Matematyka PR — Maj 2019

Krok 1. Co mamy policzyć

Mamy wyznaczyć wartość iloczynu $({\log }_{x}y)\cdot ({\log }_{y}x)$ dla dowolnych liczb $x>0$, $x\ne 1$, $y>0$, $y\ne 1$. Kluczem jest zauważenie, że oba czynniki są ze sobą ściśle powiązane — to logarytmy „odwrotne" względem siebie.

Krok 2. Zamiana podstawy logarytmu

Skorzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu. Dla dodatnich $a,b,c$ (przy $a,c\ne 1$) zachodzi ${\log }_{c}b=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}.$

Zastosujmy go do drugiego czynnika, sprowadzając ${\log }_{y}x$ do podstawy $x$: ${\log }_{y}x=\frac{{\log }_{x}x}{{\log }_{x}y}.$

Krok 3. Upraszczamy

Korzystamy z tego, że logarytm liczby przy jej własnej podstawie równa się $1$, czyli ${\log }_{x}x=1$. Stąd ${\log }_{y}x=\frac{1}{{\log }_{x}y}.$

Widać więc, że ${\log }_{y}x$ jest odwrotnością ${\log }_{x}y$.

Krok 4. Mnożymy oba czynniki

Podstawiamy do wyjściowego iloczynu: $({\log }_{x}y)\cdot ({\log }_{y}x)=({\log }_{x}y)\cdot \frac{1}{{\log }_{x}y}=1.$

Zauważmy, że ${\log }_{x}y\ne 0$ (bo $y\ne 1$), więc dzielenie jest dozwolone, a iloczyn liczby przez jej odwrotność zawsze daje $1$ — niezależnie od konkretnych wartości $x$ i $y$.

Odpowiedź: D. $({\log }_{x}y)\cdot ({\log }_{y}x)=1.$

Krok 1. Rozpoznanie wzoru

Mamy obliczyć wartość liczby ${\cos }^{2}105^{\circ }-{\sin }^{2}105^{\circ }.$

Wyrażenie postaci ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ to nic innego jak lewa strona jednego ze wzorów na kosinus podwojonego kąta: $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha .$

Krok 2. Zastosowanie wzoru

Przyjmujemy $\alpha =105^{\circ }$, zatem $2\alpha =210^{\circ }$ i ${\cos }^{2}105^{\circ }-{\sin }^{2}105^{\circ }=\cos 210^{\circ }.$

Zamiast liczyć wartości funkcji dla $105^{\circ }$, wystarczy więc wyznaczyć $\cos 210^{\circ }$.

Krok 3. Sprowadzenie do kąta ostrego

Kąt $210^{\circ }$ leży w III ćwiartce układu współrzędnych, gdzie kosinus jest ujemny. Zapiszmy $210^{\circ }=180^{\circ }+30^{\circ }$ i skorzystajmy ze wzoru redukcyjnego $\cos (180^{\circ }+30^{\circ })=-\cos 30^{\circ }.$

Krok 4. Obliczenie wartości

Wiemy, że $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, więc $\cos 210^{\circ }=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Znak minus jest zgodny z tym, że kosinus w III ćwiartce jest ujemny.

Odpowiedź: A. ${\cos }^{2}105^{\circ }-{\sin }^{2}105^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Krok 1. Odczytanie danych z wykresu

Wykres funkcji $y=f(x)$ przechodzi przez punkty: $A=(-1,0),B=(1,2),C=(3,0),D=(-4,3),E=(6,3).$ Zauważmy charakterystyczny kształt: dwa „doły" sięgające osi $OX$ w punktach $A$ i $C$, między nimi „garb" o wierzchołku $B=(1,2)$, a na zewnątrz dwie półproste. To sugeruje złożenie wartości bezwzględnych. Sprawdzimy każdą z odpowiedzi, podstawiając współrzędne punktów.

Krok 2. Weryfikacja kandydata B: $f(x)=||x-1|-2|$

Sprawdźmy wszystkie pięć punktów.

• $x=1$ (punkt $B$): $||1-1|-2|=|0-2|=2$. Zgadza się, $f(1)=2$.
• $x=-1$ (punkt $A$): $||-1-1|-2|=|2-2|=0$. Zgadza się, $f(-1)=0$.
• $x=3$ (punkt $C$): $||3-1|-2|=|2-2|=0$. Zgadza się, $f(3)=0$.
• $x=-4$ (punkt $D$): $||-4-1|-2|=|5-2|=3$. Zgadza się, $f(-4)=3$.
• $x=6$ (punkt $E$): $||6-1|-2|=|5-2|=3$. Zgadza się, $f(6)=3$.

Wszystkie pięć punktów spełnia wzór z odpowiedzi B.

Krok 3. Interpretacja — dlaczego podwójna wartość bezwzględna

Wykres powstaje w dwóch etapach:

1. Najpierw $g(x)=|x-1|$ — to litera „V" z wierzchołkiem w punkcie $(1,0)$.
2. Odejmujemy $2$: $h(x)=|x-1|-2$ — przesuwamy „V" w dół o $2$, wierzchołek trafia w $(1,-2)$, a ramiona przecinają oś $OX$ tam, gdzie $|x-1|=2$, czyli w $x=-1$ i $x=3$.
3. Bierzemy wartość bezwzględną całości: $f(x)=|h(x)|$ — fragment wykresu poniżej osi $OX$ (środkowy) odbija się do góry. W efekcie w punktach $x=-1$ i $x=3$ powstają dwa „doły" dotykające osi, a między nimi „garb" o wierzchołku $(1,2)$ (odbicie punktu $(1,-2)$).

To dokładnie odpowiada wykresowi z zadania.

Krok 4. Odrzucenie pozostałych odpowiedzi

• D: $f(x)=|x-1|+2$ daje $f(-1)=|-2|+2=4\ne 0$ — odpada (nie przechodzi przez $A$).
• C: $f(x)=||x-1|+2|=|x-1|+2$ (bo $|x-1|+2>0$) — to samo co D, $f(-1)=4$ — odpada.
• A: $f(x)=|x+1|+|x-1|$ daje $f(1)=|2|+0=2$, ale $f(-1)=0+|-2|=2\ne 0$ — odpada.

Jedynie odpowiedź B przechodzi przez wszystkie punkty.

Odpowiedź: B. $f(x)=||x-1|-2|.$

Krok 1. Dane i szukana wielkość

Dla zdarzeń $A,B\subset \Omega$ dane są: $P(B^{\prime })=\frac{1}{4},P(A|B)=\frac{1}{5},$ gdzie $B^{\prime }$ to zdarzenie przeciwne do $B$, a $P(A|B)$ to prawdopodobieństwo warunkowe zajścia $A$ pod warunkiem $B$. Szukamy $P(A\cap B)$.

Krok 2. Wyznaczenie $P(B)$

Zdarzenie $B$ i zdarzenie do niego przeciwne $B^{\prime }$ dopełniają się do całej przestrzeni, więc ich prawdopodobieństwa sumują się do $1$: $P(B)=1-P(B^{\prime })=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.$

Krok 3. Definicja prawdopodobieństwa warunkowego

Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego (dla $P(B)>0$): $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$

Interesuje nas $P(A\cap B)$, więc przekształcamy wzór, mnożąc obie strony przez $P(B)$: $P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B).$

Krok 4. Podstawienie i obliczenie

Podstawiamy znane wartości: $P(A\cap B)=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{20}.$

Wynik $\frac{3}{20}$ jest liczbą z przedziału $[0,1]$, więc jest to poprawne prawdopodobieństwo.

Odpowiedź: C. $P(A\cap B)=\frac{3}{20}.$

Krok 1. Rozbicie na dwie granice

Mamy obliczyć ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{9n^3+11n^2}{7n^3+5n^2+3n+1}-\frac{n^2}{3n^2+1}\right).$

Oba składniki są ciągami zbieżnymi (jak zaraz pokażemy), więc granica różnicy równa się różnicy granic: ${\lim }_{n\to \infty }(a_n-b_n)={\lim }_{n\to \infty }{a}_n-{\lim }_{n\to \infty }{b}_n.$ Policzymy każdą granicę osobno.

Krok 2. Pierwsza granica

W ułamku $\frac{9n^3+11n^2}{7n^3+5n^2+3n+1}$ najwyższą potęgą jest $n^3$. Dzielimy licznik i mianownik przez $n^3$: $\frac{9n^3+11n^2}{7n^3+5n^2+3n+1}=\frac{9+\frac{11}{n}}{7+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}.$

Gdy $n\to \infty$, wszystkie składniki postaci $\frac{1}{n},\frac{1}{n^2},\frac{1}{n^3}$ dążą do $0$, więc ${\lim }_{n\to \infty }\frac{9n^3+11n^2}{7n^3+5n^2+3n+1}=\frac{9+0}{7+0+0+0}=\frac{9}{7}.$

Krok 3. Druga granica

W ułamku $\frac{n^2}{3n^2+1}$ najwyższą potęgą jest $n^2$. Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$: $\frac{n^2}{3n^2+1}=\frac{1}{3+\frac{1}{n^2}}.$

Gdy $n\to \infty$, mamy $\frac{1}{n^2}\to 0$, więc ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2}{3n^2+1}=\frac{1}{3+0}=\frac{1}{3}.$

Krok 4. Różnica granic

Odejmujemy wyniki, sprowadzając do wspólnego mianownika $21$: $\frac{9}{7}-\frac{1}{3}=\frac{9\cdot 3}{21}-\frac{1\cdot 7}{21}=\frac{27-7}{21}=\frac{20}{21}.$

Szukana granica wynosi więc $\frac{20}{21}$.

Krok 5. Rozwinięcie dziesiętne i kodowane cyfry

Wykonajmy dzielenie $20:21$: $\frac{20}{21}=0,952380952\dots$ (rozwinięcie jest okresowe: $0,(952380)$).

Trzy kolejne cyfry po przecinku, licząc od lewej, to: $9,5,2.$

Odpowiedź: Granica równa się $\frac{20}{21}=0,952380\dots$ Kodowane cyfry (trzy pierwsze po przecinku): $9,5,2.$

Krok 1. Ile jest wszystkich takich liczb?

Zapisujemy liczbę pięciocyfrową, używając każdej z cyfr $1,3,5,7,9$ dokładnie raz (bez powtórzeń). Ustawienie pięciu różnych cyfr na pięciu pozycjach to permutacja pięcioelementowego zbioru, więc wszystkich takich liczb jest $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120.$

Krok 2. Ile razy dana cyfra stoi na ustalonej pozycji?

Wyobraźmy sobie, że zapisujemy wszystkie $120$ liczb jedna pod drugą (jak w słupku). Powstaje $5$ kolumn: kolumna jedności, dziesiątek, setek, tysięcy i dziesiątek tysięcy.

Ustalmy jedną konkretną cyfrę (np. $7$) i jedną konkretną kolumnę (np. kolumnę setek). Skoro tę cyfrę „przyklejamy" na wybranej pozycji, to pozostałe cztery cyfry mamy jeszcze do rozmieszczenia na czterech pozostałych pozycjach — a to można zrobić na $4!=24$ sposobów. Zatem każda z cyfr $1,3,5,7,9$ pojawia się w każdej z pięciu kolumn dokładnie $24$ razy.

Można to sprawdzić rachunkiem kontrolnym: cyfr jest $5$, każda występuje w danej kolumnie $24$ razy, więc w kolumnie mamy $5\cdot 24=120$ cyfr — dokładnie tyle, ile jest liczb. Zgadza się.

Krok 3. Suma cyfr w jednej kolumnie

W każdej kolumnie każda z cyfr $1,3,5,7,9$ występuje po $24$ razy, więc suma wszystkich cyfr w pojedynczej kolumnie wynosi $24\cdot (1+3+5+7+9)=24\cdot 25=600.$

Krok 4. Uwzględnienie wag pozycji

Cyfra w kolumnie jedności ma wagę $1$, w kolumnie dziesiątek $10$, setek $100$, tysięcy $1000$, a dziesiątek tysięcy $10000$. Ponieważ w każdej kolumnie suma cyfr jest taka sama i równa $600$, całkowitą sumę wszystkich liczb otrzymamy, mnożąc $600$ przez sumę wag: $\text{suma}=600\cdot (1+10+100+1000+10000)=600\cdot 11111.$

Krok 5. Obliczenie wyniku

$600\cdot 11111=6666600.$

Równoważnie, tę samą rachubę można zapisać zwięźle jako $\text{suma}=(1+10+100+1000+10000)\cdot 24\cdot 25=11111\cdot 600=6666600.$

Odpowiedź: Suma wszystkich takich liczb wynosi $6666600$.

Krok 1. Sprawdzamy, że punkt leży na paraboli

Mamy parabolę o równaniu $f(x)=2x^2+x+2219$ oraz punkt $P=(10,2429)$. Upewnijmy się, że $P$ rzeczywiście leży na paraboli: $f(10)=2\cdot 10^2+10+2219=200+10+2219=2429.$ Zgadza się, więc $P$ jest punktem paraboli.

Krok 2. Współczynnik kierunkowy stycznej to wartość pochodnej

Styczna do wykresu funkcji w danym punkcie ma współczynnik kierunkowy równy wartości pochodnej funkcji w tym punkcie. Obliczamy pochodną: $f^{\prime }(x)=4x+1.$ Współczynnik kierunkowy $a$ stycznej w punkcie $P$ o odciętej $x=10$ wynosi $a=f^{\prime }(10)=4\cdot 10+1=41.$

Krok 3. Wyznaczamy równanie stycznej

Styczna przechodzi przez punkt $P=(10,2429)$ i ma współczynnik kierunkowy $a=41$. Korzystamy z równania prostej przechodzącej przez zadany punkt: $y-2429=41(x-10).$ Rozwijamy prawą stronę: $y-2429=41x-410,$ $y=41x-410+2429=41x+2019.$ Stąd $b=2019$.

Krok 4. Alternatywne uzasadnienie (warunek $\Delta =0$)

Dla kontroli: prosta $y=41x+b$ jest styczna do paraboli, gdy równanie $2x^2+x+2219=41x+b$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Po uporządkowaniu: $2x^2-40x+(2219-b)=0.$ Warunek styczności to $\Delta =0$: $\Delta =(-40{)}^2-4\cdot 2\cdot (2219-b)=1600-8(2219-b)=0,$ $1600-17752+8b=0\Rightarrow 8b=16152\Rightarrow b=2019.$ Oba sposoby dają ten sam wynik.

Odpowiedź: $b=2019$.

Krok 1. Założenia i ustalenie znaków

Z założenia $x$, $y$ oraz $a$ są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, a ponadto $x<y$. Wynika z tego, że:

• $x>0$,
• $y+a>0$ (jako suma dwóch liczb dodatnich),
• $y-x>0$ (bo $x<y$).

Te fakty wykorzystamy zarówno przy przekształcaniu nierówności, jak i w końcowym uzasadnieniu.

Krok 2. Mnożenie przez dodatni mianownik — przekształcenie równoważne

Chcemy udowodnić nierówność $\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2.$ Mianowniki $y+a$ oraz $x$ są dodatnie, więc ich iloczyn $x(y+a)$ jest liczbą dodatnią. Mnożenie obu stron nierówności przez liczbę dodatnią jest przekształceniem równoważnym (nie zmienia zwrotu nierówności). Mnożymy więc obie strony przez $x(y+a)>0$: $x(x+a)+y(y+a)>2x(y+a).$

Krok 3. Przenosimy wszystko na jedną stronę i grupujemy

Przenosimy prawą stronę na lewą: $x(x+a)+y(y+a)-2x(y+a)>0.$ Rozwijamy nawiasy: $x^2+ax+y^2+ay-2xy-2ax>0.$ Redukujemy wyrazy z $ax$: $ax-2ax=-ax$, więc $x^2+y^2-2xy+ay-ax>0.$ Pierwsze trzy wyrazy tworzą kwadrat różnicy, a z dwóch ostatnich wyłączamy $a$: $(x-y{)}^2+a(y-x)>0.$

Krok 4. Uzasadnienie prawdziwości otrzymanej nierówności

Otrzymana nierówność jest prawdziwa, bo lewa strona jest sumą dwóch składników dodatnich:

• $(x-y{)}^2>0$, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a tutaj $x\ne y$ (mamy $x<y$), więc różnica jest niezerowa i kwadrat jest wprost dodatni;
• $a(y-x)>0$, ponieważ $a>0$ oraz $y-x>0$ (z założenia $x<y$), a iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni.

Suma dwóch liczb dodatnich jest dodatnia, zatem $(x-y{)}^2+a(y-x)>0.$

Krok 5. Wniosek

Każde z przekształceń w krokach 2–3 było równoważne (mnożyliśmy przez liczbę dodatnią i przenosiliśmy wyrazy), więc prawdziwość nierówności $(x-y{)}^2+a(y-x)>0$ oznacza prawdziwość nierówności wyjściowej $\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2$ dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x,y$ spełniających $x<y$ oraz dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a$.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń

Rozważmy trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Oznaczmy przez $\alpha$ miarę kąta przy podstawie $AB$. Ponieważ trójkąt jest równoramienny (ramiona $AC$ i $BC$ są równe), kąty leżące przy podstawie są równe:

$\angle BAC=\angle ABC=\alpha .$

Zauważmy, że $\alpha$ jest kątem ostrym (jako kąt przy podstawie trójkąta), więc $\cos \alpha >0$.

Niech ponadto: $x=|AM|=|CN|,y=|MC|.$

Wtedy długość ramienia to $|AC|=|AM|+|MC|=x+y$. Nie zakładamy przy tym niczego o wzajemnych wartościach $x$ i $y$ — dowód będzie w pełni ogólny (w szczególności nie zakładamy, że $M,N$ są środkami ramion ani że trójkąt jest równoboczny).

Krok 2. Wyznaczenie długości $|NB|$

Ramiona są równe, więc $|BC|=|AC|=x+y$. Punkt $N$ leży na ramieniu $BC$, przy czym $|CN|=x$. Zatem

$|NB|=|BC|-|CN|=(x+y)-x=y.$

Krok 3. Rzuty odcinków $AM$ i $BN$ na podstawę

Prosta poprowadzona przez $M$ prostopadle do $AB$ przecina podstawę w punkcie $S$, więc trójkąt $ASM$ ma kąt prosty przy wierzchołku $S$. Kąt $\angle SAM$ to ten sam kąt co $\angle BAC=\alpha$ (punkt $M$ leży na ramieniu $AC$, a $S$ na prostej $AB$). W trójkącie prostokątnym $ASM$ odcinek $AS$ jest przyprostokątną przyległą do kąta $\alpha$, a $AM$ — przeciwprostokątną, więc

$|AS|=|AM|\cos \alpha =x\cos \alpha .$

Analogicznie prosta przez $N$ prostopadła do $AB$ wyznacza punkt $T$, a trójkąt $BTN$ ma kąt prosty przy $T$ oraz kąt $\angle TBN=\angle ABC=\alpha$. Stąd

$|BT|=|BN|\cos \alpha =y\cos \alpha .$

Krok 4. Długość podstawy $|AB|$

Wyznaczmy $|AB|$ za pomocą tego samego rzutowania. Poprowadźmy wysokość trójkąta z wierzchołka $C$ na podstawę $AB$; jej spodek oznaczmy $P$. W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową, więc $P$ jest środkiem $AB$ i $|AP|=\frac{1}{2}|AB|$.

W trójkącie prostokątnym $APC$ (kąt prosty przy $P$) mamy kąt $\angle PAC=\alpha$ oraz przeciwprostokątną $|AC|=x+y$, zatem

$|AP|=|AC|\cos \alpha =(x+y)\cos \alpha .$

Ponieważ $|AB|=2|AP|$, otrzymujemy

$|AB|=2(x+y)\cos \alpha .$

Krok 5. Obliczenie długości $|ST|$

Punkty $S$ i $T$ leżą na podstawie $AB$, przy czym $S$ jest rzutem $M$ (blisko $A$), a $T$ rzutem $N$ (blisko $B$). Odcinek $ST$ powstaje przez odjęcie od całej podstawy skrajnych odcinków $AS$ i $BT$:

$|ST|=|AB|-|AS|-|BT|.$

Podstawiamy wyniki z kroków 3 i 4:

$|ST|=2(x+y)\cos \alpha -x\cos \alpha -y\cos \alpha .$

Wyłączamy $\cos \alpha$ przed nawias:

$|ST|=(2(x+y)-x-y)\cos \alpha =(x+y)\cos \alpha .$

Krok 6. Porównanie z połową podstawy

Z kroku 4 wiemy, że $|AB|=2(x+y)\cos \alpha$, więc

$\frac{1}{2}|AB|=(x+y)\cos \alpha .$

Z obu obliczeń dostajemy tę samą wartość, a zatem

$|ST|=(x+y)\cos \alpha =\frac{1}{2}|AB|,$

co należało udowodnić.

Uwaga na koniec: zauważmy, że wynik nie zależy od położenia punktu $M$ na ramieniu (czyli od wartości $x$) — długość $|ST|$ jest zawsze równa połowie podstawy, dla dowolnego dopuszczalnego wyboru $M$.

Krok 1. Wyznaczenie kąta $A$ z trójkąta $ACD$

Punkt $D$ leży na boku $AB$, więc kąt $\angle CAD$ jest tym samym kątem co $\angle CAB=\angle A$ trójkąta $ABC$. W trójkącie $ACD$ znamy wszystkie trzy boki:

$|AC|=16,|AD|=6,|CD|=14.$

Zastosujemy twierdzenie cosinusów dla boku $CD$ leżącego naprzeciw kąta $A$:

$|CD{|}^2=|AC{|}^2+|AD{|}^2-2\cdot |AC|\cdot |AD|\cdot \cos A.$

Podstawiamy dane:

$14^2=16^2+6^2-2\cdot 16\cdot 6\cdot \cos A,$

$196=256+36-192\cos A,$

$196=292-192\cos A.$

Stąd

$192\cos A=292-196=96,$

$\cos A=\frac{96}{192}=\frac{1}{2}.$

Ponieważ kąt trójkąta należy do przedziału $(0^{\circ },180^{\circ })$, otrzymujemy

$\angle A=60^{\circ }.$

Krok 2. Wprowadzenie niewiadomej i równanie z trójkąta $ABC$

Z warunku zadania $|BC|=|BD|$. Oznaczmy tę wspólną długość przez $t$:

$|BC|=|BD|=t.$

Punkt $D$ leży na boku $AB$ między $A$ i $B$, więc

$|AB|=|AD|+|DB|=6+t.$

Rozważmy teraz cały trójkąt $ABC$. Znamy w nim kąt $A=60^{\circ }$ (a więc $\cos A=\frac{1}{2}$) oraz boki przy tym kącie: $|AC|=16$ i $|AB|=6+t$. Naprzeciw kąta $A$ leży bok $BC=t$. Z twierdzenia cosinusów:

$|BC{|}^2=|AC{|}^2+|AB{|}^2-2\cdot |AC|\cdot |AB|\cdot \cos A,$

$t^2=16^2+(6+t{)}^2-2\cdot 16\cdot (6+t)\cdot \frac{1}{2}.$

Krok 3. Rozwiązanie równania

Rozwijamy poszczególne składniki. Kwadrat sumy:

$(6+t{)}^2=36+12t+t^2.$

Ostatni składnik (współczynnik $\frac{1}{2}$ skraca się z $2$):

$2\cdot 16\cdot (6+t)\cdot \frac{1}{2}=16(6+t)=96+16t.$

Podstawiamy do równania:

$t^2=256+36+12t+t^2-(96+16t).$

Po prawej stronie porządkujemy:

$t^2=256+36+12t+t^2-96-16t,$

$t^2=t^2+196-4t.$

Odejmujemy $t^2$ od obu stron:

$0=196-4t,$

$4t=196,$

$t=49.$

Sprawdźmy sensowność: $|BC|=|BD|=49$, $|AB|=6+49=55$. Nierówności trójkąta są spełnione ($16+55>49$, $16+49>55$, $55+49>16$), więc taki trójkąt istnieje.

Krok 4. Obliczenie obwodu

Obwód trójkąta $ABC$ to suma jego boków:

$L=|AC|+|AB|+|BC|=16+(6+49)+49=16+55+49=120.$

Odpowiedź: Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $120$.

Krok 1. Sprowadzamy pierwszy okrąg do postaci kanonicznej

Równanie pierwszego okręgu to $x^2+y^2-12x-8y+43=0.$ Grupujemy wyrazy z $x$ oraz z $y$ i uzupełniamy je do pełnych kwadratów: $(x^2-12x)+(y^2-8y)+43=0.$ Ponieważ $x^2-12x=(x-6{)}^2-36$ oraz $y^2-8y=(y-4{)}^2-16$, otrzymujemy $(x-6{)}^2-36+(y-4{)}^2-16+43=0,$ $(x-6{)}^2+(y-4{)}^2=36+16-43=9.$ Stąd pierwszy okrąg ma środek $S_1=(6,4)$ oraz promień $r_1=\sqrt{9}=3$.

Krok 2. Sprowadzamy drugi okrąg do postaci kanonicznej

Drugie równanie to $x^2+y^2-2ax+4y+a^2-77=0.$ Znów uzupełniamy do kwadratów. Wyraz $x^2-2ax=(x-a{)}^2-a^2$, a wyraz $y^2+4y=(y+2{)}^2-4$. Zatem $(x-a{)}^2-a^2+(y+2{)}^2-4+a^2-77=0,$ $(x-a{)}^2+(y+2{)}^2=a^2+4+77-a^2=81.$ Zauważ, że składniki $-a^2$ i $+a^2$ się skróciły, więc promień nie zależy od parametru. Drugi okrąg ma środek $S_2=(a,-2)$ oraz promień $r_2=\sqrt{81}=9$.

Krok 3. Kiedy dwa okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny?

Dwa okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy są styczne. Są dwa przypadki styczności:

• styczność zewnętrzna — okręgi leżą na zewnątrz siebie i dotykają się w jednym punkcie; wtedy odległość środków jest sumą promieni: $|S_1{S}_2|=r_1+r_2=3+9=12,$
• styczność wewnętrzna — jeden okrąg leży wewnątrz drugiego i dotyka go w jednym punkcie; wtedy odległość środków jest różnicą promieni: $|S_1{S}_2|=r_2-r_1=9-3=6.$

(Odejmujemy mniejszy promień od większego, więc $r_2-r_1$, bo $r_2=9>r_1=3$.)

Krok 4. Zapisujemy odległość środków w zależności od $a$

Środki to $S_1=(6,4)$ oraz $S_2=(a,-2)$. Odległość między nimi: $|S_1{S}_2|=\sqrt{(a-6{)}^2+(-2-4{)}^2}=\sqrt{(a-6{)}^2+36}.$

Krok 5. Przypadek styczności zewnętrznej: $|S_1{S}_2|=12$

$\sqrt{(a-6{)}^2+36}=12.$ Podnosimy obie strony do kwadratu (obie są dodatnie): $(a-6{)}^2+36=144,$ $(a-6{)}^2=108.$ Stąd $a-6=\pm \sqrt{108}$. Ponieważ $108=36\cdot 3$, mamy $\sqrt{108}=6\sqrt{3}$, więc $a-6=\pm 6\sqrt{3},$ $a=6+6\sqrt{3}\text{lub}a=6-6\sqrt{3}.$

Krok 6. Przypadek styczności wewnętrznej: $|S_1{S}_2|=6$

$\sqrt{(a-6{)}^2+36}=6.$ Podnosimy do kwadratu: $(a-6{)}^2+36=36,$ $(a-6{)}^2=0,$ $a=6.$ Dla $a=6$ środki mają współrzędne $S_1=(6,4)$, $S_2=(6,-2)$, odległość $|S_1{S}_2|=6=r_2-r_1$ — mniejszy okrąg leży wewnątrz większego i jest z nim styczny.

Krok 7. Zbieramy wyniki

Otrzymane wartości parametru pochodzą z dwóch niezależnych przypadków styczności — wszystkie są dopuszczalne (dla każdej z nich promienie pozostają równe $3$ i $9$).

Odpowiedź: Okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny dla $a=6$, $a=6+6\sqrt{3}$ oraz $a=6-6\sqrt{3}$.

Krok 1. Zapisujemy założenia i warunek ciągu arytmetycznego

Zakładamy, że wszystkie wyrazy są dodatnie: $a>0$, $b>0$, $c>0$ (dzięki temu ułamki w ciągu geometrycznym są dobrze określone).

Ciąg $(a,b,c)$ jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiednich: $b=\frac{a+c}{2}⟺a+c=2b.$ Stąd wygodnie wyznaczyć $c$: $c=2b-a.$

Krok 2. Upraszczamy trzeci wyraz ciągu geometrycznego

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego to $\frac{1}{2a+2b+c}$. Podstawiamy $c=2b-a$ do mianownika: $2a+2b+c=2a+2b+(2b-a)=a+4b.$ Zatem ciąg geometryczny ma postać $\left(\frac{1}{a},\frac{2}{3b},\frac{1}{a+4b}\right).$

Krok 3. Wykorzystujemy warunek ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: ${\left(\frac{2}{3b}\right)}^2=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a+4b}.$ Lewa strona to $\frac{4}{9b^2}$, więc $\frac{4}{9b^2}=\frac{1}{a(a+4b)}.$ Mnożymy na krzyż (mianowniki są dodatnie): $4a(a+4b)=9b^2,$ $4a^2+16ab-9b^2=0.$

Krok 4. Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem $a$

Traktujemy $4a^2+16ab-9b^2=0$ jako równanie kwadratowe ze zmienną $a$ (a $b$ jak parametr). Wyróżnik: $\Delta =(16b{)}^2-4\cdot 4\cdot (-9b^2)=256b^2+144b^2=400b^2,$ $\sqrt{\Delta }=\sqrt{400b^2}=20b(\text{bo }b>0).$ Stąd $a=\frac{-16b\pm 20b}{2\cdot 4}=\frac{-16b\pm 20b}{8}.$ Dwa rozwiązania: $a=\frac{4b}{8}=\frac{b}{2}\text{lub}a=\frac{-36b}{8}=-\frac{9b}{2}.$ Drugie rozwiązanie odrzucamy, bo przy $b>0$ dawałoby $a<0$, a wyrazy mają być dodatnie. Zostaje $a=\frac{b}{2}⟺b=2a.$

Krok 5. Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego

Iloraz to stosunek kolejnych wyrazów, np. drugiego do pierwszego: $q=\frac{\frac{2}{3b}}{\frac{1}{a}}=\frac{2}{3b}\cdot a=\frac{2a}{3b}.$ Podstawiamy $b=2a$: $q=\frac{2a}{3\cdot 2a}=\frac{2a}{6a}=\frac{1}{3}.$

Krok 6. Sprawdzenie spójności

Dla $a=\frac{b}{2}$ i dowolnego dodatniego $b$ wszystkie wyrazy są dodatnie, a wyliczony iloraz $q=\frac{1}{3}$ jest jednakowy dla obu kolejnych par wyrazów, więc ciąg geometryczny jest poprawnie określony.

Odpowiedź: Iloraz ciągu geometrycznego wynosi $q=\frac{1}{3}$.

Krok 1. Zapisujemy warunki z treści za pomocą twierdzenia Bézouta

Kluczem są dwa fakty o resztach z dzielenia wielomianu przez dwumian $(x-a)$:

• wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $(x-2)$ $⟺$ reszta z dzielenia wynosi $0$ $⟺$ $W(2)=0$,
• reszta z dzielenia przez $(x+1)=(x-(-1))$ jest równa wartości wielomianu w punkcie $-1$, więc warunek „reszta $6$" oznacza $W(-1)=6$.

Mamy $W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2-11x-2(2m+1)$.

Krok 2. Warunek $W(2)=0$

$W(2)=2\cdot 8+(m^3+2)\cdot 4-11\cdot 2-2(2m+1).$

Liczymy składnik po składniku: $=16+4m^3+8-22-4m-2=4m^3-4m.$

Stąd $4m^3-4m=0⟺4m(m-1)(m+1)=0⟺m\in \{-1,0,1\}.$

Krok 3. Warunek $W(-1)=6$

$W(-1)=2\cdot (-1)+(m^3+2)\cdot 1-11\cdot (-1)-2(2m+1).$

Liczymy: $=-2+m^3+2+11-4m-2=m^3-4m+9.$

Warunek $W(-1)=6$ daje $m^3-4m+9=6⟺m^3-4m+3=0.$

Krok 4. Wspólne rozwiązanie obu warunków

Wartość $m$ musi spełniać jednocześnie oba równania. Ze Kroku 2 kandydaci to $m\in \{-1,0,1\}$. Sprawdzamy je w równaniu $m^3-4m+3=0$:

• $m=-1$: $(-1)-(-4)+3=-1+4+3=6\ne 0$,
• $m=0$: $0-0+3=3\ne 0$,
• $m=1$: $1-4+3=0$ ✓.

Tylko $m=1$ pasuje do obu warunków, więc $m=1$.

Krok 5. Wyznaczamy postać wielomianu dla $m=1$

Dla $m=1$: $m^3+2=3$ oraz $2(2m+1)=2\cdot 3=6$, zatem $W(x)=2x^3+3x^2-11x-6.$

Krok 6. Rozkład na czynniki

Wiemy z warunku, że $x=2$ jest pierwiastkiem, więc $(x-2)$ jest dzielnikiem. Dzieląc $2x^3+3x^2-11x-6$ przez $(x-2)$ otrzymujemy $2x^3+3x^2-11x-6=(x-2)(2x^2+7x+3).$

Czynnik kwadratowy rozkładamy: $\Delta =49-24=25$, $\sqrt{\Delta }=5$, więc $x=\frac{-7\pm 5}{4}⟹x=-\frac{1}{2}\text{lub}x=-3.$ Zatem $2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)$ i ostatecznie $W(x)=(x-2)(2x+1)(x+3).$

Pierwiastki: $x=-3,x=-\frac{1}{2},x=2$.

Krok 7. Rozwiązujemy nierówność $W(x)\le 0$

Zapiszmy $W(x)=2\left(x+3\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)$. Współczynnik przy $x^3$ jest dodatni, więc wykres wielomianu trzeciego stopnia (o trzech różnych pierwiastkach) idzie z $-\infty$ do $+\infty$ i zmienia znak w kolejnych pierwiastkach. Idąc od lewej:

• dla $x<-3$: $W(x)<0$,
• dla $-3<x<-\frac{1}{2}$: $W(x)>0$,
• dla $-\frac{1}{2}<x<2$: $W(x)<0$,
• dla $x>2$: $W(x)>0$.

Szukamy $W(x)\le 0$ (nierówność nieostra), więc bierzemy przedziały ujemne wraz z pierwiastkami (bo w pierwiastkach $W(x)=0$). Końce są więc domknięte: $x\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨-\frac{1}{2},2⟩.$

Odpowiedź: $m=1$, a zbiorem rozwiązań nierówności $W(x)\le 0$ jest $x\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨-\frac{1}{2},2⟩$.

Krok 1. Upraszczamy sumę sinusów

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}.$

Podstawiamy $\alpha =x-\frac{\pi }{3}$ oraz $\beta =x+\frac{\pi }{3}$. Wtedy $\frac{\alpha +\beta }{2}=x,\frac{\alpha -\beta }{2}=\frac{-\frac{2\pi }{3}}{2}=-\frac{\pi }{3}.$

Zatem $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin x\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=2\sin x\cos \frac{\pi }{3}.$

Ponieważ $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, otrzymujemy $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin x\cdot \frac{1}{2}=\sin x.$

(Skorzystaliśmy też z parzystości kosinusa: $\cos (-t)=\cos t$.)

Krok 2. Zapisujemy równanie w prostszej postaci

Równanie $\cos x\left(\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\right)=\frac{1}{2}\sin x$ przyjmuje postać $\cos x\cdot \sin x=\frac{1}{2}\sin x.$

Krok 3. Przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik

$\sin x\cos x-\frac{1}{2}\sin x=0⟺\sin x\left(\cos x-\frac{1}{2}\right)=0.$

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników się zeruje: $\sin x=0\text{lub}\cos x=\frac{1}{2}.$

Krok 4. Rozwiązujemy $\sin x=0$

$\sin x=0⟺x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Krok 5. Rozwiązujemy $\cos x=\frac{1}{2}$

Kosinus przyjmuje wartość $\frac{1}{2}$ dla $x=\frac{\pi }{3}$ oraz $x=-\frac{\pi }{3}$ w okresie podstawowym, stąd $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \text{lub}x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Zadanie nie ogranicza $x$ do żadnego przedziału, więc podajemy pełne serie rozwiązań.

Odpowiedź: $x=k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ lub $x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathbb{Z}$.

Krok 1. Wprowadzamy oznaczenia i opisujemy bryłę

Graniastosłup prawidłowy trójkątny to graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny. Oznaczmy:

• $a$ — długość krawędzi podstawy (bok trójkąta równobocznego), $a>0$,
• $h$ — wysokość graniastosłupa (długość krawędzi bocznej), $h>0$.

Pole podstawy (trójkąta równobocznego o boku $a$) wynosi $P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Krok 2. Wykorzystujemy warunek na objętość

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość: $V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h=2.$

Wyznaczamy stąd $h$: $h=\frac{8}{a^2\sqrt{3}}.$

Dzięki temu wszystko sprowadzimy do jednej zmiennej $a$.

Krok 3. Zapisujemy pole powierzchni całkowitej

Na powierzchnię całkowitą składają się dwie podstawy oraz trzy prostokątne ściany boczne o wymiarach $a\times h$: $P_c=2\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot ah=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3ah.$

Podstawiamy $h=\frac{8}{a^2\sqrt{3}}$: $3ah=3a\cdot \frac{8}{a^2\sqrt{3}}=\frac{24}{a\sqrt{3}}=\frac{24}{a\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{3}}{3a}=\frac{8\sqrt{3}}{a}.$

Zatem funkcja pola całkowitego zależna od $a$ to $f(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{8\sqrt{3}}{a},a\in (0,+\infty ).$

Krok 4. Liczymy pochodną

Różniczkujemy po $a$ (składnik $\frac{8\sqrt{3}}{a}=8\sqrt{3}{a}^{-1}$): $f^{\prime }(a)=\frac{2a\sqrt{3}}{2}-\frac{8\sqrt{3}}{a^2}=a\sqrt{3}-\frac{8\sqrt{3}}{a^2}.$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $f^{\prime }(a)=\frac{a^3\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{a^2}=\frac{\sqrt{3}(a^3-8)}{a^2}.$

Krok 5. Znajdujemy punkt krytyczny

Dla $a>0$ mianownik $a^2>0$ i $\sqrt{3}>0$, więc znak $f^{\prime }(a)$ zależy tylko od $a^3-8$: $f^{\prime }(a)=0⟺a^3-8=0⟺a^3=8⟺a=2.$

Krok 6. Uzasadniamy, że to minimum (badanie znaku pochodnej)

• Dla $a\in (0,2)$: $a^3<8$, więc $a^3-8<0$, czyli $f^{\prime }(a)<0$ — funkcja $f$ maleje.
• Dla $a\in (2,+\infty )$: $a^3>8$, więc $a^3-8>0$, czyli $f^{\prime }(a)>0$ — funkcja $f$ rośnie.

Pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie $a=2$, zatem funkcja $f$ osiąga tam minimum, i to minimum globalne na $(0,+\infty )$ (funkcja najpierw maleje, potem rośnie).

Krok 7. Obliczamy wymiary i najmniejsze pole

Wysokość dla $a=2$: $h=\frac{8}{a^2\sqrt{3}}=\frac{8}{4\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Najmniejsze pole całkowite: $f(2)=\frac{2^2\sqrt{3}}{2}+\frac{8\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}+4\sqrt{3}=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=6\sqrt{3}.$

Odpowiedź: pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze dla krawędzi podstawy $a=2$ i wysokości $h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$, a to najmniejsze pole wynosi $6\sqrt{3}$.