Matematyka PR — Maj 2023

Krok 1. Zapisujemy model ubytku masy

W chwili początkowej ($t=0$) masa substancji wynosi $4$ gramy. Kluczowa jest informacja, że po każdej dobie ubywa $19\%$ masy z końca doby poprzedniej. Skoro ubywa $19\%$, to zostaje $81\%$ dotychczasowej masy:

$100\%-19\%=81\%=0,81.$

Oznacza to, że masa na koniec każdej kolejnej doby to $0,81$ masy z poprzedniej doby. Mamy więc do czynienia z ciągiem geometrycznym o wyrazie początkowym $4$ i ilorazie $q=0,81$.

Krok 2. Wyprowadzamy wzór $m(t)$

Kolejne wartości masy wyglądają tak:

$m(0)=4,m(1)=4\cdot 0,81,m(2)=4\cdot 0,81^2,\dots$

Po $t$ pełnych dobach masa wynosi zatem

$m(t)=4\cdot 0,81^t,$

gdzie $t$ jest liczbą całkowitą nieujemną. Ponieważ $0<0,81<1$, ciąg ten jest malejący — masa z każdą dobą się zmniejsza.

Krok 3. Szukamy, kiedy masa po raz pierwszy spada poniżej $1,5$ grama

Chcemy znaleźć najmniejsze całkowite $t$, dla którego $m(t)<1,5$. Skoro ciąg jest malejący, wystarczy podstawiać kolejne wartości $t$ i sprawdzić, przy której masa przekroczy próg.

Dla $t=4$:

$m(4)=4\cdot 0,81^4\approx 4\cdot 0,43047\approx 1,72>1,5.$

Masa jest jeszcze większa od $1,5$ grama.

Dla $t=5$:

$m(5)=4\cdot 0,81^5\approx 4\cdot 0,34868\approx 1,39<1,5.$

Teraz masa jest już mniejsza od $1,5$ grama. Ponieważ dla $t=4$ warunek jeszcze nie był spełniony, a dla $t=5$ już jest, to po raz pierwszy masa spada poniżej $1,5$ grama po $5$ pełnych dobach.

Odpowiedź: Wzór masy to $m(t)=4\cdot 0,81^t$. Masa po raz pierwszy będzie mniejsza od $1,5$ grama po $5$ pełnych dobach.

Krok 1. Rozpoznajemy schemat Bernoulliego

Rozgrywanych jest $5$ niezależnych partii szachów, a w każdej pojedynczej partii Tomek wygrywa z tym samym prawdopodobieństwem $\frac{1}{4}$. Mamy więc ustaloną liczbę prób, dwa możliwe wyniki każdej próby (Tomek wygrywa albo nie) i stałe prawdopodobieństwo sukcesu — to klasyczny schemat Bernoulliego z parametrami:

$n=5,p=\frac{1}{4}\text{(sukces — wygrana Tomka)},q=1-p=\frac{3}{4}.$

Sukcesem nazywamy wygranie partii przez Tomka.

Krok 2. Rozpisujemy zdarzenie „co najmniej cztery wygrane"

Tomek wygrywa co najmniej cztery z pięciu partii, gdy wygra dokładnie $4$ partie albo dokładnie $5$ partii. Te dwa przypadki się wykluczają, więc prawdopodobieństwa dodajemy:

$P=P(4\text{sukcesy})+P(5\text{sukcesoˊw}).$

Korzystamy ze wzoru Bernoulliego $P(k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}$.

Krok 3. Obliczamy oba składniki

Dla dokładnie $4$ wygranych ($k=4$):

$P(4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^4{\left(\frac{3}{4}\right)}^1=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}.$

Dla dokładnie $5$ wygranych ($k=5$):

$P(5)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^5{\left(\frac{3}{4}\right)}^0=1\cdot \frac{1}{1024}\cdot 1=\frac{1}{1024}.$

Krok 4. Sumujemy i skracamy ułamek

$P=\frac{15}{1024}+\frac{1}{1024}=\frac{16}{1024}=\frac{1}{64}.$

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii wynosi $\frac{1}{64}$.

Krok 1. Wyznaczamy odciętą $x_0$ punktu $P$

Punkt $P=(x_0,3)$ leży na wykresie funkcji $f$, więc jego druga współrzędna to wartość funkcji w $x_0$:

$f(x_0)=3⟹\frac{3x_0^2-2x_0}{x_0^2+2x_0+8}=3.$

Zauważmy, że mianownik $x^2+2x+8$ nigdy nie jest zerem (wyróżnik $\Delta =4-32<0$), więc możemy bezpiecznie pomnożyć obie strony przez niego:

$3x_0^2-2x_0=3\left(x_0^2+2x_0+8\right).$

Rozwijamy prawą stronę:

$3x_0^2-2x_0=3x_0^2+6x_0+24.$

Wyrazy $3x_0^2$ się redukują, a po przeniesieniu reszty:

$-2x_0-6x_0=24⟹-8x_0=24⟹x_0=-3.$

Zatem $P=(-3,3)$.

Krok 2. Obliczamy pochodną funkcji $f$

Styczna do wykresu w punkcie $P$ ma współczynnik kierunkowy równy $f^{\prime }(x_0)$. Funkcja jest ilorazem, więc korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, gdzie

$u=3x^2-2x,u^{\prime }=6x-2,v=x^2+2x+8,v^{\prime }=2x+2.$

Stąd

$f^{\prime }(x)=\frac{(6x-2)(x^2+2x+8)-(3x^2-2x)(2x+2)}{(x^2+2x+8{)}^2}.$

Rozwijamy licznik. Najpierw pierwszy iloczyn:

$(6x-2)(x^2+2x+8)=6x^3+12x^2+48x-2x^2-4x-16=6x^3+10x^2+44x-16.$

Teraz drugi iloczyn:

$(3x^2-2x)(2x+2)=6x^3+6x^2-4x^2-4x=6x^3+2x^2-4x.$

Odejmujemy:

$6x^3+10x^2+44x-16-\left(6x^3+2x^2-4x\right)=8x^2+48x-16.$

Zatem

$f^{\prime }(x)=\frac{8x^2+48x-16}{(x^2+2x+8{)}^2}.$

Krok 3. Obliczamy współczynnik kierunkowy stycznej

Podstawiamy $x=-3$. Licznik:

$8\cdot (-3{)}^2+48\cdot (-3)-16=8\cdot 9-144-16=72-144-16=-88.$

Mianownik:

${\left((-3{)}^2+2\cdot (-3)+8\right)}^2=(9-6+8{)}^2=11^2=121.$

Stąd

$a=f^{\prime }(-3)=\frac{-88}{121}=-\frac{8}{11}.$

Krok 4. Wyznaczamy równanie stycznej

Styczna ma postać $y=ax+b$, gdzie $a=-\frac{8}{11}$. Współczynnik $b$ wyznaczamy z warunku, że prosta przechodzi przez $P=(-3,3)$:

$3=-\frac{8}{11}\cdot (-3)+b⟹3=\frac{24}{11}+b⟹b=3-\frac{24}{11}=\frac{33-24}{11}=\frac{9}{11}.$

Odpowiedź: $x_0=-3$, a styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P=(-3,3)$ ma równanie $y=-\frac{8}{11}x+\frac{9}{11}$.

Krok 1. Przekształcamy nierówność do wygodnej postaci

Z założeń wiemy, że $x+y=4$ oraz

$x^3-x^{2}y\le x{y}^2-y^3.$

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, aby po prawej został $0$:

$x^3-x^{2}y-x{y}^2+y^3\le 0.$

Krok 2. Rozkładamy lewą stronę na czynniki

Grupujemy wyrazy parami — pierwsze dwa i ostatnie dwa:

$\underset{x^2(x-y)}{\underbrace{x^3-x^{2}y}}\underset{-y^2(x-y)}{\underbrace{-x{y}^2+y^3}}\le 0,$

czyli

$x^2(x-y)-y^2(x-y)\le 0.$

Wyłączamy wspólny czynnik $(x-y)$:

$(x-y)\left(x^2-y^2\right)\le 0.$

Wyrażenie $x^2-y^2$ to różnica kwadratów, więc $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Podstawiając:

$(x-y)(x-y)(x+y)\le 0,\text{czyli}(x+y)(x-y{)}^2\le 0.$

Krok 3. Wykorzystujemy warunek $x+y=4$

Podstawiamy $x+y=4$:

$4(x-y{)}^2\le 0.$

Wyrażenie $(x-y{)}^2$ jest kwadratem liczby rzeczywistej, więc jest zawsze nieujemne: $(x-y{)}^2\ge 0$. Wtedy również $4(x-y{)}^2\ge 0$. Jednocześnie z nierówności mamy $4(x-y{)}^2\le 0$. Obie te informacje mogą być prawdziwe tylko wtedy, gdy

$4(x-y{)}^2=0⟹(x-y{)}^2=0⟹x-y=0⟹x=y.$

Krok 4. Wyznaczamy $x$ i $y$

Mamy $x=y$ oraz $x+y=4$. Podstawiając $y=x$:

$x+x=4⟹2x=4⟹x=2,$

a stąd $y=2$. To kończy dowód.

Odpowiedź: Z założeń wynika, że $(x+y)(x-y{)}^2\le 0$, a ponieważ $x+y=4>0$, musi być $(x-y{)}^2=0$, czyli $x=y$; wraz z $x+y=4$ daje to $x=2$ i $y=2$.

Krok 1. Opisujemy sytuację i wyznaczamy kąty w trójkącie $DAB$

Mamy trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC|=90^{\circ }$ oraz $|\angle CAB|=60^{\circ }$. Wysokość $BD$ opuszczona z wierzchołka kąta prostego $B$ na przeciwprostokątną $AC$ jest do niej prostopadła, więc $|\angle BDA|=90^{\circ }$.

Rozważmy trójkąt $DAB$. Jego kąty to:

• $|\angle BDA|=90^{\circ }$ (bo $BD\perp AC$),
• $|\angle DAB|=60^{\circ }$ (to ten sam kąt co $\angle CAB$),
• a zatem $|\angle DBA|=180^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$.

Krok 2. Obliczamy długości $|AB|$ i $|BD|$

W trójkącie prostokątnym $DAB$ (kąt prosty przy $D$) przyprostokątna $AD$ przylega do kąta $60^{\circ }$, a przeciwprostokątną jest $AB$. Zatem $\cos 60^{\circ }=\frac{|AD|}{|AB|}\Rightarrow |AB|=\frac{|AD|}{\cos 60^{\circ }}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4.$ Drugą przyprostokątną liczymy z tangensa kąta $60^{\circ }$: $\tan 60^{\circ }=\frac{|BD|}{|AD|}\Rightarrow |BD|=|AD|\cdot \tan 60^{\circ }=2\sqrt{3}.$ Zapamiętujemy wynik, który przyda się na końcu: $|BD|=2\sqrt{3}$.

Krok 3. Wyznaczamy kąty, na jakie wysokość $BD$ dzieli kąt prosty przy $B$

Z Kroku 1 wiemy, że $|\angle DBA|=30^{\circ }$. Ponieważ cały kąt $\angle ABC$ jest prosty, a $BD$ leży wewnątrz niego, to $|\angle DBC|=|\angle ABC|-|\angle DBA|=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$ Punkt $K$ leży na $AB$, a punkt $L$ na $BC$, więc półprosta $BK$ pokrywa się z $BA$, a półprosta $BL$ z $BC$. Odcinek $BN$ leży na wysokości $BD$ (bo $N\in BD$). Stąd kąty, na jakie $BN$ dzieli kąt $\angle KBL=90^{\circ }$, wynoszą: $|\angle KBN|=30^{\circ },|\angle NBL|=60^{\circ }.$

Krok 4. Rozbijamy pole trójkąta $KBL$ na dwa trójkąty

Trójkąt $KBL$ ma kąt prosty przy $B$ (bo $\angle KBL=\angle ABC=90^{\circ }$) oraz ramiona $|BK|=|BL|=1$, więc jego pole to $P_{KBL}=\frac{1}{2}\cdot |BK|\cdot |BL|=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}.$ Punkt $N$ leży na odcinku $KL$, zatem odcinek $BN$ dzieli trójkąt $KBL$ na dwa trójkąty: $KBN$ oraz $BLN$, których pola sumują się do pola całości: $P_{KBL}=P_{KBN}+P_{BLN}.$ Korzystając ze wzoru na pole $P=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$ z kątem między bokami: $P_{KBN}=\frac{1}{2}|BK||BN|\sin 30^{\circ },P_{BLN}=\frac{1}{2}|BL||BN|\sin 60^{\circ }.$

Krok 5. Wyznaczamy $|BN|$

Podstawiamy $|BK|=|BL|=1$, $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $P_{KBL}=\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2}|BN|\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}|BN|\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}.$ Wyłączamy $\frac{1}{2}|BN|$ przed nawias: $\frac{1}{2}|BN|\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow |BN|\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{4}=\frac{1}{2}.$ Stąd $|BN|=\frac{2}{\sqrt{3}+1}.$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{3}-1$: $|BN|=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1.$

Krok 6. Obliczamy $|ND|$

Punkt $N$ leży na wysokości $BD$ pomiędzy $B$ a $D$, więc $|ND|=|BD|-|BN|=2\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+1=\sqrt{3}+1.$ To właśnie mieliśmy wykazać.

Odpowiedź: $|ND|=\sqrt{3}+1$.

Krok 1. Zapisujemy prawą stronę przez sinus sumy

Rozwiązujemy równanie $4\sin (4x)\cos (6x)=2\sin (10x)+1.$ Zauważmy, że $10x=6x+4x$, więc składnik $\sin (10x)$ możemy rozpisać wzorem na sinus sumy: $\sin (10x)=\sin (6x+4x)=\sin (6x)\cos (4x)+\cos (6x)\sin (4x).$ Zatem $2\sin (10x)=2\sin (6x)\cos (4x)+2\cos (6x)\sin (4x).$

Krok 2. Podstawiamy i porządkujemy równanie

Wstawiamy to do równania: $4\sin (4x)\cos (6x)=2\sin (6x)\cos (4x)+2\cos (6x)\sin (4x)+1.$ Po prawej stronie mamy składnik $2\cos (6x)\sin (4x)$, a po lewej $4\sin (4x)\cos (6x)$. Przenosimy $2\cos (6x)\sin (4x)$ na lewą stronę: $4\sin (4x)\cos (6x)-2\cos (6x)\sin (4x)=2\sin (6x)\cos (4x)+1,$ $2\sin (4x)\cos (6x)=2\sin (6x)\cos (4x)+1.$ Przenosimy jeszcze $2\sin (6x)\cos (4x)$ na lewą stronę: $2\sin (4x)\cos (6x)-2\sin (6x)\cos (4x)=1.$

Krok 3. Zwijamy lewą stronę wzorem na sinus różnicy

Wyłączamy $2$ przed nawias: $2(\sin (4x)\cos (6x)-\sin (6x)\cos (4x))=1.$ Wyrażenie w nawiasie to $\sin (4x)\cos (6x)-\cos (6x)\sin (4x)$... dokładniej $\sin (4x)\cos (6x)-\cos (4x)\sin (6x)=\sin (4x-6x)=\sin (-2x)$. A ponieważ sinus jest funkcją nieparzystą, $\sin (-2x)=-\sin (2x)$. Zatem $2\cdot (-\sin (2x))=1\Rightarrow -2\sin (2x)=1\Rightarrow \sin (2x)=-\frac{1}{2}.$

Krok 4. Rozwiązujemy równanie podstawowe $\sin (2x)=-\frac{1}{2}$

Szukamy wszystkich kątów, których sinus wynosi $-\frac{1}{2}$. Odpowiadają im dwie serie rozwiązań (kąty w III i IV ćwiartce). Wygodnie zapisać je za pomocą wartości dodatnich: $2x=\pi +\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{lub}2x=2\pi -\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z},$ czyli $2x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \text{lub}2x=\frac{11\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Krok 5. Wyznaczamy $x$

Dzielimy obie strony każdej serii przez $2$: $x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \text{lub}x=\frac{11\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$ Równanie nie ma ograniczenia do przedziału, więc podajemy pełne serie rozwiązań.

Odpowiedź: $x=\frac{7\pi }{12}+k\pi$ lub $x=\frac{11\pi }{12}+k\pi$, gdzie $k\in \mathbb{Z}$.

Krok 1. Ustalamy dane i szukaną wielkość

Mamy sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $6$. Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $AH$ i $DE$ ściany bocznej $ADHE$, czyli środkiem tej kwadratowej ściany — a więc jednocześnie środkiem przekątnej $AH$. Szukamy wysokości trójkąta $SBH$ poprowadzonej z wierzchołka $S$ na bok $BH$; oznaczmy ją $|SP|$, gdzie $P$ to spodek tej wysokości na $BH$.

Krok 2. Obliczamy potrzebne odcinki

Ściana $ADHE$ jest kwadratem o boku $6$, więc jej przekątna $|AH|=6\sqrt{2}.$ Ponieważ $S$ jest środkiem $AH$: $|HS|=\frac{1}{2}|AH|=3\sqrt{2}.$ Odcinek $BH$ jest przekątną przestrzenną sześcianu, więc $|BH|=6\sqrt{3}.$

Krok 3. Uzasadniamy, że trójkąt $HAB$ jest prostokątny

Krawędź $AB$ jest prostopadła do ściany $ADHE$ (w sześcianie krawędź wychodząca z wierzchołka jest prostopadła do przylegającej ściany). Skoro $AB$ jest prostopadła do całej płaszczyzny ściany $ADHE$, to jest prostopadła do każdej prostej leżącej w tej ścianie, w szczególności do przekątnej $AH$. Zatem $AB\perp AH,$ więc trójkąt $HAB$ ma kąt prosty przy wierzchołku $A$. Jego przyprostokątne to $|AH|=6\sqrt{2}$ oraz $|AB|=6$, a przeciwprostokątna to $|HB|=6\sqrt{3}$ (co można też sprawdzić: $\sqrt{(6\sqrt{2}{)}^2+6^2}=\sqrt{72+36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$).

Krok 4. Obliczamy pole trójkąta $HSB$ przez pole trójkąta $HAB$

Pole trójkąta prostokątnego $HAB$ liczymy z przyprostokątnych: $P_{HAB}=\frac{1}{2}\cdot |AH|\cdot |AB|=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 6=18\sqrt{2}.$ Punkt $S$ jest środkiem boku $AH$. Trójkąty $HSB$ i $HAB$ mają wspólny wierzchołek $B$, a podstawy $HS$ i $HA$ leżą na tej samej prostej, przy czym $|HS|=\frac{1}{2}|HA|$. Trójkąty o wspólnej wysokości (z $B$ na prostą $AH$) i podstawie o połowę krótszej mają połowę pola: $P_{HSB}=\frac{1}{2}{P}_{HAB}=\frac{1}{2}\cdot 18\sqrt{2}=9\sqrt{2}.$

Krok 5. Wyznaczamy wysokość $|SP|$

To samo pole trójkąta $HSB$ możemy zapisać, przyjmując za podstawę bok $BH$, a za wysokość szukany odcinek $|SP|$: $P_{HSB}=\frac{1}{2}\cdot |BH|\cdot |SP|=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot |SP|=3\sqrt{3}|SP|.$ Porównujemy oba wyrażenia na pole: $3\sqrt{3}|SP|=9\sqrt{2}\Rightarrow |SP|=\frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$ Usuwamy niewymierność z mianownika: $|SP|=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}.$

Krok 6. (Sprawdzenie) Długość $|SB|$

Dla pewności policzmy $|SB|$. Punkt $S$ to środek $AH$, a odcinek $AS$ leży w ścianie $ADHE$, więc jak w Kroku 3 $AB\perp AS$, czyli trójkąt $SAB$ jest prostokątny przy $A$ z przyprostokątnymi $|AS|=3\sqrt{2}$ i $|AB|=6$: $|SB|=\sqrt{(3\sqrt{2}{)}^2+6^2}=\sqrt{18+36}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}.$ Wynik jest zgodny z kluczem, co potwierdza poprawność obliczeń.

Odpowiedź: wysokość trójkąta $SBH$ poprowadzona z $S$ na bok $BH$ ma długość $|SP|=\sqrt{6}$.

Krok 1. Rozpisujemy dane w trójkącie $ABC$

Przekątna $AC$ dzieli czworokąt na dwa trójkąty. Skupmy się na trójkącie $ABC$, bo znamy w nim aż trzy informacje:

• kąt między przekątną $AC$ a bokiem $BC$ wynosi $\angle BCA=60°$,
• kąt między przekątną $AC$ a bokiem $AB$ to $\angle BAC=\alpha$, przy czym $\sin \alpha =\frac{1}{4}$,
• bok $|BC|=4$.

Zauważmy, że bok $BC$ leży naprzeciw kąta $\alpha$ (bo kąt $\alpha$ jest przy wierzchołku $A$), a szukany bok $AB$ leży naprzeciw kąta $\angle BCA=60°$. To ustawienie aż prosi się o twierdzenie sinusów.

Krok 2. Twierdzenie sinusów — obliczamy $|AB|$

Zgodnie z twierdzeniem sinusów bok podzielony przez sinus kąta leżącego naprzeciw jest stały:

$\frac{|AB|}{\sin \angle BCA}=\frac{|BC|}{\sin \angle BAC}.$

Podstawiamy $\angle BCA=60°$, $|BC|=4$ oraz $\sin \alpha =\frac{1}{4}$:

$\frac{|AB|}{\sin 60°}=\frac{4}{\frac{1}{4}}=16.$

Stąd

$|AB|=16\sin 60°=16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}.$

Mamy już drugi bok czworokąta.

Krok 3. Korzystamy z tego, że czworokąt jest opisany na okręgu

Tu wchodzi kluczowa własność: w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe. Dla czworokąta $ABCD$ oznacza to

$|AB|+|CD|=|BC|+|AD|.$

Dzięki temu obwód da się zapisać sprytnie, bez obliczania każdego boku z osobna.

Krok 4. Składamy obwód

Obwód to suma wszystkich czterech boków. Pogrupujmy je w pary przeciwległych:

$\text{Obw}=|AB|+|BC|+|CD|+|AD|=(|AB|+|CD|)+(|BC|+|AD|).$

A skoro obie te sumy są równe, to obwód jest po prostu podwojoną wartością jednej z nich:

$\text{Obw}=2(|AB|+|CD|).$

Znamy $|AB|=8\sqrt{3}$ oraz $|CD|=5$, więc

$\text{Obw}=2(8\sqrt{3}+5)=16\sqrt{3}+10.$

Odpowiedź: Obwód czworokąta $ABCD$ wynosi $16\sqrt{3}+10$.

Krok 1. Upraszczamy wyrażenia pod pierwiastkami

Oba wyrażenia pod pierwiastkami to pełne kwadraty. Rozpoznajmy je:

$x^2+4x+4=(x+2{)}^2,x^2-6x+9=(x-3{)}^2.$

Pamiętając, że $\sqrt{t^2}=|t|$ (pierwiastek daje wartość nieujemną!), otrzymujemy

$\sqrt{x^2+4x+4}=|x+2|,\sqrt{x^2-6x+9}=|x-3|.$

Nierówność przybiera postać

$|x+2|<\frac{25}{3}-|x-3|.$

Krok 2. Ustalamy progi i dzielimy oś na przedziały

Wartość bezwzględna „przełącza się" tam, gdzie wyrażenie w środku zmienia znak. Dla $|x+2|$ progiem jest $x=-2$, dla $|x-3|$ prog to $x=3$. Rozbijamy oś liczbową na trzy przedziały i w każdym rozpisujemy moduły bez znaku wartości bezwzględnej.

Krok 3. Przypadek 1: $x<-2$

Wtedy $x+2<0$, więc $|x+2|=-(x+2)$, oraz $x-3<0$, więc $|x-3|=-(x-3)$. Nierówność:

$-(x+2)<\frac{25}{3}-(-(x-3))=\frac{25}{3}+x-3.$

Stąd

$-x-2<\frac{25}{3}+x-3.$

Przenosimy $x$-y na lewo, liczby na prawo:

$-2x<\frac{25}{3}-3+2=\frac{25}{3}-1=\frac{22}{3}.$

Dzielimy przez $-2$ (znak nierówności się odwraca):

$x>-\frac{11}{3}.$

Część wspólna z założeniem $x<-2$ daje $x\in \left(-\frac{11}{3},-2\right)$.

Krok 4. Przypadek 2: $-2\le x<3$

Teraz $x+2\ge 0$, więc $|x+2|=x+2$, ale $x-3<0$, więc $|x-3|=-(x-3)$. Nierówność:

$x+2<\frac{25}{3}-(-(x-3))=\frac{25}{3}+x-3.$

Odejmujemy $x$ od obu stron — znika:

$2<\frac{25}{3}-3=\frac{16}{3}.$

To jest zdanie zawsze prawdziwe (bo $\frac{16}{3}\approx 5,33$), niezależne od $x$. Zatem cały rozważany przedział spełnia nierówność: $x\in [-2,3)$.

Krok 5. Przypadek 3: $x\ge 3$

Teraz oba wyrażenia są nieujemne: $|x+2|=x+2$ oraz $|x-3|=x-3$. Nierówność:

$x+2<\frac{25}{3}-(x-3)=\frac{25}{3}-x+3.$

Przenosimy $x$-y na lewo:

$2x<\frac{25}{3}+3-2=\frac{25}{3}+1=\frac{28}{3}.$

Dzielimy przez $2$:

$x<\frac{14}{3}.$

Część wspólna z założeniem $x\ge 3$ (zauważmy $\frac{14}{3}\approx 4,67>3$) daje $x\in \left[3,\frac{14}{3}\right)$.

Krok 6. Łączymy wyniki

Rozwiązaniem całej nierówności jest suma trzech otrzymanych zbiorów:

$\left(-\frac{11}{3},-2\right)\cup [-2,3)\cup \left[3,\frac{14}{3}\right).$

Te przedziały stykają się dokładnie w punktach $-2$ i $3$ (które należą do zbioru), więc sklejają się w jeden przedział:

$x\in \left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right).$

Odpowiedź: $x\in \left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right)$.

Krok 1. Rozumiemy konstrukcję kwadratów

Kwadrat $K_1$ ma bok $a$. Kolejny kwadrat $K_2$ jest wpisany w $K_1$ tak, że każdy jego wierzchołek leży na boku $K_1$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$. Bok $K_1$ ma długość $a$, więc punkt podziału dzieli go na dwa odcinki:

$\frac{1}{1+3}\cdot a=\frac{a}{4}\text{oraz}\frac{3}{1+3}\cdot a=\frac{3a}{4}.$

Krok 2. Obliczamy bok kwadratu $K_2$

Przy każdym wierzchołku $K_1$ powstaje mały trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne to właśnie odcinki $\frac{a}{4}$ i $\frac{3a}{4}$ (odcięte na dwóch sąsiednich bokach). Bok kwadratu $K_2$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Z twierdzenia Pitagorasa:

$a_2=\sqrt{{\left(\frac{a}{4}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{16}+\frac{9a^2}{16}}=\sqrt{\frac{10a^2}{16}}=\frac{\sqrt{10}}{4}a.$

Krok 3. Znajdujemy iloraz ciągu geometrycznego

Z konstrukcji wynika, że każdy kolejny kwadrat powstaje z poprzedniego tak samo, więc boki (a więc i obwody) tworzą ciąg geometryczny o ilorazie

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{4}a}{a}=\frac{\sqrt{10}}{4}.$

Sprawdźmy, czy suma nieskończona istnieje — potrzebujemy $|q|<1$. Ponieważ $\sqrt{10}\approx 3,16<4$, mamy $q\approx 0,79<1$, więc ciąg jest zbieżny i suma istnieje.

Krok 4. Zapisujemy ciąg obwodów

Obwód kwadratu to czterokrotność boku. Pierwszy obwód:

$L_1=4a.$

Kolejne obwody powstają przez mnożenie przez ten sam iloraz $q=\frac{\sqrt{10}}{4}$ (mnożenie boku przez $q$ mnoży też obwód przez $q$). Mamy więc nieskończony ciąg geometryczny $L_1,L_{1}q,L_1{q}^2,\dots$

Krok 5. Sumujemy szereg geometryczny

Korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego $L=\frac{L_1}{1-q}$:

$L=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}=\frac{4a}{\frac{4-\sqrt{10}}{4}}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}.$

Krok 6. Usuwamy niewymierność z mianownika

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie $4+\sqrt{10}$:

$L=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}\cdot \frac{4+\sqrt{10}}{4+\sqrt{10}}=\frac{16a(4+\sqrt{10})}{4^2-(\sqrt{10}{)}^2}=\frac{16a(4+\sqrt{10})}{16-10}=\frac{16a(4+\sqrt{10})}{6}.$

Skracamy $\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$:

$L=\frac{8(4+\sqrt{10})a}{3}.$

Odpowiedź: Suma wszystkich obwodów wynosi $L=\frac{8(4+\sqrt{10})a}{3}$.

Krok 1. Kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste?

Rozważamy równanie kwadratowe $x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0,m\ne 2.$ Aby miało dwa różne rozwiązania rzeczywiste, jego wyróżnik musi być dodatni: $\Delta >0$. Tutaj $a=1$, $b=4$, $c=-\frac{m-3}{m-2}$, więc $\Delta =b^2-4ac=16-4\cdot \left(-\frac{m-3}{m-2}\right)=16+\frac{4(m-3)}{m-2}.$ Sprowadzam do wspólnego mianownika: $\Delta =\frac{16(m-2)+4(m-3)}{m-2}=\frac{16m-32+4m-12}{m-2}=\frac{20m-44}{m-2}.$

Krok 2. Rozwiązanie nierówności $\Delta >0$

Chcemy $\frac{20m-44}{m-2}>0$. Ułamek jest dodatni, gdy licznik i mianownik mają ten sam znak, co jest równoważne nierówności iloczynowej $(20m-44)(m-2)>0.$ Wyłączam $20$: $20\left(m-\frac{11}{5}\right)(m-2)>0$, czyli $\left(m-\frac{11}{5}\right)(m-2)>0$. Miejsca zerowe to $m=\frac{11}{5}=2,2$ oraz $m=2$. Parabola o ramionach w górę jest dodatnia poza pierwiastkami, więc $m\in (-\infty ,2)\cup \left(\frac{11}{5},+\infty \right).(\text{ETAP I})$

Krok 3. Warunek $x_1^3+x_2^3>-28$ przez wzory Viète'a

Z wzorów Viète'a dla naszego równania: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-4,x_1{x}_2=\frac{c}{a}=-\frac{m-3}{m-2}.$ Korzystam z tożsamości $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2).$ Podstawiam: $x_1^3+x_2^3=(-4{)}^3-3\cdot \left(-\frac{m-3}{m-2}\right)\cdot (-4).$ Uwaga na znaki: $-3\cdot \left(-\frac{m-3}{m-2}\right)\cdot (-4)=-3\cdot \frac{4(m-3)}{m-2}=-\frac{12(m-3)}{m-2}$. Zatem $x_1^3+x_2^3=-64-\frac{12(m-3)}{m-2}.$

Krok 4. Rozwiązanie nierówności na sześciany

Żądamy $x_1^3+x_2^3>-28$: $-64-\frac{12(m-3)}{m-2}>-28.$ Przenoszę $-64$ na prawą stronę: $-\frac{12(m-3)}{m-2}>36.$ Dzielę obie strony przez $-12$ (liczba ujemna — zmieniam znak nierówności): $\frac{m-3}{m-2}<-3.$ Przenoszę wszystko na lewo i sprowadzam do wspólnego mianownika: $\frac{m-3}{m-2}+3<0⟺\frac{m-3+3(m-2)}{m-2}<0⟺\frac{4m-9}{m-2}<0.$ To równoważne nierówności iloczynowej $(4m-9)(m-2)<0$, o pierwiastkach $m=\frac{9}{4}=2,25$ i $m=2$. Parabola o ramionach w górę jest ujemna między pierwiastkami: $m\in \left(2,\frac{9}{4}\right).(\text{ETAP II})$

Krok 5. Część wspólna warunków

Muszą zachodzić jednocześnie oba warunki, więc biorę przekrój: $\left[(-\infty ,2)\cup \left(\frac{11}{5},+\infty \right)\right]\cap \left(2,\frac{9}{4}\right).$ Zauważmy, że $\frac{11}{5}=2,2$, a $\frac{9}{4}=2,25$. Przedział $(2;2,25)$ przecina się ze zbiorem z ETAPU I dopiero od $2,2$ w górę (część $(-\infty ,2)$ nic nie wnosi, bo $2\notin (2;2,25)$). Wspólna część to $\left(\frac{11}{5},\frac{9}{4}\right).$

Odpowiedź: $m\in \left(\frac{11}{5},\frac{9}{4}\right)$.

Krok 1. Co mamy pokazać

Mamy wykazać, że dla każdego $x>0$ $81^{{\log }_{3}x}+\frac{2\cdot {\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x=x^4+x^2-6x.$ Wystarczy uprościć osobno pierwszy składnik oraz współczynnik przy $x^2$; wyraz $-6x$ jest po obu stronach taki sam.

Krok 2. Uproszczenie $81^{{\log }_{3}x}$

Zauważam, że $81=3^4$. Zatem $81^{{\log }_{3}x}={\left(3^4\right)}^{{\log }_{3}x}=3^{4{\log }_{3}x}={\left(3^{{\log }_{3}x}\right)}^4.$ Korzystam z podstawowej tożsamości logarytmicznej $3^{{\log }_{3}x}=x$ (dla $x>0$), więc $81^{{\log }_{3}x}=x^4.$

Krok 3. Uproszczenie współczynnika przy $x^2$

Najpierw ${\log }_2\sqrt{27}$. Mamy $\sqrt{27}=27^{1/2}=(3^3{)}^{1/2}$, więc ${\log }_2\sqrt{27}=\frac{1}{2}{\log }_{2}27=\frac{1}{2}{\log }_2{3}^3=\frac{1}{2}\cdot 3{\log }_{2}3=\frac{3}{2}{\log }_{2}3.$ Podstawiam do współczynnika: $\frac{2\cdot {\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}{\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2.$

Krok 4. Iloczyn ${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2$

Ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu: ${\log }_{3}2=\frac{1}{{\log }_{2}3}$. Zatem ${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2={\log }_{2}3\cdot \frac{1}{{\log }_{2}3}=1.$ Współczynnik przy $x^2$ wynosi więc $1$.

Krok 5. Złożenie

Po podstawieniu wyników z kroków 2 i 4 lewa strona przyjmuje postać $x^4+1\cdot x^2-6x=x^4+x^2-6x,$ co jest dokładnie prawą stroną. Równość zachodzi dla każdego $x>0$.

Krok 1. Pochodna funkcji

Badamy funkcję $f(x)=x^4+x^2-6x$ dla $x>0$. Liczę pochodną: $f^{\prime }(x)=4x^3+2x-6.$

Krok 2. Miejsca zerowe pochodnej

Rozwiązuję $f^{\prime }(x)=0$, czyli $4x^3+2x-6=0$. Sprawdzam $x=1$: $4\cdot 1+2\cdot 1-6=0$ — więc $x=1$ jest pierwiastkiem. Wyłączam czynnik $(x-1)$, grupując: $4x^3+2x-6=4(x^3-1)+2(x-1)=4(x-1)(x^2+x+1)+2(x-1).$ Wyłączam wspólny czynnik $(x-1)$: $=(x-1)(4(x^2+x+1)+2)=(x-1)(4x^2+4x+6).$ Czynnik kwadratowy $4x^2+4x+6$ ma wyróżnik $\Delta =16-4\cdot 4\cdot 6=16-96=-80<0$ i dodatni współczynnik przy $x^2$, więc jest dodatni dla każdego $x$. Stąd $f^{\prime }(x)=0⟺x=1.$

Krok 3. Znak pochodnej i rodzaj ekstremum

Ponieważ $4x^2+4x+6>0$ zawsze, o znaku $f^{\prime }(x)$ decyduje czynnik $(x-1)$:

• dla $x\in (0,1)$: $x-1<0$, więc $f^{\prime }(x)<0$ — funkcja maleje,
• dla $x\in (1,+\infty )$: $x-1>0$, więc $f^{\prime }(x)>0$ — funkcja rośnie.

Funkcja najpierw maleje, potem rośnie, zatem w $x=1$ przyjmuje minimum globalne na przedziale $(0,+\infty )$.

Krok 4. Wartość najmniejsza

$f(1)=1^4+1^2-6\cdot 1=1+1-6=-4.$

Odpowiedź: najmniejsza wartość funkcji $f$ wynosi $-4$ (przyjmowana dla $x=1$).