Matematyka PR — Maj 2022

Krok 1. Uprościmy każdy logarytm osobno

Zacznijmy od pierwszego składnika. Pierwiastek zapisujemy jako potęgę o wykładniku $\frac{1}{2}$, a $27=3^3$:

${\log }_3\sqrt{27}={\log }_{3}27^{1/2}={\log }_3{3}^{3/2}.$

Korzystamy z własności ${\log }_a{a}^w=w$:

${\log }_3{3}^{3/2}=\frac{3}{2}.$

Krok 2. Drugi logarytm

Teraz ${\log }_{27}\sqrt{3}$. Podstawą jest $27=3^3$, a liczbą logarytmowaną $\sqrt{3}=3^{1/2}$. Wygodnie sprowadzić wszystko do potęg trójki i skorzystać ze wzoru ${\log }_{a^m}{a}^k=\frac{k}{m}$:

${\log }_{27}\sqrt{3}={\log }_{3^3}{3}^{1/2}=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}.$

(Można to też sprawdzić z definicji: szukamy $x$ takiego, że $27^x=\sqrt{3}$, czyli $3^{3x}=3^{1/2}$, stąd $3x=\frac{1}{2}$ i $x=\frac{1}{6}$.)

Krok 3. Odejmujemy

${\log }_3\sqrt{27}-{\log }_{27}\sqrt{3}=\frac{3}{2}-\frac{1}{6}.$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika $6$:

$\frac{3}{2}-\frac{1}{6}=\frac{9}{6}-\frac{1}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$

Odpowiedź: $\frac{4}{3}$ — poprawna jest odpowiedź A.

Krok 1. Zauważmy, że wyrażenie się upraszcza

Zanim policzymy pochodną, warto uprościć wzór funkcji. W liczniku mamy różnicę sześcianów, którą rozkładamy według wzoru $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Tu $a=x$, $b=2$:

$x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4).$

Dzięki temu dla $x\ne 2$ możemy skrócić czynnik $(x-2)$:

$f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=x^2+2x+4.$

Ta uproszczona postać obowiązuje dla wszystkich $x\ne 2$, a nas interesuje $x=\frac{1}{2}$, więc możemy z niej spokojnie skorzystać. To zdecydowanie prostsze niż różniczkowanie ilorazu.

Krok 2. Liczymy pochodną

Różniczkujemy wielomian $f(x)=x^2+2x+4$ wyraz po wyrazie:

$f^{\prime }(x)=2x+2.$

Krok 3. Podstawiamy $x=\frac{1}{2}$

$f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}+2=1+2=3.$

Odpowiedź: $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=3$ — poprawna jest odpowiedź C.

Krok 1. Wybieramy właściwy wzór

Mamy policzyć $\sin \left(\beta -\frac{\pi }{3}\right)$. Korzystamy ze wzoru na sinus różnicy kątów:

$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y.$

Dla $x=\beta$, $y=\frac{\pi }{3}$ dostajemy:

$\sin \left(\beta -\frac{\pi }{3}\right)=\sin \beta \cos \frac{\pi }{3}-\cos \beta \sin \frac{\pi }{3}.$

Znamy wartości dla kąta $\frac{\pi }{3}$ (czyli $60^{\circ }$): $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ oraz $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Brakuje nam jeszcze $\sin \beta$.

Krok 2. Wyznaczamy $\sin \beta$ z jedynki trygonometrycznej

Mamy dane $\cos \beta =-\frac{1}{3}$. Z tożsamości ${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$:

${\sin }^2\beta =1-{\cos }^2\beta =1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.$

Stąd:

$|\sin \beta |=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

Krok 3. Ustalamy znak sinusa (ćwiartka!)

To kluczowy moment. Kąt $\beta$ leży w przedziale $\left(\pi ,\frac{3}{2}\pi \right)$, czyli w III ćwiartce. W III ćwiartce sinus jest ujemny, więc bierzemy znak minus:

$\sin \beta =-\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

(Zgadza się to też z danym cosinusem, który w III ćwiartce jest ujemny — dane są spójne.)

Krok 4. Wstawiamy wszystko do wzoru

$\sin \left(\beta -\frac{\pi }{3}\right)=\underset{\sin \beta }{\underbrace{\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}}\cdot \underset{\cos \frac{\pi }{3}}{\underbrace{\frac{1}{2}}}-\underset{\cos \beta }{\underbrace{\left(-\frac{1}{3}\right)}}\cdot \underset{\sin \frac{\pi }{3}}{\underbrace{\frac{\sqrt{3}}{2}}}.$

Liczymy każdy składnik:

$=-\frac{2\sqrt{2}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}=-\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6}.$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika $6$ (zauważ, że $\frac{2\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{3}$):

$=\frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}.$

Odpowiedź: $\sin \left(\beta -\frac{\pi }{3}\right)=\frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$ — poprawna jest odpowiedź A.

Krok 1. Opisujemy doświadczenie

Doświadczenie ma dwa etapy. Najpierw rzucamy monetą, co decyduje, z której urny losujemy:

• wynik reszka $\Rightarrow$ losujemy z urny I, prawdopodobieństwo $\frac{1}{2}$,
• wynik orzeł $\Rightarrow$ losujemy z urny II, prawdopodobieństwo $\frac{1}{2}$.

Dopiero potem z wybranej urny losujemy jedną kulę. Interesuje nas zdarzenie $B$: „wylosowano kulę białą".

Krok 2. Prawdopodobieństwa wylosowania białej w każdej urnie

W każdej urnie jest łącznie $7$ kul.

• Urna I: $1$ biała na $7$ kul, więc $P(B|\text{urna I})=\frac{1}{7}$.
• Urna II: $4$ białe na $7$ kul, więc $P(B|\text{urna II})=\frac{4}{7}$.

Krok 3. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite

Zdarzenie „biała kula" może zajść na dwa rozłączne sposoby: przez urnę I albo przez urnę II. Prawdopodobieństwo każdej z tych dróg to iloczyn prawdopodobieństwa wyboru urny i wylosowania z niej białej kuli:

$P(B)=P(\text{urna I})\cdot P(B|\text{urna I})+P(\text{urna II})\cdot P(B|\text{urna II}).$

Podstawiamy:

$P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{7}+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{7}=\frac{1}{14}+\frac{4}{14}=\frac{5}{14}.$

Odpowiedź: $P(B)=\frac{5}{14}$ — poprawna jest odpowiedź A.

Krok 1. Zapisz, co trzeba obliczyć

Dany jest ciąg $a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p},p>0.$ Mamy znaleźć taką wartość parametru $p$, żeby $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\frac{4}{3}$.

Krok 2. Jak liczy się granicę ilorazu wielomianów

Zarówno w liczniku, jak i w mianowniku najwyższą potęgą jest $n^3$. Standardowa sztuczka: dzielimy licznik i mianownik przez tę najwyższą potęgę, czyli przez $n^3$: $a_n=\frac{(7p-1)+\frac{5p}{n^2}-\frac{3}{n^3}}{(p+1)+\frac{1}{n}+\frac{p}{n^3}}.$

Krok 3. Dlaczego pozostałe wyrazy „znikają"

Gdy $n\to \infty$, każde wyrażenie postaci $\frac{\text{stała}}{n^k}$ (dla $k\ge 1$) dąży do $0$. Dlatego: $\frac{5p}{n^2}\to 0,\frac{3}{n^3}\to 0,\frac{1}{n}\to 0,\frac{p}{n^3}\to 0.$ Stąd: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\frac{7p-1}{p+1}.$

Krok 4. Ułóż i rozwiąż równanie

Żądamy, aby ta granica była równa $\frac{4}{3}$: $\frac{7p-1}{p+1}=\frac{4}{3}.$ Mnożymy na krzyż (dla $p>0$ mianownik $p+1>0$): $3(7p-1)=4(p+1)$ $21p-3=4p+4$ $17p=7$ $p=\frac{7}{17}.$

Krok 5. Rozwinięcie dziesiętne (do kodowania)

$p=\frac{7}{17}=0,41176\dots$ Trzy pierwsze cyfry po przecinku to $4$, $1$, $1$.

Odpowiedź: $p=\frac{7}{17}\approx 0,411$ (cyfry do zakodowania: 4, 1, 1).

Krok 1. Sprowadź nierówność do jednej strony

Mamy wykazać, że dla wszystkich liczb rzeczywistych $x,y$ spełniających warunek $2x>y$ zachodzi $7x^3+4x^{2}y\ge y^3+2x{y}^2-x^3.$ Przenieśmy wszystko na lewą stronę: $7x^3+4x^{2}y-y^3-2x{y}^2+x^3\ge 0,$ czyli po uporządkowaniu $8x^3-y^3+4x^{2}y-2x{y}^2\ge 0.$

Krok 2. Rozłóż wyrażenie na czynniki

Grupujemy wyrazy w dwie pary. Pierwsza para to różnica sześcianów (bo $8x^3=(2x{)}^3$): $8x^3-y^3=(2x-y)(4x^2+2xy+y^2).$ Druga para ma wspólny czynnik $2xy$: $4x^{2}y-2x{y}^2=2xy(2x-y).$ Wyłączamy wspólny czynnik $(2x-y)$: $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)+2xy(2x-y)=(2x-y)(4x^2+2xy+y^2+2xy).$

Krok 3. Rozpoznaj kwadrat sumy

Wewnątrz nawiasu: $4x^2+2xy+y^2+2xy=4x^2+4xy+y^2=(2x+y{)}^2.$ Zatem: $8x^3-y^3+4x^{2}y-2x{y}^2=(2x-y)(2x+y{)}^2.$

Krok 4. Uzasadnij znak iloczynu

• Z założenia $2x>y$, czyli $2x-y>0$ — pierwszy czynnik jest dodatni.
• $(2x+y{)}^2\ge 0$ — drugi czynnik jest nieujemny.

Iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej jest nieujemny: $(2x-y)(2x+y{)}^2\ge 0.$ Oznacza to, że $8x^3-y^3+4x^{2}y-2x{y}^2\ge 0$, co jest równoważne wyjściowej nierówności. Nierówność została udowodniona.

Krok 1. Zapisz założenie o prawej stronie

Rozwiązujemy równanie $|x-3|=2x+11$. Prawa strona musi być nieujemna: $x\ge -\frac{11}{2}$.

Krok 2. Opuść wartość bezwzględną — definicja

$|x-3|=x-3$ dla $x\ge 3$, oraz $|x-3|=3-x$ dla $x<3$.

Krok 3. Przypadek $x<3$

$3-x=2x+11\Rightarrow -8=3x\Rightarrow x=-\frac{8}{3}.$ Sprawdzamy: $-\frac{8}{3}\approx -2,67<3$ ✓, oraz $-\frac{8}{3}>-\frac{11}{2}$ ✓. Rozwiązanie akceptujemy.

Krok 4. Przypadek $x\ge 3$

$x-3=2x+11\Rightarrow x=-14.$ Liczba $-14$ nie należy do $⟨3,+\infty )$ — odrzucamy.

Krok 5. Zbierz wyniki

Odpowiedź: $x=-\frac{8}{3}$.

Krok 1. Zauważ podobieństwo trójkątów $CPD$ i $APB$

Punkt $P$ jest przecięciem przekątnych trapezu $ABCD$, w którym $AB\parallel CD$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają proste równoległe $AB$ i $CD$, więc powstają kąty naprzemianległe:

$\angle PCD=\angle PAB,\angle PDC=\angle PBA.$

Dodatkowo kąty $\angle CPD$ i $\angle APB$ są kątami wierzchołkowymi, więc są równe. Oznaczmy tę wspólną miarę przez $\alpha$:

$\angle CPD=\angle APB=\alpha .$

Trójkąty $CPD$ i $APB$ mają wszystkie trzy pary kątów równe, więc na mocy cechy (kkk) są podobne:

$△CPD\sim △APB.$

Krok 2. Powiąż skalę podobieństwa z bokami i promieniami

Odpowiadają sobie boki $CD$ (w $△CPD$) i $AB$ (w $△APB$), a także promienie okręgów opisanych $R_2$ (dla $CPD$) i $R_1$ (dla $APB$). Zatem

$\frac{R_1}{R_2}=\frac{|AB|}{|CD|}.$

Skoro $|CD|=|AB|-2$, to $|AB|=|CD|+2$. Skoro $R_2=R_1-3$, to $R_1=R_2+3$. Podstawiamy:

$\frac{R_2+3}{R_2}=\frac{|CD|+2}{|CD|}.$

Krok 3. Wyznacz zależność między $|CD|$ a $R_2$

$1+\frac{3}{R_2}=1+\frac{2}{|CD|}⟹\frac{3}{R_2}=\frac{2}{|CD|}.$

Mnożąc na krzyż:

$3|CD|=2R_2⟹|CD|=\frac{2}{3}{R}_2.$

Krok 4. Znajdź $\sin \alpha$ z twierdzenia sinusów

W trójkącie $CPD$ bok $CD$ leży naprzeciw kąta $\alpha$, promień okręgu opisanego to $R_2$. Z twierdzenia sinusów:

$\frac{|CD|}{\sin \alpha }=2R_2⟹|CD|=2R_2\sin \alpha .$

Porównujemy z $|CD|=\frac{2}{3}{R}_2$:

$2R_2\sin \alpha =\frac{2}{3}{R}_2⟹\sin \alpha =\frac{1}{3}.$

Krok 5. Oblicz $\cos \alpha$

Trójkąt $CPD$ jest ostrokątny, więc $\cos \alpha >0$:

$\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

Krok 6. Zastosuj twierdzenie cosinusów w trójkącie $CPD$

$|CD{|}^2=|DP{|}^2+|CP{|}^2-2|DP|\cdot |CP|\cdot \cos \alpha .$

Przenosząc $|CD{|}^2$:

$|DP{|}^2+|CP{|}^2-|CD{|}^2=2|DP|\cdot |CP|\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|.$

To należało wykazać.

Krok 1. Wykorzystaj twierdzenie o reszcie

Dany jest wielomian $W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m$, a reszta z dzielenia przez $(x+2)$ jest równa $-30$. Z twierdzenia o reszcie: $W(-2)=-30$.

Krok 2. Wyznacz parametr $m$

$W(-2)=4(-2{)}^3-6(-2{)}^2-(5m+1)(-2)-2m=-32-24+(10m+2)-2m=-54+8m.$

Z warunku $-54+8m=-30\Rightarrow 8m=24\Rightarrow m=3$.

Krok 3. Zapisz wielomian dla $m=3$

$W(x)=4x^3-6x^2-16x-6.$

Krok 4. Rozłóż wielomian na czynniki

$W(x)=2(2x^3-3x^2-8x-3).$

Sprawdzamy $x=-1$: $2(-1)-3(1)+8-3=-2-3+8-3=0$ ✓, więc $(x+1)$ jest czynnikiem. Dzieląc, otrzymujemy $2x^2-5x-3$. Wyróżnik: $\Delta =25+24=49$, $\sqrt{\Delta }=7$, więc $x=3$ lub $x=-\frac{1}{2}$.

$W(x)=4(x+1)\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-3).$

Miejsca zerowe: $x=-1,x=-\frac{1}{2},x=3$.

Krok 5. Rozwiąż nierówność $W(x)\ge 0$

Współczynnik przy $x^3$ dodatni, pierwiastki pojedyncze — znaki naprzemienne od prawej: $+$ na $(3,+\infty )$, $-$ na $(-\frac{1}{2},3)$, $+$ na $(-1,-\frac{1}{2})$, $-$ na $(-\infty ,-1)$.

Odpowiedź: $m=3$; $x\in ⟨-1,-\frac{1}{2}⟩\cup ⟨3,+\infty )$.

Krok 1. Zapisz warunek dla ciągu geometrycznego

Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny, wyrazy dodatnie, $a_1=675$, iloraz $q$. Warunek: $a_{22}=\frac{5}{4}{a}_{23}+\frac{1}{5}{a}_{21}$. Wyrażamy przez $a_{21}$ i $q$: $a_{22}=a_{21}q$, $a_{23}=a_{21}{q}^2$:

$a_{21}q=\frac{5}{4}{a}_{21}{q}^2+\frac{1}{5}{a}_{21}.$

Krok 2. Wyznacz iloraz $q$

Dzielimy przez $a_{21}>0$:

$q=\frac{5}{4}{q}^2+\frac{1}{5}\Rightarrow \frac{5}{4}{q}^2-q+\frac{1}{5}=0\Rightarrow 25q^2-20q+4=0\Rightarrow (5q-2{)}^2=0\Rightarrow q=\frac{2}{5}.$

Krok 3. Oblicz sumę szeregu i wyraz $a_3$

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{675}{3/5}=675\cdot \frac{5}{3}=1125.$

$a_3=a_1{q}^2=675\cdot \frac{4}{25}=108.$

Krok 4. Zapisz warunki dla ciągu arytmetycznego $(b_n)$

$b_1+3r=108$ (z $a_3=b_4$) oraz $S_{25}=1125\Rightarrow \frac{2b_1+24r}{2}\cdot 25=1125\Rightarrow b_1+12r=45$.

Krok 5. Rozwiąż układ równań

$\{\begin{array}{l}{b}_1+3r=108\\ b_1+12r=45\end{array}\Rightarrow 9r=-63\Rightarrow r=-7.$

$b_1=108-3\cdot (-7)=129.$

Odpowiedź: $b_1=129$.

Krok 1. Pogrupuj wyrazy równania

Rozwiązujemy $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$ w $⟨0,\pi ⟩$. Korzystamy z wzoru $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ dla $\alpha =3x,\beta =x$:

$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x.$

Krok 2. Wyłącz wspólny czynnik

$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0\Rightarrow \sin 2x(2\cos x+1)=0.$

Krok 3. Rozwiąż $\sin 2x=0$

$2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi }{2}$. W $⟨0,\pi ⟩$: $x\in \{0,\frac{\pi }{2},\pi \}$.

Krok 4. Rozwiąż $\cos x=-\frac{1}{2}$

W $⟨0,\pi ⟩$: $x=\frac{2\pi }{3}$.

Krok 5. Zbierz wszystkie rozwiązania

Odpowiedź: $x\in \left\{0,\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3},\pi \right\}$.

Krok 1. Zapewnij istnienie dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych

$x^2-(m+1)x+m=0$. $\Delta =(m+1{)}^2-4m=(m-1{)}^2>0\Rightarrow m\ne 1$.

Krok 2. Zadbaj o niezerowość pierwiastków

$x_1{x}_2=m\ne 0$.

Wzory Viète'a: $x_1+x_2=m+1,x_1{x}_2=m$.

Krok 3. Przekształć warunek

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\Rightarrow \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}+2=\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{(x_1{x}_2{)}^2}.$

Krok 4. Podstaw wzory Viète'a

$\frac{m+1}{m}+2=\frac{(m+1{)}^2-2m}{m^2}\Rightarrow m(m+1)+2m^2=(m+1{)}^2-2m.$

Krok 5. Rozwiąż równanie względem $m$

$3m^2+m=m^2+1\Rightarrow 2m^2+m-1=0\Rightarrow (2m-1)(m+1)=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}\text{lub}m=-1.$

Krok 6. Sprawdź warunki

Obie wartości spełniają $m\ne 0,1$. Trójmian rozkłada się jako $(x-1)(x-m)$, pierwiastki to $1$ i $m$ — potwierdza to założenia.

Odpowiedź: $m=-1$ lub $m=\frac{1}{2}$.

Krok 1. Wprowadźmy oznaczenia

Mamy graniastosłup prosty o podstawie prostokątnej $ABCD$, wierzchołki górne $E,F,G,H$ nad $A,B,C,D$. Oznaczmy $|AD|=a$, $|AB|=b$, $h$ — wysokość, $d=|AH|$, $e=|AF|$, $c=|FH|$.

Krok 2. Wyraźmy boki trójkąta przez $a,b,h$

$d^2=h^2+a^2,e^2=h^2+b^2,c^2=|FH{|}^2=|BD{|}^2=a^2+b^2.$

Krok 3. Wykorzystajmy pole trójkąta $AFH$

$P=\frac{1}{2}de\sin \alpha =26,4\Rightarrow de=\frac{26,4\cdot 2\cdot 13}{12}=57,2.$

Krok 4. Wyznaczmy $\cos \alpha$

$\cos \alpha =\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=\frac{5}{13}.$

Krok 5. Twierdzenie cosinusów w trójkącie $AFH$

$c^2=d^2+e^2-2de\cos \alpha \Rightarrow a^2+b^2=(h^2+a^2)+(h^2+b^2)-2\cdot 57,2\cdot \frac{5}{13}.$

$2\cdot 57,2\cdot \frac{5}{13}=44.$

Krok 6. Rozwiążmy równanie na $h$

$a^2+b^2=h^2+a^2+h^2+b^2-44\Rightarrow 0=2h^2-44\Rightarrow h^2=22\Rightarrow h=\sqrt{22}.$

Odpowiedź: $h=\sqrt{22}$.

Krok 1. Wyznaczmy wysokość trójkąta

Trójkąt równoramienny $ABC$, $|AC|=|BC|$, $A=(-3,2)$, pole=15, $BC$ na prostej $y=x-1$ (czyli $x-y-1=0$). Odległość $A$ od prostej:

$d=\frac{|-3-2-1|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.$

Krok 2. Wyznaczmy długość boku $BC$

$P=\frac{1}{2}|BC|\cdot d=15\Rightarrow |BC|=\frac{30}{3\sqrt{2}}=5\sqrt{2}=|AC|.$

Krok 3. Wyznaczmy wierzchołek $C$

$C=(x_C,x_C-1)$, $|AC{|}^2=50$:

$(x_C+3{)}^2+(x_C-3{)}^2=50\Rightarrow 2x_C^2+18=50\Rightarrow x_C=\pm 4.$

$C=(4,3)$ lub $C=(-4,-5)$.

Krok 4. Wyznaczmy wierzchołek $B$

Dla $C=(4,3)$: $(4-x_B{)}^2=25\Rightarrow x_B=-1$ lub $9$. $B=(-1,-2)$ lub $(9,8)$.

Dla $C=(-4,-5)$: $(-4-x_B{)}^2=25\Rightarrow x_B=1$ lub $-9$. $B=(1,0)$ lub $(-9,-10)$.

Krok 5. Zbierzmy wszystkie rozwiązania

Odpowiedź: Cztery pary: $\{C=(4,3),B=(-1,-2)\}$, $\{C=(4,3),B=(9,8)\}$, $\{C=(-4,-5),B=(1,0)\}$, $\{C=(-4,-5),B=(-9,-10)\}$.

Krok 1. Wprowadźmy oznaczenia

Trójkąt równoramienny o obwodzie 18: $a$ — podstawa, $b$ — ramię, $h$ — wysokość na podstawę. $a+2b=18\Rightarrow a=18-2b$.

Krok 2. (a) Wyprowadźmy wzór na pole

$h^2=b^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2-(9-b{)}^2=18b-81\Rightarrow h=\sqrt{18b-81}.$

$P=\frac{1}{2}ah=\frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}{2}.$

Krok 3. (b) Wyznaczmy dziedzinę

$a>0\Rightarrow b<9$. $18b-81>0\Rightarrow b>\frac{9}{2}$. Zatem $b\in \left(\frac{9}{2},9\right)$.

Krok 4. (c) Zredukujmy problem optymalizacji

$P=\frac{1}{2}\sqrt{f(b)}$, $f(b)=(18-2b{)}^2(18b-81)$. Maksimum $P$ = maksimum $f$.

Krok 5. Policzmy pochodną $f$

$f(b)=72b^3-1620b^2+11664b-26244,f^{\prime }(b)=216(b^2-15b+54)=216(b-6)(b-9).$

Krok 6. Zbadajmy znak pochodnej

Dla $b\in (\frac{9}{2},6)$: $f^{\prime }>0$ (rośnie). Dla $b\in (6,9)$: $f^{\prime }<0$ (maleje). Maksimum przy $b=6$.

Krok 7. Wyznaczmy wymiary trójkąta

$a=18-12=6$. Trójkąt równoboczny o boku 6.

Odpowiedź: $a=6$, $b=6$ (trójkąt równoboczny o boku 6).