Matematyka PR — Maj 2017

Krok 1. Oznaczmy składniki

Niech $u=\sqrt{2-\sqrt{3}}$ oraz $v=\sqrt{2+\sqrt{3}}$. Wtedy szukamy wartości $(u-v{)}^2$.

Krok 2. Zastosuj wzór skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzoru $(u-v{)}^2=u^2+v^2-2uv$.

Mamy: $u^2=2-\sqrt{3},v^2=2+\sqrt{3}.$

Zatem: $u^2+v^2=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4.$

Krok 3. Oblicz iloczyn $uv$

$uv=\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}.$

Wewnątrz pierwiastka rozpoznajemy różnicę kwadratów $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2=4-3=1$.

Zatem $uv=\sqrt{1}=1$.

Krok 4. Złóż wynik

$(u-v{)}^2=u^2+v^2-2uv=4-2\cdot 1=4-2=2.$

(Zauważmy, że wynik jest dodatni, co jest zgodne z tym, że kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny.)

Odpowiedź: A. Liczba jest równa $2$.

Krok 1. Wymnóż licznik

Rozpatrujemy ciąg $a_n=\frac{(n^2-10n)(2-3n)}{2n^3+n^2+3}.$

Wymnóżmy nawiasy w liczniku: $(n^2-10n)(2-3n)=2n^2-3n^3-20n+30n^2=-3n^3+32n^2-20n.$

Zatem: $a_n=\frac{-3n^3+32n^2-20n}{2n^3+n^2+3}.$

Krok 2. Wyłącz najwyższą potęgę $n$

W liczniku i mianowniku najwyższą potęgą jest $n^3$. Dzielimy licznik i mianownik przez $n^3$:

$a_n=\frac{-3+\frac{32}{n}-\frac{20}{n^2}}{2+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^3}}.$

Krok 3. Przejdź do granicy

Gdy $n\to \infty$, wszystkie ułamki postaci $\frac{c}{n},\frac{c}{n^2},\frac{c}{n^3}$ dążą do $0$. Zostają więc tylko wyrazy wolne:

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\frac{-3+0-0}{2+0+0}=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}.$

Odpowiedź: D. Granica ciągu jest równa $-\frac{3}{2}$.

Krok 1. Kąt przy wierzchołku $C$ w trójkącie $ACD$

Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta $ABC$, więc $CD\perp AB$, a zatem trójkąt $ACD$ ma kąt prosty przy wierzchołku $D$. Z założenia $AD=CD$, więc trójkąt $ACD$ jest prostokątny równoramienny.

Kąty ostre w takim trójkącie są równe $45^{\circ }$, więc: $\angle ACD=45^{\circ }.$

Krok 2. Kąt przy wierzchołku $C$ w trójkącie $BCD$

Trójkąt $BCD$ jest prostokątny w $D$ (bo $CD\perp AB$). Z założenia $CD=\frac{1}{2}BC$, więc: $\sin (\angle DBC)=\frac{CD}{BC}=\frac{\frac{1}{2}BC}{BC}=\frac{1}{2},$ skąd $\angle DBC=30^{\circ }$.

W trójkącie prostokątnym $BCD$ suma kątów ostrych wynosi $90^{\circ }$, zatem: $\angle DCB=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$

Krok 3. Kąt środkowy $\angle KCL$

Cały kąt przy wierzchołku $C$ trójkąta $ABC$ to suma: $\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=45^{\circ }+60^{\circ }=105^{\circ }.$

Punkty $K$ i $L$ leżą na ramionach $CA$ i $CB$ oraz na okręgu o środku $C$. Odcinki $CK$ i $CL$ są promieniami tego okręgu, więc kąt $\angle KCL$ jest kątem środkowym opartym na łuku $KL$ i wynosi tyle samo, co $\angle ACB$: $\angle KCL=105^{\circ }.$

Krok 4. Kąt wpisany $\alpha$

Kąt $\alpha$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku $KL$, co kąt środkowy $\angle KCL$. Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku kąt wpisany jest połową kąta środkowego: $\alpha =\frac{1}{2}\cdot \angle KCL=\frac{1}{2}\cdot 105^{\circ }=52,5^{\circ }.$

Odpowiedź: C. $\alpha =52,5^{\circ }$.

Krok 1. Wyznacz wektor $\overrightarrow{AB}$

Z warunku zadania $\overrightarrow{AB}=-3\vec{u}$, gdzie $\vec{u}=[-3,5]$. Mnożymy wektor przez skalar: $\overrightarrow{AB}=-3\cdot [-3,5]=[(-3)\cdot (-3),(-3)\cdot 5]=[9,-15].$

Krok 2. Skorzystaj z definicji wektora między punktami

Wektor łączący punkty $A$ i $B$ to $\overrightarrow{AB}=B-A$, czyli różnica współrzędnych końca i początku. Stąd: $A=B-\overrightarrow{AB}.$

Krok 3. Podstaw współrzędne

Dla $B=(-4,7)$ oraz $\overrightarrow{AB}=[9,-15]$: $A=(-4-9,7-(-15))=(-13,7+15)=(-13,22).$

Odpowiedź: B. $A=(-13,22)$.

Krok 1. Zastosuj twierdzenie o reszcie (Bézouta)

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x-2$ jest równa wartości wielomianu w punkcie $x=2$, czyli $W(2)$. Z treści wiemy, że ta reszta wynosi $1$, więc: $W(2)=1.$

Krok 2. Oblicz $W(2)$

Dla $W(x)=x^3-2x^2+ax+\frac{3}{4}$ podstawiamy $x=2$: $W(2)=2^3-2\cdot 2^2+a\cdot 2+\frac{3}{4}=8-8+2a+\frac{3}{4}=2a+\frac{3}{4}.$

Krok 3. Rozwiąż równanie

Przyrównujemy do reszty: $2a+\frac{3}{4}=1.$

Odejmujemy $\frac{3}{4}$ od obu stron: $2a=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.$

Dzielimy przez $2$: $a=\frac{1}{8}.$

Krok 4. Rozwinięcie dziesiętne i trzy pierwsze cyfry po przecinku

Zamieniamy ułamek na postać dziesiętną: $a=\frac{1}{8}=0,125.$

Trzy pierwsze cyfry po przecinku to $1$, $2$, $5$.

Odpowiedź: $a=\frac{1}{8}=0,125$; trzy pierwsze cyfry po przecinku to 1, 2, 5.

Krok 1. Sprawdzamy, że punkt $P$ leży na wykresie

Zanim wyznaczymy styczną, upewnijmy się, że punkt $P=(1,0)$ rzeczywiście należy do wykresu funkcji $f$. Podstawiamy $x=1$:

$f(1)=\frac{1-1}{1^2+1}=\frac{0}{2}=0.$

Drugą współrzędną punktu $P$ jest $0$, więc istotnie $f(1)=0$ i punkt $P$ leży na wykresie. To ważne, bo styczną wyznaczamy w punkcie należącym do krzywej.

Krok 2. Obliczamy pochodną funkcji

Funkcja $f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$ jest ilorazem dwóch funkcji, więc korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu:

${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}.$

Przyjmujemy $u=x-1$ oraz $v=x^2+1$, skąd $u^{\prime }=1$ i $v^{\prime }=2x$. Wtedy:

$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)-(x-1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}.$

Upraszczamy licznik:

$1\cdot (x^2+1)-(x-1)\cdot 2x=x^2+1-(2x^2-2x)=x^2+1-2x^2+2x=-x^2+2x+1.$

Zatem:

$f^{\prime }(x)=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1{)}^2}.$

Krok 3. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy stycznej

Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie o odciętej $x_0=1$ jest równy wartości pochodnej w tym punkcie:

$f^{\prime }(1)=\frac{-1^2+2\cdot 1+1}{(1^2+1{)}^2}=\frac{-1+2+1}{2^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi więc $a=\frac{1}{2}$.

Krok 4. Zapisujemy równanie stycznej

Styczna przechodzi przez punkt $P=(1,0)$ i ma współczynnik kierunkowy $\frac{1}{2}$. Korzystamy ze wzoru na prostą o zadanym współczynniku, przechodzącą przez dany punkt:

$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0),$

czyli

$y-0=\frac{1}{2}(x-1).$

Po przekształceniu:

$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.$

Odpowiedź: Równanie stycznej to $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$.

Krok 1. Co mamy udowodnić

Mamy wykazać, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ (czyli takich, że $x\ne y$) zachodzi nierówność:

$x^2{y}^2+2x^2+2y^2-8xy+4>0.$

Pomysł dowodu polega na tym, by lewą stronę zapisać jako sumę wyrażeń, o których od razu widać, czy są dodatnie, czy nieujemne — najlepiej jako sumę kwadratów.

Krok 2. Sprytne rozbicie środkowego składnika

Kluczowym pomysłem jest rozbicie wyrazu $-8xy$ na dwie równe części:

$-8xy=-4xy-4xy.$

Dzięki temu jedną część $-4xy$ zgrupujemy z wyrazami $x^2{y}^2$ oraz $4$, a drugą część $-4xy$ zgrupujemy z wyrazami $2x^2$ oraz $2y^2$. Przepisujemy więc lewą stronę nierówności, porządkując składniki:

$x^2{y}^2+2x^2+2y^2-8xy+4=\underset{\text{pierwsza grupa}}{\underbrace{x^2{y}^2-4xy+4}}+\underset{\text{druga grupa}}{\underbrace{2x^2-4xy+2y^2}}.$

Krok 3. Zwijamy każdą grupę do kwadratu

Pierwsza grupa. Wyrażenie $x^2{y}^2-4xy+4$ jest kwadratem różnicy. Zauważmy, że $x^2{y}^2=(xy{)}^2$, $4=2^2$, a wyraz środkowy $-4xy=-2\cdot (xy)\cdot 2$. Zatem:

$x^2{y}^2-4xy+4=(xy-2{)}^2.$

Druga grupa. Wyłączamy wspólny czynnik $2$:

$2x^2-4xy+2y^2=2\left(x^2-2xy+y^2\right)=2(x-y{)}^2,$

gdyż $x^2-2xy+y^2=(x-y{)}^2$.

Łącząc oba wyniki, otrzymujemy równoważną postać lewej strony:

$x^2{y}^2+2x^2+2y^2-8xy+4=(xy-2{)}^2+2(x-y{)}^2.$

Krok 4. Oceniamy znak otrzymanego wyrażenia

Rozpatrzmy oba składniki sumy $(xy-2{)}^2+2(x-y{)}^2$:

• Składnik $(xy-2{)}^2$ jest kwadratem liczby rzeczywistej, więc jest nieujemny: $(xy-2{)}^2\ge 0$.
• Składnik $2(x-y{)}^2$: z założenia liczby $x$ i $y$ są różne, czyli $x\ne y$, zatem $x-y\ne 0$, a stąd $(x-y{)}^2>0$. Po pomnożeniu przez $2$ dostajemy $2(x-y{)}^2>0$, czyli składnik ten jest dodatni.

Suma liczby nieujemnej i liczby dodatniej jest zawsze dodatnia. Zatem:

$(xy-2{)}^2+2(x-y{)}^2>0.$

Krok 5. Wniosek

Ponieważ lewa strona badanej nierówności jest równa $(xy-2{)}^2+2(x-y{)}^2$, a wyrażenie to jest dodatnie dla wszystkich różnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$, więc

$x^2{y}^2+2x^2+2y^2-8xy+4>0,$

co należało udowodnić.

Krok 1. Oznaczenia i plan dowodu

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ dane są: $|AB|=c$, $|BC|=a$ oraz $\angle ABC=\beta$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $E$. Oznaczmy szukaną długość odcinka jako $d=|BE|$. Chcemy wykazać, że

$d=\frac{2ac\cos \frac{\beta }{2}}{a+c}.$

Pomysł polega na porównaniu pól trójkątów. Punkt $E$ leży na boku $AC$, więc dwusieczna $BE$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa mniejsze trójkąty: $ABE$ oraz $CBE$. Pole całego trójkąta jest sumą pól tych dwóch części — obliczymy je na dwa sposoby i przyrównamy.

Krok 2. Dlaczego pole $ABC$ jest sumą pól $ABE$ i $CBE$

Punkt $E$ leży na odcinku $AC$ (jest punktem przecięcia dwusiecznej z bokiem $AC$), więc odcinek $BE$ rozcina trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty $ABE$ i $CBE$ o wspólnym boku $BE$, mające rozłączne wnętrza i wypełniające razem cały trójkąt $ABC$. Stąd:

$P_{ABC}=P_{ABE}+P_{CBE}.$

Krok 3. Pole trójkąta ze wzoru z sinusem kąta

Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

$P=\frac{1}{2}\cdot (\text{bok})\cdot (\text{bok})\cdot \sin (\text{kąt między tymi bokami}).$

Pole całego trójkąta $ABC$. Boki $AB=c$ i $BC=a$ wychodzą z wierzchołka $B$, a kąt między nimi to $\beta$:

$P_{ABC}=\frac{1}{2}ac\sin \beta .$

Pola trójkątów $ABE$ i $CBE$. Dwusieczna dzieli kąt $\beta$ na dwa równe kąty o mierze $\frac{\beta }{2}$ każdy. W trójkącie $ABE$ z wierzchołka $B$ wychodzą boki $BA=c$ oraz $BE=d$, a kąt między nimi (kąt $\angle ABE$) wynosi $\frac{\beta }{2}$. Zatem:

$P_{ABE}=\frac{1}{2}dc\sin \frac{\beta }{2}.$

Analogicznie w trójkącie $CBE$ z wierzchołka $B$ wychodzą boki $BC=a$ oraz $BE=d$, a kąt $\angle CBE$ również wynosi $\frac{\beta }{2}$, więc:

$P_{CBE}=\frac{1}{2}da\sin \frac{\beta }{2}.$

W obu przypadkach jednym z boków tworzących kąt jest wspólny odcinek $BE=d$ — dlatego wzór z sinusem stosuje się do nich w naturalny sposób.

Krok 4. Przyrównanie pól

Podstawiamy otrzymane wyrażenia do równości $P_{ABC}=P_{ABE}+P_{CBE}$:

$\frac{1}{2}ac\sin \beta =\frac{1}{2}dc\sin \frac{\beta }{2}+\frac{1}{2}da\sin \frac{\beta }{2}.$

Mnożymy obie strony przez $2$ i po prawej stronie wyłączamy wspólny czynnik $d\sin \frac{\beta }{2}$:

$ac\sin \beta =d(a+c)\sin \frac{\beta }{2}.$

Krok 5. Wykorzystanie wzoru na sinus kąta podwojonego

Stosujemy tożsamość $\sin \beta =2\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{\beta }{2}$ do lewej strony:

$ac\cdot 2\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{\beta }{2}=d(a+c)\sin \frac{\beta }{2}.$

Ponieważ $0<\beta <180^{\circ }$ (kąt trójkąta, w dodatku ostrokątnego), to $0<\frac{\beta }{2}<90^{\circ }$, a więc $\sin \frac{\beta }{2}\ne 0$. Możemy zatem obie strony podzielić przez $\sin \frac{\beta }{2}$:

$2ac\cos \frac{\beta }{2}=d(a+c).$

Krok 6. Wyznaczenie $d=|BE|$

Dzielimy obie strony przez $a+c$ (jest to suma długości boków, więc $a+c>0$):

$d=\frac{2ac\cos \frac{\beta }{2}}{a+c}.$

Otrzymaliśmy dokładnie żądaną równość, zatem

$|BE|=\frac{2ac\cos \frac{\beta }{2}}{a+c},$

co należało wykazać.

Krok 1. Ustalenie danych i planu

Mamy czworościan foremny $ABCD$ o krawędzi $a=6$ (wszystkie krawędzie mają długość $6$, wszystkie ściany to trójkąty równoboczne). W czworościan wpisana jest kula styczna do każdej ze ścian, o środku $S$. Płaszczyzna $\pi$ jest równoległa do jednej ze ścian (podstawy) i odcina przy przeciwległym wierzchołku mały czworościan o objętości $\frac{8}{27}$ objętości całej bryły. Szukamy odległości $d$ środka $S$ od płaszczyzny $\pi$.

Cały rachunek oprze się na jednej obserwacji: zarówno spodek wysokości czworościanu, jak i środek kuli wpisanej, jak i płaszczyzna $\pi$ są związane z tą samą prostą — wysokością czworościanu opuszczoną na podstawę. Dlatego wygodnie będzie mierzyć wszystko jako położenie na wysokości liczone od podstawy.

Krok 2. Wysokość czworościanu foremnego

Weźmy podstawę — trójkąt równoboczny o boku $6$. Jego wysokość (np. z wierzchołka $A$ do środka $K$ przeciwległego boku) wynosi $AK=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$

Spodkiem $O$ wysokości czworościanu (rzutem górnego wierzchołka $D$ na podstawę) jest środek ciężkości podstawy. Środek ciężkości dzieli wysokość trójkąta w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka, więc jego odległość od boku (a dokładniej odcinek $KO$ mierzony od punktu $K$ na boku) to $KO=\frac{1}{3}\cdot AK=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt{3}.$

Rozważmy trójkąt prostokątny o wierzchołkach: górny wierzchołek $D$, spodek $O$ i punkt $K$ na krawędzi podstawy. Przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej $DK=3\sqrt{3}$ (bo ściana boczna też jest trójkątem równobocznym o boku $6$), jedną z przyprostokątnych jest wysokość czworościanu $H=DO$, drugą — odcinek $OK=\sqrt{3}$. Z twierdzenia Pitagorasa: $H^2+(\sqrt{3}{)}^2=(3\sqrt{3}{)}^2,$ $H^2+3=27,H^2=24,H=2\sqrt{6}.$

Krok 3. Położenie środka kuli wpisanej na wysokości

Kluczowe: środek $S$ kuli wpisanej leży na wysokości czworościanu. Uzasadnienie: czworościan foremny ma bardzo dużą symetrię — prosta zawierająca wysokość $DO$ jest osią symetrii bryły (obrót o $120^{\circ }$ wokół niej przeprowadza czworościan na siebie). Środek kuli wpisanej jest punktem równo odległym od wszystkich czterech ścian, więc musi być niezmiennikiem każdej symetrii bryły; jedynym punktem leżącym na tej osi symetrii, który jednocześnie może być środkiem kuli, jest punkt tej osi. Zatem $S$ leży na prostej $DO$, czyli na wysokości.

Dla czworościanu foremnego środek kuli wpisanej pokrywa się ze środkiem ciężkości bryły i dzieli wysokość w stosunku $3:1$ licząc od wierzchołka, czyli leży w odległości $\frac{1}{4}H$ od podstawy. Można to zobaczyć rachunkiem objętościowym: dzieląc czworościan na cztery mniejsze ostrosłupy o wspólnym wierzchołku $S$ i podstawach będących ścianami, każda o polu $P$, dostajemy $V=4\cdot \frac{1}{3}PR,$ gdzie $R$ to promień kuli (odległość $S$ od każdej ściany). Z drugiej strony $V=\frac{1}{3}PH$ (bo pole podstawy również równe $P$). Stąd $\frac{1}{3}PH=\frac{4}{3}PR\Rightarrow R=\frac{H}{4}.$

Wysokość $S$ nad podstawą to zatem właśnie $R=\frac{1}{4}H$, bo kula jest styczna do podstawy, więc odległość $S$ od podstawy równa się promieniowi: $R=\frac{H}{4}=\frac{2\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$ Oznaczmy wysokość $S$ nad podstawą przez $h_S=\frac{1}{4}H$.

Krok 4. Położenie płaszczyzny $\pi$ na wysokości

Mały czworościan odcięty przy górnym wierzchołku $D$ jest podobny do całego czworościanu (bo $\pi \parallel$ podstawa). Stosunek objętości brył podobnych to sześcian skali podobieństwa $s$: $s^3=\frac{8}{27}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3\Rightarrow s=\frac{2}{3}.$

Mały czworościan ma wierzchołek w $D$, a jego wysokość (mierzona od $D$ wzdłuż prostej $DO$) jest $s$-krotnością wysokości całego, czyli $\frac{2}{3}H$. Zatem płaszczyzna $\pi$ leży w odległości $\frac{2}{3}H$ od wierzchołka $D$, a więc w odległości $h_{\pi }=H-\frac{2}{3}H=\frac{1}{3}H$ nad podstawą.

Krok 5. Odległość $S$ od płaszczyzny $\pi$

Płaszczyzna $\pi$ jest równoległa do podstawy, a wysokość $DO$ jest prostopadła do podstawy, więc jest też prostopadła do $\pi$. Ponieważ $S$ leży na tej wysokości, najkrótszy odcinek od $S$ do $\pi$ jest właśnie fragmentem wysokości — jest prostopadły do $\pi$. Wobec tego $d$ to po prostu różnica wysokości płaszczyzny $\pi$ i punktu $S$ nad podstawą: $d=h_{\pi }-h_S=\frac{1}{3}H-\frac{1}{4}H=\frac{4H-3H}{12}=\frac{1}{12}H.$

Podstawiając $H=2\sqrt{6}$: $d=\frac{1}{12}\cdot 2\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{6}}{12}=\frac{\sqrt{6}}{6}.$

(Sprawdzenie porządku: $h_S=\frac{1}{4}H\approx 0,25H$, a $h_{\pi }=\frac{1}{3}H\approx 0,33H$, więc płaszczyzna $\pi$ leży wyżej niż środek kuli — różnica jest dodatnia, co potwierdza sensowność wyniku.)

Odpowiedź: $d=\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji trygonometrycznej

Rozwiązujemy równanie $\cos 2x+3\cos x=-2\text{dla }x\in ⟨0,2\pi ⟩.$

Człon $\cos 2x$ zapiszemy przez $\cos x$, korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1.$

Wstawiamy do równania: $2{\cos }^{2}x-1+3\cos x=-2.$

Przenosimy wszystko na lewą stronę: $2{\cos }^{2}x+3\cos x+1=0.$

Krok 2. Podstawienie i równanie kwadratowe

Niech $t=\cos x$. Ponieważ wartości cosinusa mieszczą się w przedziale $[-1,1]$, mamy warunek $t\in [-1,1]$. Otrzymujemy równanie kwadratowe: $2t^2+3t+1=0.$

Wyróżnik: $\Delta =3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,\sqrt{\Delta }=1.$

Pierwiastki: $t_1=\frac{-3-1}{4}=-1,t_2=\frac{-3+1}{4}=-\frac{1}{2}.$

Oba pierwiastki należą do przedziału $[-1,1]$, więc oba są dopuszczalne.

Krok 3. Powrót do zmiennej $x$

Przypadek $\cos x=-1$. W przedziale $⟨0,2\pi ⟩$ cosinus przyjmuje wartość $-1$ tylko dla $x=\pi .$

Przypadek $\cos x=-\frac{1}{2}$. Cosinus jest ujemny w drugiej i trzeciej ćwiartce. Kąt odniesienia spełniający $\cos \alpha =\frac{1}{2}$ to $\alpha =\frac{\pi }{3}$, więc w $⟨0,2\pi ⟩$: $x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}\text{oraz}x=\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}.$

Krok 4. Zebranie rozwiązań

Wszystkie znalezione wartości leżą w przedziale $⟨0,2\pi ⟩$.

Odpowiedź: $x=\frac{2\pi }{3},x=\pi ,x=\frac{4\pi }{3}$.

Krok 1. Model probabilistyczny

Mamy $8$ ponumerowanych piłeczek ($1,2,\dots ,8$). Losujemy trzykrotnie ze zwracaniem, zapisując wyniki w kolejności. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane trójki liczb ze zbioru $\{1,\dots ,8\}$. Wszystkie są jednakowo prawdopodobne (model klasyczny), a ich liczba to $|\Omega |=8^3=512.$

Niech $A$ oznacza zdarzenie: iloczyn trzech wylosowanych liczb jest podzielny przez $4$.

Krok 2. Analiza podzielności przez 4

Podzielimy liczby $1,\dots ,8$ ze względu na czynnik $2$:

• nieparzyste: $1,3,5,7$ — $4$ liczby, nie wnoszą żadnego czynnika $2$,
• parzyste, ale nie podzielne przez $4$: $2,6$ — wnoszą dokładnie jeden czynnik $2$,
• podzielne przez $4$: $4,8$ — wnoszą co najmniej dwa czynniki $2$.

Łącznie parzystych jest $4$ (czyli $2,4,6,8$), a wśród nich podzielne przez $4$ to $2$ liczby ($4,8$).

Iloczyn jest podzielny przez $4=2^2$ dokładnie wtedy, gdy w rozkładzie iloczynu występują co najmniej dwa czynniki $2$. To zachodzi, gdy:

• są co najmniej dwie liczby parzyste (każda daje co najmniej jeden czynnik $2$, więc dwie parzyste dają razem $2\cdot 2=4$), albo
• jest dokładnie jedna liczba parzysta, ale podzielna przez $4$ (sama wnosi czynnik $4$).

Złóżmy to w rozłączne przypadki sprzyjające.

Krok 3. Zliczanie przypadków sprzyjających

Przypadek I: wszystkie trzy liczby parzyste. Na każdej z trzech pozycji wybieramy jedną z $4$ liczb parzystych: $4\cdot 4\cdot 4=64.$

Przypadek II: dokładnie dwie parzyste i jedna nieparzysta. Wybieramy pozycję dla liczby nieparzystej — $3$ możliwości. Na tej pozycji jedna z $4$ liczb nieparzystych, a na dwóch pozostałych po jednej z $4$ liczb parzystych: $3\cdot 4\cdot (4\cdot 4)=3\cdot 4\cdot 16=192.$ (Tu iloczyn jest podzielny przez $4$ niezależnie od tego, które parzyste wypadły, bo dwie parzyste zawsze dają czynnik $4$.)

Przypadek III: dokładnie jedna parzysta — i musi być podzielna przez $4$ — oraz dwie nieparzyste. Jeśli parzysta liczba jest tylko jedna, to aby iloczyn był podzielny przez $4$, ta jedna musi sama być podzielna przez $4$ (liczby $2$ lub $6$ dałyby tylko jeden czynnik $2$, więc iloczyn nie byłby podzielny przez $4$). Wybieramy pozycję dla liczby podzielnej przez $4$ — $3$ możliwości; na niej jedna z $2$ liczb ($4$ lub $8$), a na dwóch pozostałych po jednej z $4$ liczb nieparzystych: $3\cdot 2\cdot (4\cdot 4)=3\cdot 2\cdot 16=96.$

Przypadki I, II, III są parami rozłączne, więc liczba zdarzeń sprzyjających: $|A|=64+192+96=352.$

Krok 4. Obliczenie prawdopodobieństwa

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{352}{512}=\frac{11}{16}.$ (Skróciliśmy przez $32$: $352=32\cdot 11$, $512=32\cdot 16$.)

Krok 5. Rachunek kontrolny przez zdarzenie przeciwne

Zdarzenie przeciwne $A^{\prime }$: iloczyn nie jest podzielny przez $4$, czyli ma co najwyżej jeden czynnik $2$. To zachodzi, gdy:

• wszystkie trzy liczby nieparzyste: $4^3=64$, albo
• dokładnie jedna liczba parzysta, i to niepodzielna przez $4$ (czyli $2$ lub $6$), a dwie nieparzyste: $3\cdot 2\cdot (4\cdot 4)=96$.

Razem $|A^{\prime }|=64+96=160$, więc $P(A^{\prime })=\frac{160}{512}=\frac{5}{16},P(A)=1-\frac{5}{16}=\frac{11}{16}.$ Wynik się zgadza.

Odpowiedź: $P(A)=\frac{11}{16}$.

Krok 1. Warunek istnienia dwóch różnych rozwiązań rzeczywistych

Równanie $4x^2-6mx+(2m+3)(m-3)=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste dokładnie wtedy, gdy wyróżnik jest dodatni: $\Delta >0$.

Obliczmy $\Delta$. Tu $a=4$, $b=-6m$, $c=(2m+3)(m-3)$.

Najpierw wymnóżmy $c$: $(2m+3)(m-3)=2m^2-6m+3m-9=2m^2-3m-9.$

Stąd: $\Delta =(-6m{)}^2-4\cdot 4\cdot (2m^2-3m-9)=36m^2-16(2m^2-3m-9).$ $\Delta =36m^2-32m^2+48m+144=4m^2+48m+144=4(m^2+12m+36)=4(m+6{)}^2.$

Zatem: $\Delta >0⟺4(m+6{)}^2>0⟺(m+6{)}^2>0⟺m\ne -6.$

Zwróćmy uwagę: piszemy tu ostrą nierówność, a nie $\ge$. Gdyby $m=-6$, mielibyśmy $\Delta =0$, czyli jeden pierwiastek podwójny — a my potrzebujemy DWÓCH różnych. Dlatego $m=-6$ już na tym etapie odpada.

Krok 2. Przekształcenie warunku na pierwiastki

Zajmijmy się nierównością $(4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0$.

Ma ona postać $(A-1)(A+1)$, gdzie $A=4x_1-4x_2=4(x_1-x_2)$. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów: $(A-1)(A+1)=A^2-1=(4(x_1-x_2){)}^2-1=16(x_1-x_2{)}^2-1.$

Warunek przyjmuje więc postać: $16(x_1-x_2{)}^2-1<0.$

Krok 3. Wyrażenie $(x_1-x_2{)}^2$ przez wzory Viète'a

Skorzystamy z tożsamości: $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2.$

Ze wzorów Viète'a dla naszego równania: $x_1+x_2=\frac{6m}{4}=\frac{3m}{2},x_1{x}_2=\frac{(2m+3)(m-3)}{4}=\frac{2m^2-3m-9}{4}.$

Wstawiamy: $(x_1-x_2{)}^2={\left(\frac{3m}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{2m^2-3m-9}{4}=\frac{9m^2}{4}-(2m^2-3m-9).$ $=\frac{9m^2-8m^2+12m+36}{4}=\frac{m^2+12m+36}{4}=\frac{(m+6{)}^2}{4}.$

Krok 4. Rozwiązanie nierówności

Podstawiamy do warunku z Kroku 2: $16\cdot \frac{(m+6{)}^2}{4}-1<0\Rightarrow 4(m+6{)}^2-1<0\Rightarrow (m+6{)}^2<\frac{1}{4}.$

Stąd: $|m+6|<\frac{1}{2}⟺-\frac{1}{2}<m+6<\frac{1}{2}⟺-\frac{13}{2}<m<-\frac{11}{2}.$

Krok 5. Połączenie warunków

Musi być spełniony warunek z Kroku 1 ($m\ne -6$) ORAZ warunek z Kroku 4 ($m\in \left(-\frac{13}{2},-\frac{11}{2}\right)$).

Punkt $m=-6$ leży wewnątrz przedziału $\left(-\frac{13}{2},-\frac{11}{2}\right)$, więc trzeba go usunąć — bo choć spełnia nierówność, to dla niego równanie nie ma dwóch różnych rozwiązań. Część wspólna: $m\in \left(-\frac{13}{2},-6\right)\cup \left(-6,-\frac{11}{2}\right).$

Końce przedziałów są otwarte (bo nierówność w Kroku 4 była ostra), a $m=-6$ jest wyłączone.

Odpowiedź: $m\in \left(-\frac{13}{2},-6\right)\cup \left(-6,-\frac{11}{2}\right)$.

Krok 1. Pomysł na rozwiązanie

Szukany środek okręgu $S$ musi być jednakowo odległy od $A$ i $B$ (bo oba punkty leżą na okręgu), więc leży na symetralnej odcinka $AB$. Jednocześnie z treści wiemy, że $S$ leży na prostej $x-3y+1=0$. Znajdziemy $S$ jako przecięcie tych dwóch prostych.

Krok 2. Wyznaczenie symetralnej odcinka $AB$

Środek odcinka $AB$ dla $A=(-5,3)$, $B=(0,6)$: $D=\left(\frac{-5+0}{2},\frac{3+6}{2}\right)=\left(-\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right).$

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$: $a_{AB}=\frac{6-3}{0-(-5)}=\frac{3}{5}.$

Symetralna jest prostopadła do $AB$, więc jej współczynnik kierunkowy to $-\frac{1}{a_{AB}}=-\frac{5}{3}$. Przechodzi przez $D$: $y=-\frac{5}{3}x+b,\frac{9}{2}=-\frac{5}{3}\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)+b.$ $\frac{9}{2}=\frac{25}{6}+b\Rightarrow b=\frac{27}{6}-\frac{25}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$

Symetralna: $y=-\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}$.

Krok 3. Wyznaczenie środka $S$

Rozwiązujemy układ symetralnej z prostą $x-3y+1=0$. Z tej ostatniej: $x=3y-1$. Podstawiamy do symetralnej: $y=-\frac{5}{3}(3y-1)+\frac{1}{3}=-5y+\frac{5}{3}+\frac{1}{3}=-5y+2.$ $y+5y=2\Rightarrow 6y=2\Rightarrow y=\frac{1}{3}.$ $x=3\cdot \frac{1}{3}-1=0.$

Zatem $S=\left(0,\frac{1}{3}\right)$.

Krok 4. Obliczenie promienia

Promień to odległość $S$ od dowolnego z punktów, np. od $B=(0,6)$: $r^2=|SB{|}^2=(0-0{)}^2+{\left(6-\frac{1}{3}\right)}^2={\left(\frac{18-1}{3}\right)}^2={\left(\frac{17}{3}\right)}^2=\frac{289}{9}.$

Czyli $r=\frac{17}{3}$. (Można sprawdzić: $|SA{|}^2=(-5-0{)}^2+{\left(3-\frac{1}{3}\right)}^2=25+{\left(\frac{8}{3}\right)}^2=25+\frac{64}{9}=\frac{225+64}{9}=\frac{289}{9}$ — zgadza się.)

Krok 5. Równanie okręgu

$x^2+{\left(y-\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{289}{9}.$

Odpowiedź: $x^2+{\left(y-\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{289}{9}$ (środek $S=\left(0,\frac{1}{3}\right)$, promień $r=\frac{17}{3}$).

Krok 1. Wykorzystanie ciągu arytmetycznego

Liczby $a,b,c$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, więc środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów: $2b=a+c.$

Z warunku $a+b+c=27$ podstawiamy $a+c=2b$: $2b+b=27\Rightarrow 3b=27\Rightarrow b=9.$

Krok 2. Zapis przez różnicę ciągu

Oznaczmy różnicę ciągu arytmetycznego przez $r$. Wtedy: $a=b-r=9-r,c=b+r=9+r.$

Krok 3. Wykorzystanie ciągu geometrycznego

Ciąg $(a-2,b,2c+1)$ jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi skrajnych: $b^2=(a-2)(2c+1).$

Wyrazy skrajne w zależności od $r$: $a-2=(9-r)-2=7-r,2c+1=2(9+r)+1=19+2r.$

Zatem (pamiętając $b=9$): $81=(7-r)(19+2r).$

Krok 4. Rozwiązanie równania kwadratowego

Wymnażamy prawą stronę: $(7-r)(19+2r)=133+14r-19r-2r^2=133-5r-2r^2.$

Równanie: $81=133-5r-2r^2\Rightarrow 2r^2+5r+81-133=0\Rightarrow 2r^2+5r-52=0.$

Wyróżnik: $\Delta =5^2-4\cdot 2\cdot (-52)=25+416=441,\sqrt{\Delta }=21.$ $r=\frac{-5\pm 21}{4}.$

Stąd dwa przypadki: $r_1=\frac{-5+21}{4}=\frac{16}{4}=4,r_2=\frac{-5-21}{4}=\frac{-26}{4}=-\frac{13}{2}.$

Krok 5. Wyznaczenie trójek $a,b,c$

Przypadek $r=4$: $a=9-4=5,b=9,c=9+4=13\Rightarrow (a,b,c)=(5,9,13).$ Sprawdzenie: ciąg geometryczny $(5-2,9,2\cdot 13+1)=(3,9,27)$, iloraz $3$ — poprawnie, $9^2=3\cdot 27=81$.

Przypadek $r=-\frac{13}{2}$: $a=9-\left(-\frac{13}{2}\right)=9+\frac{13}{2}=\frac{31}{2},b=9,c=9+\left(-\frac{13}{2}\right)=\frac{5}{2}.$ Czyli $(a,b,c)=\left(\frac{31}{2},9,\frac{5}{2}\right)$. Sprawdzenie: ciąg geometryczny $\left(\frac{31}{2}-2,9,2\cdot \frac{5}{2}+1\right)=\left(\frac{27}{2},9,6\right)$; iloczyn skrajnych $\frac{27}{2}\cdot 6=81=9^2$ — poprawnie.

Odpowiedź: Istnieją dwa rozwiązania: $(a,b,c)=(5,9,13)$ oraz $(a,b,c)=\left(\frac{31}{2},9,\frac{5}{2}\right)$.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i związku między $h$ a $r$

Oznaczmy promień podstawy walca przez $r$, a wysokość przez $h$. Pole powierzchni całkowitej walca (dwie podstawy plus pobocznica) jest ustalone i wynosi $P$: $P=2\pi r^2+2\pi rh.$

Wyznaczamy z tego $h$: $2\pi rh=P-2\pi r^2\Rightarrow h=\frac{P-2\pi r^2}{2\pi r}.$

Aby $h>0$, musi zachodzić $P-2\pi r^2>0$, czyli dziedziną zmiennej $r$ jest przedział: $0<r<\sqrt{\frac{P}{2\pi }}.$

Krok 2. Objętość jako funkcja promienia

Objętość walca: $V=\pi r^{2}h=\pi r^2\cdot \frac{P-2\pi r^2}{2\pi r}=\frac{r(P-2\pi r^2)}{2}=\frac{Pr-2\pi r^3}{2}.$

Badamy funkcję $V(r)=\frac{Pr-2\pi r^3}{2}$ na przedziale $\left(0,\sqrt{\frac{P}{2\pi }}\right)$.

Krok 3. Pochodna i punkt krytyczny

$V^{\prime }(r)=\frac{1}{2}\left(P-6\pi r^2\right).$

Przyrównujemy do zera: $V^{\prime }(r)=0⟺P-6\pi r^2=0⟺r^2=\frac{P}{6\pi }⟺r=\sqrt{\frac{P}{6\pi }}.$

Ta wartość mieści się w dziedzinie, bo $\frac{P}{6\pi }<\frac{P}{2\pi }$.

Krok 4. Sprawdzenie, że to maksimum

Wyrażenie $P-6\pi r^2$ maleje wraz ze wzrostem $r$:

• dla $r<\sqrt{\frac{P}{6\pi }}$ mamy $V^{\prime }(r)>0$ (funkcja rośnie),
• dla $r>\sqrt{\frac{P}{6\pi }}$ mamy $V^{\prime }(r)<0$ (funkcja maleje).

Zatem w punkcie $r=\sqrt{\frac{P}{6\pi }}$ funkcja $V$ osiąga maksimum.

Krok 5. Wyznaczenie wysokości

Dla $r^2=\frac{P}{6\pi }$ mamy $2\pi r^2=2\pi \cdot \frac{P}{6\pi }=\frac{P}{3}$. Wstawiamy do wzoru na $h$: $h=\frac{P-2\pi r^2}{2\pi r}=\frac{P-\frac{P}{3}}{2\pi r}=\frac{\frac{2P}{3}}{2\pi r}=\frac{P}{3\pi r}.$

Pokażmy, że $h=2r$. Podstawiamy $r^2=\frac{P}{6\pi }$, czyli $P=6\pi r^2$: $h=\frac{6\pi r^2}{3\pi r}=2r.$

Zatem: $h=2r=2\sqrt{\frac{P}{6\pi }}.$

Krok 6. Objętość maksymalna

Korzystamy z $V=\frac{Pr-2\pi r^3}{2}$. Dla $r^2=\frac{P}{6\pi }$ mamy: $2\pi r^3=2\pi r\cdot r^2=2\pi r\cdot \frac{P}{6\pi }=\frac{Pr}{3}.$

Stąd: $V_{\max }=\frac{Pr-\frac{Pr}{3}}{2}=\frac{\frac{2Pr}{3}}{2}=\frac{Pr}{3}=\frac{P}{3}\sqrt{\frac{P}{6\pi }}.$

Odpowiedź: Największą objętość ma walec o promieniu $r=\sqrt{\frac{P}{6\pi }}$ i wysokości $h=2\sqrt{\frac{P}{6\pi }}$ (czyli $h=2r$); ta objętość wynosi $V_{\max }=\frac{P}{3}\sqrt{\frac{P}{6\pi }}$.