu są równe, więc $∣ A B ∣ = ∣ A C ∣$ . Ponadto $∣ B S ∣ = ∣ C S ∣ = 5$ (promienie) i bok $A S$ jest wspólny, więc oba trójkąty są przystające.

Oznaczmy $m = ∣ A B ∣ = ∣ A C ∣$ .

Krok 3. Zapisujemy pole czworokąta

Pole czworokąta to suma pól obu przystających trójkątów prostokątnych: $P_{A B S C} = 2 \cdot P_{A B S} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot ∣ A B ∣ \cdot ∣ B S ∣ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot m \cdot 5 = m 5 .$

Z warunku zadania $P_{A B S C} = 15$ , więc: $m 5 = 15 \Rightarrow m = \frac{15}{5} = \frac{15 5}{5} = 35 .$

Krok 4. Wyznaczamy odległość $∣ A S ∣$ z twierdzenia Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym $A B S$ przeciwprostokątną jest $A S$ : $∣ A S ∣^{2} = ∣ A B ∣^{2} + ∣ B S ∣^{2} = (35)^{2} + (5)^{2} = 45 + 5 = 50.$

Krok 5. Korzystamy z tego, że $S$ leży na prostej $y = x + 1$

Skoro $S$ leży na prostej $y = x + 1$ , to $S = (x_{S}, x_{S} + 1)$ . Liczymy kwadrat odległości od $A = (1, 2)$ : $∣ A S ∣^{2} = (x_{S} - 1)^{2} + ((x_{S} + 1) - 2)^{2} = (x_{S} - 1)^{2} + (x_{S} - 1)^{2} = 2 (x_{S} - 1)^{2} .$

Krok 6. Rozwiązujemy równanie na $x_{S}$

Przyrównujemy do wartości z Kroku 4: $2 (x_{S} - 1)^{2} = 50 \Rightarrow (x_{S} - 1)^{2} = 25 \Rightarrow ∣ x_{S} - 1∣ = 5.$ Stąd: $x_{S} - 1 = 5 \Rightarrow x_{S} = 6, lub x_{S} - 1 = - 5 \Rightarrow x_{S} = - 4.$

Współrzędne $S$ (pamiętając, że $y_{S} = x_{S} + 1$ ):

dla $x_{S} = 6 : S = (6, 7)$ ,
dla $x_{S} = - 4 : S = (- 4, - 3)$ .

Krok 7. Sprawdzamy warunek położenia $A$ na zewnątrz okręgu

W obu przypadkach $∣ A S ∣ = 50$ , co jest większe od promienia $5$ , więc punkt $A$ rzeczywiście leży na zewnątrz okręgu — oba rozwiązania są poprawne i oba należy uwzględnić.

Odpowiedź: $S = (6, 7)$ oraz $S = (- 4, - 3)$ .

Zadanie 12

6 pkt

Funkcja kwadratowaWielomianyzadania z parametremwzory Viète'a

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie

$x^{2} - (3 m + 1) \cdot x + 2 m^{2} + m + 1 = 0$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ , $x_{2}$ spełniające warunek

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot (x_{1} + x_{2} - 3) \leq 3 m - 7$

Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisujemy warunki, które muszą być spełnione

Równanie $x^{2} - (3 m + 1) x + 2 m^{2} + m + 1 = 0$ ma mieć dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$ , spełniające warunek $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2} - 3) \leq 3 m - 7.$ Musimy więc jednocześnie spełnić dwa warunki:

Etap I — istnienie dwóch różnych pierwiastków, czyli $Δ > 0$ ,
Etap II — nierówność na pierwiastki (przekształcona przez wzory Viète'a).

Na końcu bierzemy część wspólną obu zbiorów.

Krok 2. Etap I — warunek $Δ > 0$

Liczymy wyróżnik: $Δ = (3 m + 1)^{2} - 4 (2 m^{2} + m + 1) .$ Rozwijamy: $Δ = 9 m^{2} + 6 m + 1 - 8 m^{2} - 4 m - 4 = m^{2} + 2 m - 3 = (m - 1) (m + 3) .$ Warunek $Δ > 0$ daje $(m - 1) (m + 3) > 0$ , a więc $m \in (- \infty, - 3) \cup (1, + \infty) .$

Krok 3. Etap II — wzory Viète'a i przekształcenie wyrażenia

Ze wzorów Viète'a: $x_{1} + x_{2} = 3 m + 1, x_{1} x_{2} = 2 m^{2} + m + 1.$

Przekształcamy lewą stronę nierówności. Najpierw rozbijamy nawias: $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2} - 3) = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) - 9 x_{1} x_{2} .$ Korzystamy z tożsamości dla sześcianu sumy: $(x_{1} + x_{2})^{3} = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}),$ zatem trzy pierwsze składniki to dokładnie $(x_{1} + x_{2})^{3}$ . Otrzymujemy prostą postać: $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2} - 3) = (x_{1} + x_{2})^{3} - 9 x_{1} x_{2} .$

Krok 4. Podstawiamy wzory Viète'a do nierówności

Nierówność przyjmuje postać: $(x_{1} + x_{2})^{3} - 9 x_{1} x_{2} \leq 3 m - 7,$ czyli $(3 m + 1)^{3} - 9 (2 m^{2} + m + 1) \leq 3 m - 7.$ Rozwijamy $(3 m + 1)^{3}$ : $(3 m + 1)^{3} = 27 m^{3} + 27 m^{2} + 9 m + 1.$ Wstawiamy i porządkujemy lewą stronę: $27 m^{3} + 27 m^{2} + 9 m + 1 - 18 m^{2} - 9 m - 9 \leq 3 m - 7,$ $27 m^{3} + 9 m^{2} - 8 \leq 3 m - 7.$ Przenosimy wszystko na lewą stronę: $27 m^{3} + 9 m^{2} - 3 m - 1 \leq 0.$

Krok 5. Rozkład wielomianu na czynniki

Grupujemy wyrazy wielomianu $27 m^{3} + 9 m^{2} - 3 m - 1$ : $27 m^{3} + 9 m^{2} - 3 m - 1 = 9 m^{2} (3 m + 1) - (3 m + 1) = (3 m + 1) (9 m^{2} - 1) .$ Czynnik $9 m^{2} - 1 = (3 m - 1) (3 m + 1)$ , więc $27 m^{3} + 9 m^{2} - 3 m - 1 = (3 m + 1) (3 m - 1) (3 m + 1) = (3 m - 1) (3 m + 1)^{2} .$ Sprawdzenie mnożeniem: $(3 m - 1) (3 m + 1)^{2} = (3 m - 1) (9 m^{2} + 6 m + 1) = 27 m^{3} + 18 m^{2} + 3 m - 9 m^{2} - 6 m - 1 = 27 m^{3} + 9 m^{2} - 3 m - 1.$ Zgadza się.

Krok 6. Rozwiązujemy nierówność iloczynową

Mamy: $(3 m - 1) (3 m + 1)^{2} \leq 0.$ Czynnik $(3 m + 1)^{2} \geq 0$ dla każdego $m$ (jest równy $0$ tylko dla $m = - \frac{1}{3}$ ). Znak całego iloczynu zależy więc od czynnika $(3 m - 1)$ :

gdy $m \neq = - \frac{1}{3}$ , iloczyn ma znak $(3 m - 1)$ , więc jest $\leq 0$ dokładnie dla $3 m - 1 \leq 0$ , czyli $m \leq \frac{1}{3}$ ;
dla $m = - \frac{1}{3}$ iloczyn równa się $0$ , więc też spełnia $\leq 0$ (i tak mieści się w $m \leq \frac{1}{3}$ ).

Stąd Etap II daje: $m \in (- \infty, \frac{1}{3}] .$

Krok 7. Etap III — część wspólna warunków

Łączymy wyniki Etapu I i Etapu II: $[(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)] \cap (- \infty, \frac{1}{3}] .$ Przedział $(1, + \infty)$ jest rozłączny z $(- \infty, \frac{1}{3}]$ (bo $\frac{1}{3} < 1$ ), więc pozostaje tylko $(- \infty, - 3) \cap (- \infty, \frac{1}{3}] = (- \infty, - 3) .$

Odpowiedź: $m \in (- \infty, - 3)$ .

Zadanie 13.1

2 pkt

Stereometriagraniastosłupypole powierzchnidowód

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$ , których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $83$ .

Wykaż, że pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

$P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}$

Rozwiązanie

Krok 1. Pole podstawy graniastosłupa

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a$ . Jego pole wynosi $P_{p} = \frac{a ^{2} 3}{4} .$

Krok 2. Wyznaczamy wysokość graniastosłupa z objętości

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość $H$ : $V = P_{p} \cdot H = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H = 3456.$ Stąd $H = \frac{3456 \cdot 4}{a ^{2} 3} = \frac{13824}{a ^{2} 3} .$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc przez $3$ : $H = \frac{13824}{a ^{2} 3} \cdot \frac{3}{3} = \frac{13824 3}{3 a ^{2}} = \frac{4608 3}{a ^{2}} .$

Krok 3. Pole całkowite

Pole całkowite to dwa trójkąty w podstawach plus pole powierzchni bocznej. Powierzchnia boczna to trzy jednakowe prostokąty o wymiarach $a \times H$ , czyli $3 a H$ : $P (a) = 2 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} + 3 a H = \frac{a ^{2} 3}{2} + 3 a \cdot \frac{4608 3}{a ^{2}} .$ Upraszczamy drugi składnik: $3 a \cdot \frac{4608 3}{a ^{2}} = \frac{3 \cdot 4608 3}{a} = \frac{13824 3}{a} .$ Zatem $P (a) = \frac{a ^{2} 3}{2} + \frac{13824 3}{a} .$

Zadanie 13.2

4 pkt

Rachunek różniczkowyoptymalizacjaStereometria

Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

$P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}$

dla $a \in (0, 83]$ .

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Funkcja i dziedzina

Rozważamy funkcję $P (a) = \frac{a ^{2} 3}{2} + \frac{13824 3}{a}, a \in (0, 83] .$ Górne ograniczenie wynika z warunku $a \leq 83$ z treści zadania.

Krok 2. Pochodna

Różniczkujemy. Pochodna składnika $\frac{a ^{2} 3}{2}$ to $a 3$ , a składnik $138243 \cdot a^{- 1}$ ma pochodną $- 138243 \cdot a^{- 2}$ . Zatem $P^{'} (a) = a 3 - \frac{13824 3}{a ^{2}} .$

Krok 3. Miejsce zerowe pochodnej

Rozwiązujemy $P^{'} (a) = 0$ : $a 3 = \frac{13824 3}{a ^{2}} ⟹ a^{3} = 13824.$ Ponieważ $2 4^{3} = 13824$ , otrzymujemy $a = 24$ .

Krok 4. Sprawdzamy położenie punktu względem dziedziny

Mamy $83 \approx 13, 86$ , więc $a = 24 \in / (0, 83]$ . Punkt zerowania pochodnej leży poza rozważanym przedziałem, więc trzeba zbadać monotoniczność na $(0, 83]$ .

Krok 5. Znak pochodnej na dziedzinie

Zapiszmy pochodną w postaci $P^{'} (a) = 3 \cdot \frac{a ^{3} - 13824}{a ^{2}} .$ Dla $a \in (0, 83]$ mamy $a < 24$ , więc $a^{3} < 13824$ , czyli licznik $a^{3} - 13824 < 0$ . Mianownik $a^{2} > 0$ , zatem $P^{'} (a) < 0 na ca ł ym (0, 83] .$ Funkcja $P$ jest więc malejąca na tym przedziale, a najmniejszą wartość osiąga na jego prawym końcu $a = 83$ .

Krok 6. Obliczamy najmniejsze pole

Podstawiamy $a = 83$ . Najpierw $(83)^{2} = 64 \cdot 3 = 192$ , więc pierwszy składnik: $\frac{a ^{2} 3}{2} = \frac{192 3}{2} = 963 .$ Drugi składnik: $\frac{13824 3}{8 3} = \frac{13824}{8} = 1728.$ Zatem $P (83) = 963 + 1728.$

Odpowiedź: najmniejsze pole całkowite otrzymujemy dla $a = 83$ i wynosi ono $963 + 1728$ .

Przeczytaj także

Zobacz wszystkie

Matematyka PR — Maj 2026

Arkusz maturalny z matematyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2026 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Matematyka PR — Maj 2025

Arkusz maturalny z matematyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2025 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Matematyka PR — Maj 2024 (Formuła 2015)

Arkusz maturalny z matematyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2024 (Formuła 2015, CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.