Matematyka PR — Maj 2018

Krok 1. Sprowadź wszystkie liczby do potęg dwójki

Wygodnie jest zapisać każdą liczbę jako potęgę $2$. Zauważmy, że $\sqrt[4]{8}=8^{1/4}=(2^3{)}^{1/4}=2^{3/4}$.

Krok 2. Liczba $k$

Z definicji $k=2^{-\frac{1}{4}}.$

Krok 3. Sprawdzamy liczbę $a$

$a=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}=\frac{2^{3/4}}{2^1}=2^{3/4-1}=2^{-1/4}.$ Widzimy, że $a=2^{-1/4}=k$. To już wskazuje odpowiedź A, ale dla pewności sprawdźmy pozostałe.

Krok 4. Odrzucenie B, C, D

$b=\frac{1}{2\sqrt[4]{8}}=\frac{1}{2^1\cdot 2^{3/4}}=2^{-(1+3/4)}=2^{-7/4}\ne k.$ $c=\sqrt[4]{8}=2^{3/4}\ne k.$ $d=\frac{2}{\sqrt[4]{8}}=\frac{2^1}{2^{3/4}}=2^{1-3/4}=2^{1/4}\ne k.$ Żadna z liczb $b,c,d$ nie ma wykładnika $-\frac{1}{4}$.

Odpowiedź: A. $k=a=2^{-1/4}$.

Krok 1. Podstawienie upraszczające

W równaniu $||x|-2|=|x|+2$ wszędzie występuje $|x|$. Wprowadźmy więc $t=|x|$, przy czym z definicji wartości bezwzględnej $t\ge 0$. Równanie przybiera postać $|t-2|=t+2.$

Krok 2. Rozbicie na przypadki względem znaku $t-2$

Przypadek 1: $t\ge 2$. Wtedy $|t-2|=t-2$ i równanie to $t-2=t+2⟹-2=2,$ co jest sprzecznością. Brak rozwiązań w tym przedziale.

Przypadek 2: $0\le t<2$. Wtedy $|t-2|=2-t$ i równanie to $2-t=t+2⟹-2t=0⟹t=0.$ Wartość $t=0$ mieści się w przedziale $0\le t<2$, więc jest przyjęta.

Krok 3. Powrót do zmiennej $x$

Mamy $t=|x|=0$, skąd $x=0$. To jedyna liczba spełniająca równanie.

Krok 4. Wniosek

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: B. Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie ($x=0$).

Krok 1. Zamiana odwrotności logarytmu

Kluczowa jest tożsamość zmiany podstawy: ${\log }_{20}5=\frac{1}{{\log }_{5}20}$, a zatem $\frac{1}{{\log }_{20}5}={\log }_{5}20.$

Krok 2. Przekształcenie pierwszego składnika

Korzystamy z własności $2{\log }_{5}10={\log }_{5}10^2={\log }_{5}100$.

Krok 3. Odejmowanie logarytmów o tej samej podstawie

$2{\log }_{5}10-\frac{1}{{\log }_{20}5}={\log }_{5}100-{\log }_{5}20={\log }_5\frac{100}{20}={\log }_{5}5.$

Krok 4. Wynik

${\log }_{5}5=1.$

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1. Rozkład mianownika

Mianownik rozkładamy na czynniki. Pierwiastki równania $x^2-5x+6=0$ to $x=2$ i $x=3$, więc $x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$ Wyrażenie przyjmuje postać $\frac{-x+2}{(x-2)(x-3)}.$

Krok 2. Analiza zachowania przy $x\to 3^{-}$

Rozważamy $x$ dążące do $3$ od strony lewej (wartości nieco mniejsze od $3$).

• Licznik: $-x+2\to -3+2=-1$ (wartość ujemna, skończona).
• Czynnik $(x-2)\to 3-2=1>0$ (dodatni).
• Czynnik $(x-3)$: dla $x<3$ mamy $x-3<0$, a przy $x\to 3^{-}$ zmierza do $0$ od strony ujemnej, czyli $(x-3)\to 0^{-}$.

Krok 3. Znak i wartość granicy

Mianownik $(x-2)(x-3)$ to iloczyn liczby dodatniej i liczby dążącej do $0^{-}$, więc mianownik $\to 0^{-}$. Iloraz to $\frac{\text{liczba ujemna}}{0^{-}}.$ Ujemne przez ujemne daje wartość dodatnią, a dzielenie przez liczbę bliską zeru daje wartość nieograniczenie rosnącą. Zatem ${\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{-x+2}{x^2-5x+6}=+\infty .$

Odpowiedź: D. $+\infty$.

Krok 1. Co jest środkiem symetrii funkcji homograficznej

Wykresem funkcji homograficznej $f(x)=\frac{ax+7}{x+d}$ jest hiperbola, a jej środkiem symetrii jest punkt przecięcia obu asymptot: pionowej i poziomej. Wystarczy więc wyznaczyć te asymptoty i porównać ich punkt wspólny z danym punktem $A=(-5,3)$.

Krok 2. Asymptota pionowa: $x=-d$

Mianownik $x+d$ zeruje się dla $x=-d$. W tym punkcie funkcja nie jest określona, a jej wartości rosną co do modułu nieograniczenie, bo dzielimy przez liczbę bliską zeru. Dlatego prosta $x=-d$ jest asymptotą pionową.

Krok 3. Asymptota pozioma: $y=a$

Asymptotę poziomą wyznacza granica funkcji w nieskończoności. Dzieląc licznik i mianownik przez $x$: $f(x)=\frac{ax+7}{x+d}=\frac{a+\frac{7}{x}}{1+\frac{d}{x}}\underset{x\to \pm \infty }{\to }\frac{a+0}{1+0}=a.$ Wartości funkcji zbliżają się więc do $a$, gdy $x$ oddala się do nieskończoności. Zatem prosta $y=a$ jest asymptotą poziomą.

Krok 4. Porównanie z punktem $A$

Punkt przecięcia asymptot ma współrzędne $(-d,a)$. Skoro środkiem symetrii jest $A=(-5,3)$, to $-d=-5⟹d=5,a=3.$

Krok 5. Obliczenie ilorazu i zakodowanie wyniku

$\frac{d}{a}=\frac{5}{3}=1,6666\dots =1,(6).$ Cyfra jedności to $1$, a pierwsze dwie cyfry po przecinku to $6$ i $6$. Kodujemy więc $1,6,6$ (kod $166$).

Odpowiedź: $\frac{d}{a}=\frac{5}{3}=1,(6)$; wpisujemy cyfry $1,6,6$ (kod $166$).

Krok 1. Współczynnik kierunkowy stycznej

Styczna nachylona do osi $Ox$ pod kątem $30^{\circ }$ ma współczynnik kierunkowy równy tangensowi tego kąta: $m=\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Krok 2. Pochodna funkcji

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $x_0$ to wartość pochodnej $f^{\prime }(x_0)$. Dla $f(x)=\sqrt{3}{x}^2-1$ mamy $f^{\prime }(x)=2\sqrt{3}x.$

Krok 3. Wyznaczenie odciętej $x_0$

Porównujemy pochodną z żądanym współczynnikiem: $2\sqrt{3}{x}_0=\frac{\sqrt{3}}{3}.$ Dzielimy obie strony przez $\sqrt{3}$: $2x_0=\frac{1}{3}⟹x_0=\frac{1}{6}.$

Krok 4. Wyznaczenie rzędnej $y_0$

Podstawiamy $x_0=\frac{1}{6}$ do wzoru funkcji: $y_0=\sqrt{3}{\left(\frac{1}{6}\right)}^2-1=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{36}-1=\frac{\sqrt{3}}{36}-1=\frac{\sqrt{3}-36}{36}.$

Krok 5. Współrzędne punktu $P$

$P=\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{3}-36}{36}\right).$

Odpowiedź: $P=\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{3}-36}{36}\right).$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń kątów

Oznaczmy kąty trójkąta $ABC$ następująco: $\angle BAC=2\alpha ,\angle ABC=2\beta ,\angle ACB=2\gamma .$

Suma kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }$, więc 2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha + \beta + \gamma = 90^\circ. \tag{$\ast$}

Dwusieczne $d_A,d_B,d_C$ dzielą te kąty na połowy: przy wierzchołku $A$ na dwa kąty po $\alpha$, przy $B$ — po $\beta$, przy $C$ — po $\gamma$.

Krok 2. Jak działają kolejne symetrie

Punkt $K$ leży na boku $AB$ (to punkt przecięcia dwusiecznej $d_C$ z bokiem $AB$). Tworzymy kolejno:

• $L$ — obraz $K$ w symetrii względem $d_A$ (dwusiecznej kąta przy $A$),
• $M$ — obraz $L$ w symetrii względem $d_C$ (dwusiecznej kąta przy $C$),
• $N$ — obraz $M$ w symetrii względem $d_B$ (dwusiecznej kąta przy $B$).

Symetria osiowa jest izometrią — zachowuje odległości. Kluczowa obserwacja: jeżeli symetria względem prostej przechodzącej przez wierzchołek kąta odbija punkt $K$ na punkt $L$, to wierzchołek ten jest jednakowo oddalony od $K$ i od $L$ (bo oś symetrii jest symetralną odcinka $KL$).

Stąd otrzymujemy równości odległości: $|AK|=|AL|,|CL|=|CM|,|BM|=|BN|.$

Każda z tych par tworzy trójkąt równoramienny o wierzchołku odpowiednio w $A$, $C$, $B$.

Krok 3. Obliczenie kąta $\angle LKN$ przy wierzchołku $K$

Rozważmy trójkąt równoramienny $AKL$ (ramiona $|AK|=|AL|$). Oś symetrii $d_A$ jest jednocześnie symetralną podstawy $KL$ i dwusieczną kąta wierzchołkowego $\angle KAL$. Niech $P$ będzie punktem przecięcia dwusiecznej $d_A$ z odcinkiem $KL$ (spodek wysokości/symetralnej).

Dwusieczna dzieli kąt $\angle KAL$ na dwie równe części. Ponieważ $K$ leży na ramieniu $AB$, kąt między $d_A$ a odcinkiem $AK$ wynosi dokładnie połowę kąta przy $A$, czyli $\angle KAP=\alpha .$

W trójkącie $AKP$ kąt przy $P$ jest prosty (bo $AP\perp KL$ w trójkącie równoramiennym), więc $\angle AKP=90^{\circ }-\alpha .$

Kąt $\angle AKP$ to kąt między bokiem $AB$ (prostą $AK$) a odcinkiem $KL$. Punkt $N$ leży po przeciwnej stronie — kąt $\angle LKN$ jest kątem czworokąta przy wierzchołku $K$, dopełniającym $\angle AKP$ do kąta półpełnego (bo $A$, $K$ leżą na jednej prostej $AB$, a $N$ jest kolejnym wierzchołkiem czworokąta). Zatem \angle LKN = 180^\circ - \angle AKP = 180^\circ - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ + \alpha. \tag{1}

Krok 4. Obliczenie kąta $\angle LMN$ przy wierzchołku $M$

Punkt $M$ powstaje z dwóch symetrii: względem $d_C$ (dającej równoramienny trójkąt $CLM$, $|CL|=|CM|$) oraz jest odbijany na $N$ względem $d_B$ (trójkąt $BMN$, $|BM|=|BN|$). Do kąta $\angle LMN$ przyczyniają się więc dwa fragmenty — od strony $C$ i od strony $B$.

Z trójkąta równoramiennego $CLM$: niech $R$ będzie spodkiem symetralnej podstawy $LM$ na dwusiecznej $d_C$. Kąt między $d_C$ a ramieniem wynosi $\gamma$ (połowa kąta przy $C$), a kąt przy $R$ jest prosty, więc $\angle CMR=90^{\circ }-\gamma .$

Analogicznie z trójkąta równoramiennego $BMN$: niech $Q$ będzie spodkiem symetralnej podstawy $MN$ na dwusiecznej $d_B$. Kąt między $d_B$ a ramieniem wynosi $\beta$, a kąt przy $Q$ jest prosty, więc $\angle BMQ=90^{\circ }-\beta .$

Kąt $\angle LMN$ przy wierzchołku $M$ to kąt pełnego czworokąta pomniejszony o te dwa przyległe kąty leżące „na zewnątrz" po stronach $C$ i $B$ (kierunki $ML$ i $MN$ odchylają się od kierunków ku $C$ i $B$ właśnie o te kąty). Dostajemy \angle LMN = 180^\circ - \angle CMR - \angle BMQ = 180^\circ - (90^\circ - \gamma) - (90^\circ - \beta) = \beta + \gamma. \tag{2}

Krok 5. Suma przeciwległych kątów czworokąta $KNML$

W czworokącie $KNML$ wierzchołki $K$ i $M$ są przeciwległe. Dodając (1) i (2) oraz korzystając z zależności $(\ast )$, czyli $\alpha +\beta +\gamma =90^{\circ }$: $\angle LKN+\angle LMN=(90^{\circ }+\alpha )+(\beta +\gamma )=90^{\circ }+(\alpha +\beta +\gamma )=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }.$

Krok 6. Wniosek

Otrzymaliśmy, że suma dwóch przeciwległych kątów czworokąta $KNML$ wynosi $180^{\circ }$. Ponieważ suma wszystkich czterech kątów czworokąta to $360^{\circ }$, także druga para przeciwległych kątów sumuje się do $180^{\circ }$.

Czworokąt, w którym sumy przeciwległych kątów są równe $180^{\circ }$, jest czworokątem wpisanym — można na nim opisać okrąg.

Uwaga (alternatywne uzasadnienie). Punkt $I$ przecięcia dwusiecznych $d_A,d_B,d_C$ (środek okręgu wpisanego) leży na każdej z osi symetrii. Ponieważ oś symetrii jest symetralną odcinka łączącego punkt i jego obraz, prosta $d_A$ jest symetralną $KL$, prosta $d_C$ — symetralną $LM$, a prosta $d_B$ — symetralną $MN$. Punkt $I$ leży na wszystkich trzech symetralnych, więc $|IK|=|IL|=|IM|=|IN|.$ Zatem $I$ jest równoodległy od czterech punktów $K,L,M,N$, czyli jest środkiem okręgu przechodzącego przez nie wszystkie. To bezpośrednio dowodzi, że na czworokącie $KNML$ można opisać okrąg.

Krok 1. Rozkład wyrażenia na czynniki

Niech $k$ i $m$ będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Rozłóżmy wyrażenie na czynniki: $k^{3}m-k{m}^3=km(k^2-m^2)=km(k-m)(k+m).$

Mamy więc iloczyn czterech czynników: $k$, $m$, $k-m$ oraz $k+m$. Aby wykazać podzielność przez $6=2\cdot 3$, pokażemy osobno podzielność przez $2$ i przez $3$ (liczby te są względnie pierwsze, więc podzielność przez oba oznacza podzielność przez ich iloczyn).

Krok 2. Podzielność przez 2

Rozważmy parzystość liczb $k$ i $m$.

• Jeśli choć jedna z liczb $k$, $m$ jest parzysta — to czynnik $k$ lub $m$ jest parzysty, więc cały iloczyn $km(k-m)(k+m)$ jest podzielny przez $2$.
• Jeśli obie liczby $k$, $m$ są nieparzyste — to ich suma $k+m$ jest parzysta (nieparzysta + nieparzysta = parzysta), więc iloczyn znowu jest podzielny przez $2$.

W obu przypadkach wyrażenie dzieli się przez $2$.

Krok 3. Podzielność przez 3

Rozważmy reszty z dzielenia $k$ i $m$ przez $3$ (możliwe reszty to $0,1,2$).

• Jeśli któraś z liczb $k$, $m$ daje resztę $0$ (jest podzielna przez $3$) — to czynnik $k$ lub $m$ jest podzielny przez $3$, więc cały iloczyn też.
• Jeśli obie dają tę samą niezerową resztę (obie resztę $1$ albo obie resztę $2$) — to ich różnica $k-m$ daje resztę $0$, czyli $k-m$ jest podzielne przez $3$.
• Jeśli reszty są różne i niezerowe (jedna daje $1$, druga $2$) — to ich suma $k+m$ daje resztę $1+2=3\equiv 0$, czyli $k+m$ jest podzielne przez $3$.

We wszystkich przypadkach jeden z czynników iloczynu jest podzielny przez $3$, więc wyrażenie dzieli się przez $3$.

Krok 4. Wniosek

Wyrażenie $k^{3}m-k{m}^3$ jest podzielne zarówno przez $2$, jak i przez $3$. Ponieważ $\mathrm{NWD}(2,3)=1$, liczba dzieli się przez iloczyn $2\cdot 3=6$.

Zatem dla każdych liczb całkowitych $k$ i $m$ liczba $k^{3}m-k{m}^3$ jest podzielna przez $6$.

Krok 5. Sposób II (elegancki — trzy kolejne liczby)

Warto pokazać drugie, bardzo naturalne uzasadnienie. Przekształćmy: $k^{3}m-k{m}^3=km(k^2-m^2)=km[(k^2-1)-(m^2-1)].$

Rozpisując z rozdzielnością i grupując: $=m\cdot k(k^2-1)-k\cdot m(m^2-1)=m\cdot k(k-1)(k+1)-k\cdot m(m-1)(m+1).$

Wyrażenia $(k-1)k(k+1)$ oraz $(m-1)m(m+1)$ to iloczyny trzech kolejnych liczb całkowitych. Wśród każdych trzech kolejnych liczb całkowitych jest co najmniej jedna parzysta oraz dokładnie jedna podzielna przez $3$, więc każdy taki iloczyn jest podzielny przez $2\cdot 3=6$.

Skoro $k(k-1)(k+1)$ oraz $m(m-1)(m+1)$ dzielą się przez $6$, to również ich wielokrotności $m\cdot k(k-1)(k+1)$ i $k\cdot m(m-1)(m+1)$ dzielą się przez $6$, a więc i ich różnica. Zatem $k^{3}m-k{m}^3$ jest podzielne przez $6$.

Krok 1. Model probabilistyczny i moc zbioru zdarzeń elementarnych

Tworzymy ośmiowyrazowy ciąg bez powtórzeń ze wszystkich ośmiu elementów zbioru $Z=\{1,2,3,4,5,6,7,9\}.$

Ciąg bez powtórzeń wykorzystujący wszystkie $8$ liczb to po prostu ustawienie (permutacja) tych ośmiu różnych liczb. Wszystkie takie ciągi są jednakowo prawdopodobne, więc $|\Omega |=8!=40320.$

Krok 2. Rozdzielenie liczb na parzyste i nieparzyste

W zbiorze $Z$ są:

• 3 liczby parzyste: $2,4,6$,
• 5 liczb nieparzystych: $1,3,5,7,9$.

Zdarzenie $A$: żadne dwie liczby parzyste nie stoją obok siebie (nie są sąsiednimi wyrazami ciągu).

Krok 3. Metoda „przerw" (model rozdzielania)

Aby żadne dwie parzyste nie sąsiadowały, najpierw ustawiamy wszystkie liczby nieparzyste, a dopiero potem wstawiamy parzyste w powstałe „luki" — tak, by w każdą lukę trafiła co najwyżej jedna liczba parzysta. Wtedy parzyste są automatycznie porozdzielane liczbami nieparzystymi.

Ustawienie nieparzystych. Pięć różnych liczb nieparzystych możemy ustawić w rzędzie na $5!=120$ sposobów.

Powstałe przerwy. Pięć ustawionych liczb tworzy $6$ przerw: jedną przed pierwszą liczbą, cztery między kolejnymi liczbami i jedną po ostatniej. Schematycznie (kreski to przerwy): $\_n_1\_n_2\_n_3\_n_4\_n_5\_$ daje $6$ miejsc.

Wstawianie parzystych. Trzy różne liczby parzyste umieszczamy w tych przerwach tak, by każda była w innej przerwie (dzięki temu żadne dwie parzyste nie znajdą się obok siebie). Wybieramy $3$ przerwy spośród $6$ i rozmieszczamy w nich $3$ różne liczby parzyste — kolejno na $6\cdot 5\cdot 4=120$ sposobów (równoważnie $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\cdot 3!=20\cdot 6=120$).

Krok 4. Liczba zdarzeń sprzyjających

Z reguły mnożenia: $|A|=5!\cdot (6\cdot 5\cdot 4)=120\cdot 120=14400.$

Krok 5. Obliczenie prawdopodobieństwa

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{5!\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{8!}=\frac{120\cdot 120}{40320}=\frac{14400}{40320}.$

Skracamy ułamek. Dzieląc licznik i mianownik przez $2880$: $\frac{14400}{40320}=\frac{5}{14}.$

(Sprawdzenie: $2880\cdot 5=14400$ oraz $2880\cdot 14=40320$.)

Odpowiedź: $P(A)=\frac{5}{14}$.

Krok 1. Wyznaczam promień $R$ większej podstawy

Korzystam z podanego wzoru na objętość stożka ściętego: $V=\frac{1}{3}\pi H\left(r^2+rR+R^2\right).$

Podstawiam dane $H=10$, $r=6$, $V=840\pi$: $\frac{1}{3}\pi \cdot 10\cdot \left(36+6R+R^2\right)=840\pi .$

Dzielę obie strony przez $\pi$ i mnożę przez $3$: $10\left(R^2+6R+36\right)=2520.$

Dzielę przez $10$: $R^2+6R+36=252⟹R^2+6R-216=0.$

Krok 2. Rozwiązuję równanie kwadratowe

$\Delta =6^2-4\cdot 1\cdot (-216)=36+864=900,\sqrt{\Delta }=30.$

$R=\frac{-6\pm 30}{2}.$

Stąd $R=12$ lub $R=-18$. Promień musi być dodatni, więc $R=-18$ odrzucam. Zostaje $R=12.$

Warunek $r<R$ jest spełniony ($6<12$).

Krok 3. Analizuję przekrój osiowy bryły

Przekrój osiowy stożka ściętego (płaszczyzną przechodzącą przez oś obrotu) to trapez równoramienny. Jego podstawy to średnice kół podstaw:

• dolna (dłuższa): $2R=24$,
• górna (krótsza): $2r=12$,

a wysokość trapezu równa jest wysokości bryły: $H=10$.

Oznaczam dolną podstawę jako $AB$ ($|AB|=24$), górną jako $DC$ ($|DC|=12$), przy czym $D$ leży nad lewą częścią, a $C$ nad prawą. Rozpatruję przekątną $BD$.

Krok 4. Znajduję rzut przekątnej na dolną podstawę

Opuszczam z górnego wierzchołka $D$ wysokość trapezu na dolną podstawę; jej spodek oznaczam $E$. Wtedy $|DE|=H=10$ i kąt przy $E$ jest prosty.

Muszę wyznaczyć $|EB|$. Ustawiam oś liczbową na dolnej podstawie: niech lewy wierzchołek $A$ ma współrzędną $0$, wtedy $B$ ma współrzędną $24$. Trapez jest równoramienny, więc górna podstawa jest wyśrodkowana: jej lewy koniec $D$ rzutuje się na punkt oddalony od $A$ o $\frac{24-12}{2}=6$. Zatem spodek $E$ ma współrzędną $6$.

Stąd $|EB|=24-6=18.$

Można to zapisać ogólnie: $|EB|=\frac{2R-2r}{2}+2r=(R-r)+2r=R+r=12+6=18.$ Widać więc, dlaczego $|EB|=R+r$: od spodka wysokości do przeciwległego (prawego) wierzchołka dolnej podstawy mamy najpierw odcinek długości górnej średnicy $2r$, a potem prawy „nawis" $R-r$, co daje $2r+(R-r)=R+r$.

Krok 5. Obliczam długość przekątnej i szukany cosinus

W trójkącie prostokątnym $DEB$ (kąt prosty przy $E$) z twierdzenia Pitagorasa: $|BD|=\sqrt{|DE{|}^2+|EB{|}^2}=\sqrt{10^2+18^2}=\sqrt{100+324}=\sqrt{424}=2\sqrt{106}.$

Kąt $\angle DBE$ to kąt nachylenia przekątnej $BD$ do dolnej podstawy. Cosinus tego kąta to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej: $\cos \angle DBE=\frac{|EB|}{|BD|}=\frac{18}{2\sqrt{106}}=\frac{9}{\sqrt{106}}=\frac{9\sqrt{106}}{106}.$

Odpowiedź: Cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego do podstawy wynosi $\frac{9\sqrt{106}}{106}$.

Krok 1. Sprowadzam wszystko do funkcji kąta $3x$

Równanie: $\sin 6x+\cos 3x=2\sin 3x+1.$

Zauważam, że $6x=2\cdot 3x$, więc mogę użyć wzoru na sinus podwojonego kąta: $\sin 6x=\sin (2\cdot 3x)=2\sin 3x\cos 3x.$

Równanie przybiera postać zależną tylko od $3x$: $2\sin 3x\cos 3x+\cos 3x=2\sin 3x+1.$

Krok 2. Grupuję i rozkładam na czynniki

Przenoszę wszystko na lewą stronę: $2\sin 3x\cos 3x+\cos 3x-2\sin 3x-1=0.$

Grupuję wyrazy: $(2\sin 3x\cos 3x+\cos 3x)-(2\sin 3x+1)=0.$

Z pierwszej grupy wyłączam $\cos 3x$: $\cos 3x(2\sin 3x+1)-(2\sin 3x+1)=0.$

Teraz wyłączam wspólny czynnik $(2\sin 3x+1)$: $(2\sin 3x+1)(\cos 3x-1)=0.$

Krok 3. Rozbijam na dwa proste równania

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

(a) $2\sin 3x+1=0⟹\sin 3x=-\frac{1}{2},$

(b) $\cos 3x-1=0⟹\cos 3x=1.$

Krok 4. Ograniczam się do właściwego przedziału pomocniczego

Szukam $x\in ⟨0,\pi ⟩$. Ponieważ pracuję ze zmienną $3x$, wygodnie jest podstawić $t=3x$. Wtedy $x\in ⟨0,\pi ⟩⟺t=3x\in ⟨0,3\pi ⟩.$

Rozwiązania znajdę więc dla $t\in ⟨0,3\pi ⟩$, a na końcu podzielę przez $3$.

Krok 5. Równanie $\cos t=1$

Rozwiązania ogólne: $t=2k\pi$. W przedziale $⟨0,3\pi ⟩$ mieszczą się: $t=0(k=0),t=2\pi (k=1).$ (Dla $k=-1$ mamy $t=-2\pi <0$, dla $k=2$ mamy $t=4\pi >3\pi$ — odrzucam.)

Zatem $x=\frac{0}{3}=0$ oraz $x=\frac{2\pi }{3}$.

Krok 6. Równanie $\sin t=-\frac{1}{2}$

Sinus jest ujemny w III i IV ćwiartce. Rozwiązania ogólne: $t=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \text{lub}t=\frac{11\pi }{6}+2k\pi .$

Wybieram te $t$, które leżą w $⟨0,3\pi ⟩$ (czyli $t\le 3\pi \approx 9,42$):

• $t=\frac{7\pi }{6}\approx 3,67$ — należy; kolejne $\frac{7\pi }{6}+2\pi =\frac{19\pi }{6}\approx 9,95>3\pi$ — odrzucam,
• $t=\frac{11\pi }{6}\approx 5,76$ — należy; kolejne $\frac{11\pi }{6}+2\pi =\frac{23\pi }{6}>3\pi$ — odrzucam.

Dzielę przez $3$: $x=\frac{7\pi }{18},x=\frac{11\pi }{18}.$

Krok 7. Zbieram wszystkie rozwiązania

Łącząc wyniki z kroków 5 i 6 (wszystkie leżą w $⟨0,\pi ⟩$, bo $\frac{7\pi }{18}\approx 1,22$, $\frac{11\pi }{18}\approx 1,92$, $\frac{2\pi }{3}\approx 2,09<\pi \approx 3,14$): $x\in \left\{0,\frac{7\pi }{18},\frac{11\pi }{18},\frac{2\pi }{3}\right\}.$

Innych rozwiązań nie ma, bo przejrzeliśmy wszystkie wartości $k$ dające $t\in ⟨0,3\pi ⟩$.

Odpowiedź: $x\in \left\{0,\frac{7\pi }{18},\frac{11\pi }{18},\frac{2\pi }{3}\right\}$.

Krok 1. Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych

Rozważam równanie $x^2+(m+1)x-m^2+1=0.$

Aby miało dwa różne rozwiązania rzeczywiste, wyróżnik musi być dodatni ($\Delta >0$): $\Delta =(m+1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-m^2+1)=m^2+2m+1+4m^2-4=5m^2+2m-3.$

Rozwiązuję $5m^2+2m-3>0$. Miejsca zerowe: ${\Delta }_m=2^2-4\cdot 5\cdot (-3)=4+60=64,\sqrt{{\Delta }_m}=8,$ $m=\frac{-2\pm 8}{10}⟹m=\frac{3}{5}\text{lub}m=-1.$

Ramiona paraboli skierowane w górę, więc nierówność $>0$ zachodzi poza pierwiastkami: $m\in (-\infty ,-1)\cup \left(\frac{3}{5},+\infty \right)\text{(warunek I).}$

Krok 2. Wzory Viète'a

Dla $x_1,x_2$ (przy $\Delta >0$): $x_1+x_2=-(m+1),x_1{x}_2=-m^2+1.$

Krok 3. Przekształcam nierówność $x_1^3+x_2^3>-7x_1{x}_2$

Korzystam z tożsamości $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2).$

Nierówność zapisuję jako $x_1^3+x_2^3+7x_1{x}_2>0,$ czyli $(x_1+x_2{)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)+7x_1{x}_2>0.$

Podstawiam sumę i iloczyn: $(-(m+1){)}^3-3(-m^2+1)(-(m+1))+7(-m^2+1)>0.$

Upraszczam po kolei: $-(m+1{)}^3+3(m+1)(-m^2+1)+7(-m^2+1)>0.$

Krok 4. Wyłączam wspólny czynnik $(m+1)$

Zauważam, że $-m^2+1=(1-m)(1+m)=-(m+1)(m-1)$, więc $(m+1)$ jest wspólnym czynnikiem także w ostatnim składniku. Zapiszę wszystko z jawnym $(m+1)$:

• $-(m+1{)}^3=(m+1)\cdot [-(m+1{)}^2]$,
• $3(m+1)(-m^2+1)=(m+1)\cdot 3(-m^2+1)$,
• $7(-m^2+1)=7\cdot [-(m+1)(m-1)]=(m+1)\cdot [-7(m-1)].$

Wyłączam $(m+1)$: $(m+1)[-(m+1{)}^2+3(-m^2+1)-7(m-1)]>0.$

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym: $-(m^2+2m+1)-3m^2+3-7m+7=-m^2-2m-1-3m^2-7m+10=-4m^2-9m+9.$

Zatem nierówność przyjmuje postać $(m+1)\left(-4m^2-9m+9\right)>0.$

Krok 5. Rozwiązuję nierówność iloczynową

Miejsca zerowe drugiego czynnika: $-4m^2-9m+9=0$, czyli $4m^2+9m-9=0$: $\Delta =9^2-4\cdot 4\cdot (-9)=81+144=225,\sqrt{\Delta }=15,$ $m=\frac{-9\pm 15}{8}⟹m=\frac{3}{4}\text{lub}m=-3.$

Rozkładam: $-4m^2-9m+9=-4\left(m-\frac{3}{4}\right)(m+3)$. Nierówność: $(m+1)\cdot (-4)\left(m-\frac{3}{4}\right)(m+3)>0.$

Dzielę obie strony przez $-4$ (zmiana znaku nierówności): $(m+1)\left(m-\frac{3}{4}\right)(m+3)<0.$

Pierwiastki w kolejności rosnącej: $-3<-1<\frac{3}{4}$. Iloczyn trzech czynników (wielomian stopnia 3 o dodatnim współczynniku wiodącym) jest ujemny na: $m\in (-\infty ,-3)\cup \left(-1,\frac{3}{4}\right)\text{(warunek II).}$

Krok 6. Część wspólna warunków I i II

Szukam przecięcia: $[(-\infty ,-1)\cup \left(\frac{3}{5},+\infty \right)]\cap [(-\infty ,-3)\cup \left(-1,\frac{3}{4}\right)].$

Rozpatruję kawałkami:

• $(-\infty ,-3)$ zawiera się w $(-\infty ,-1)$ — należy w całości.
• Na przedziale $(-1,\frac{3}{4})$ warunek I wymaga $m>\frac{3}{5}$, więc zostaje $\left(\frac{3}{5},\frac{3}{4}\right)$.

Razem: $m\in (-\infty ,-3)\cup \left(\frac{3}{5},\frac{3}{4}\right).$

Wszystkie przedziały są otwarte: $\Delta >0$ jest ostre (różne pierwiastki) oraz badana nierówność jest ostra.

Odpowiedź: $m\in (-\infty ,-3)\cup \left(\frac{3}{5},\frac{3}{4}\right)$.

Krok 1. Zapisujemy wyrazy ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ każdy wyraz ma postać $a_n=a_1{q}^{n-1}$, gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, a $q$ to iloraz. Zapiszmy wyrazy z układu:

$a_3=a_1{q}^2,a_6=a_1{q}^5,a_4=a_1{q}^3,a_7=a_1{q}^6.$

Układ warunków przyjmuje więc postać:

$\{\begin{array}{l}{a}_1{q}^2+a_1{q}^5=-84\\ a_1{q}^3+a_1{q}^6=168\end{array}$

Krok 2. Wyłączamy wspólny czynnik i dzielimy równania

W każdym równaniu wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

$a_1{q}^2(1+q^3)=-84,a_1{q}^3(1+q^3)=168.$

Zauważmy, że drugie równanie to pierwsze pomnożone przez $q$ (bo $a_1{q}^3=q\cdot a_1{q}^2$). Możemy więc podzielić stronami drugie równanie przez pierwsze. Wolno to zrobić, bo prawa strona pierwszego równania $-84\ne 0$, a to znaczy, że i lewa strona jest niezerowa:

$\frac{a_1{q}^3(1+q^3)}{a_1{q}^2(1+q^3)}=\frac{168}{-84}.$

Po skróceniu $a_1$, $q^2$ oraz $(1+q^3)$ zostaje po lewej samo $q$:

$q=\frac{168}{-84}=-2.$

Krok 3. Wyznaczamy pierwszy wyraz $a_1$

Podstawiamy $q=-2$ do pierwszego równania $a_1{q}^2(1+q^3)=-84$:

$a_1\cdot (-2{)}^2\cdot (1+(-2{)}^3)=-84.$

Liczymy: $(-2{)}^2=4$ oraz $(-2{)}^3=-8$, więc $1+(-8)=-7$. Stąd

$a_1\cdot 4\cdot (-7)=-84\Rightarrow -28a_1=-84\Rightarrow a_1=3.$

Krok 4. Wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów

Dla ciągu geometrycznego o ilorazie $q\ne 1$ suma $n$ początkowych wyrazów wynosi

$S_n=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}.$

Podstawiamy $a_1=3$ i $q=-2$ (mianownik $q-1=-3$):

$S_n=3\cdot \frac{(-2{)}^n-1}{-2-1}=3\cdot \frac{(-2{)}^n-1}{-3}=-((-2{)}^n-1)=1-(-2{)}^n.$

Krok 5. Rozwiązujemy równanie $S_n=32769$

Szukamy $n$ takiego, że

$1-(-2{)}^n=32769\Rightarrow (-2{)}^n=1-32769=-32768.$

Wartość $(-2{)}^n$ jest ujemna. Ponieważ $(-2{)}^n=(-1{)}^n\cdot 2^n$, a $2^n>0$, znak zależy tylko od $(-1{)}^n$. Aby wynik był ujemny, musi być $(-1{)}^n=-1$, czyli $n$ musi być liczbą nieparzystą.

Teraz dopasowujemy potęgę dwójki. Mamy $32768=2^{15}$ (bo $2^{10}=1024$, $2^{15}=32\cdot 1024=32768$). Zatem

$-32768=-2^{15}=(-1{)}^{15}\cdot 2^{15}=(-2{)}^{15}.$

Wykładnik $15$ jest nieparzysty, więc znak się zgadza. Funkcja $n\mapsto (-2{)}^n$ przyjmuje każdą wartość co najwyżej raz (moduł $2^n$ jest ściśle rosnący), więc rozwiązanie jest jednoznaczne: $n=15$.

Sprawdzenie: $S_{15}=1-(-2{)}^{15}=1-(-32768)=1+32768=32769.$ Zgadza się.

Odpowiedź: $n=15$.

Krok 1. Odczytujemy dane o okręgu wpisanym

Okrąg wpisany w trójkąt ma równanie $x^2+y^2=10$, więc jego środek to $S=(0,0)$, a promień $r=\sqrt{10}$. Środek okręgu wpisanego leży wewnątrz trójkąta, a boki trójkąta są styczne do tego okręgu. W szczególności boki $AC$ i $AB$ wychodzące z wierzchołka $A=(7,-1)$ to dwie proste przechodzące przez $A$ i styczne do okręgu.

Krok 2. Wyznaczamy proste styczne poprowadzone z punktu $A$

Prosta przechodząca przez $A=(7,-1)$ o współczynniku kierunkowym $a$ ma równanie

$y=a(x-7)-1,\text{czyli}ax-y-7a-1=0.$

Prosta jest styczna do okręgu wtedy, gdy jej odległość od środka $S=(0,0)$ jest równa promieniowi $\sqrt{10}$. Odległość punktu $(0,0)$ od prostej $ax-y-7a-1=0$:

$\frac{|a\cdot 0-0-7a-1|}{\sqrt{a^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-7a-1|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}.$

Podnosimy obustronnie do kwadratu:

$(-7a-1{)}^2=10(a^2+1)\Rightarrow 49a^2+14a+1=10a^2+10.$

Porządkujemy:

$39a^2+14a-9=0.$

Krok 3. Rozwiązujemy równanie kwadratowe

Liczymy wyróżnik:

$\Delta =14^2-4\cdot 39\cdot (-9)=196+1404=1600,\sqrt{\Delta }=40.$

Stąd

$a=\frac{-14\pm 40}{2\cdot 39}=\frac{-14\pm 40}{78}.$

Dwa rozwiązania:

$a_1=\frac{26}{78}=\frac{1}{3},a_2=\frac{-54}{78}=-\frac{9}{13}.$

Otrzymujemy dwie styczne wychodzące z $A$:

• dla $a=\frac{1}{3}$: $y=\frac{1}{3}(x-7)-1=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}-1=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}$,
• dla $a=-\frac{9}{13}$: $y=-\frac{9}{13}(x-7)-1=-\frac{9}{13}x+\frac{63}{13}-1=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}$.

Są to proste, na których leżą boki $AB$ i $AC$ trójkąta.

Krok 4. Ustalamy, na której prostej leży wierzchołek $C$

Z treści wiemy, że obie współrzędne wierzchołka $C$ są ujemne, więc $C$ leży w III ćwiartce układu współrzędnych. Sprawdźmy, która ze stycznych w ogóle wchodzi w III ćwiartkę (gdzie $x<0$ i $y<0$).

• Prosta $y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}$ ma dodatni współczynnik kierunkowy i ujemny wyraz wolny; dla $x<0$ przyjmuje wartości $y<-\frac{10}{3}<0$ — przechodzi przez III ćwiartkę.
• Prosta $y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}$ dla $x<0$ daje $y>\frac{50}{13}>0$ — nie wchodzi w III ćwiartkę.

Wierzchołek $C$ (o obu współrzędnych ujemnych) musi zatem leżeć na prostej

$AC:y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3},$

a drugie ramię z $A$, czyli bok $AB$, leży na prostej

$AB:y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}.$

Krok 5. Wykorzystujemy równoramienność — symetralna boku $AB$

Trójkąt jest równoramienny i $|AC|=|BC|$, więc wierzchołek $C$ jest jednakowo oddalony od $A$ i od $B$. Zbiorem punktów równoodległych od $A$ i $B$ jest symetralna odcinka $AB$ — prosta prostopadła do $AB$ i przechodząca przez jego środek.

Kluczowa obserwacja: w trójkącie równoramiennym symetralna podstawy $AB$ jest jednocześnie wysokością i dwusieczną kąta przy wierzchołku $C$, a więc przechodzi przez środek okręgu wpisanego $S=(0,0)$. Symetralna $l$ jest prostopadła do $AB$; współczynnik kierunkowy $AB$ to $-\frac{9}{13}$, więc współczynnik prostej prostopadłej to

$-\frac{1}{-\frac{9}{13}}=\frac{13}{9}.$

Ponieważ $l$ przechodzi przez $S=(0,0)$, ma równanie

$l:y=\frac{13}{9}x.$

Krok 6. Wyznaczamy wierzchołek $C$ jako przecięcie $AC$ i symetralnej $l$

Wierzchołek $C$ leży na prostej $AC$ oraz na symetralnej $l$ (bo $|AC|=|BC|$). Rozwiązujemy układ:

$\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}=\frac{13}{9}x.$

Mnożymy obustronnie przez $9$:

$3x-30=13x\Rightarrow -30=10x\Rightarrow x=-3.$

Wówczas $y=\frac{13}{9}\cdot (-3)=-\frac{13}{3}$. Zatem

$C=\left(-3,-\frac{13}{3}\right),$

co rzeczywiście ma obie współrzędne ujemne — zgodnie z warunkiem.

Krok 7. Wyznaczamy wierzchołek $B$ przez środek boku $AB$

Symetralna $l$ przecina bok $AB$ dokładnie w jego środku $D$. Znajdujemy $D$ jako punkt wspólny prostych $l$ i $AB$:

$\frac{13}{9}x=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}.$

Mnożymy obustronnie przez wspólny mianownik $117$ (czyli $9\cdot 13$):

$169x=-81x+450\Rightarrow 250x=450\Rightarrow x=\frac{9}{5}.$

Stąd $y=\frac{13}{9}\cdot \frac{9}{5}=\frac{13}{5}$, więc środek boku $AB$ to

$D=\left(\frac{9}{5},\frac{13}{5}\right).$

Punkt $D$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A=(7,-1)$, więc

$\frac{7+x_B}{2}=\frac{9}{5}\Rightarrow 7+x_B=\frac{18}{5}\Rightarrow x_B=\frac{18}{5}-7=-\frac{17}{5},$

$\frac{-1+y_B}{2}=\frac{13}{5}\Rightarrow -1+y_B=\frac{26}{5}\Rightarrow y_B=\frac{26}{5}+1=\frac{31}{5}.$

Zatem

$B=\left(-\frac{17}{5},\frac{31}{5}\right).$

Odpowiedź: $B=\left(-\frac{17}{5},\frac{31}{5}\right)$ oraz $C=\left(-3,-\frac{13}{3}\right)$.