Arkusze

Matematyka

Matematyka PR — Maj 2016

Arkusz maturalny z matematyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2016 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Maj 2016 · CKE

Arkusz Zasady oceniania

Zadanie 1

1 pkt

KombinatorykaWyrażenia algebraicznedwumian Newtona

W rozwinięciu wyrażenia $(23 x + 4 y)^{3}$ współczynnik przy iloczynie $x y^{2}$ jest równy:

A.
$323$ ,
B.
$48$ ,
C.
$963$ ,
D.
$144$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisz wzór na wyraz ogólny rozwinięcia

Do rozwinięcia trzeciej potęgi sumy stosujemy dwumian Newtona: $(a + b)^{3} = \sum_{k = 0}^{3} (k 3) a^{3 - k} b^{k} .$

W naszym przypadku $a = 23 x$ oraz $b = 4 y$ .

Krok 2. Wybierz właściwy wyraz

Interesuje nas współczynnik przy $x y^{2}$ , czyli wyraz, w którym $x$ występuje w pierwszej potędze, a $y$ w drugiej. Ponieważ $b = 4 y$ odpowiada za potęgę $y$ , potrzebujemy $b^{2}$ , więc $k = 2$ . Wtedy $a^{3 - k} = a^{1}$ daje pierwszą potęgę $x$ — dokładnie to, czego szukamy.

Krok 3. Oblicz ten wyraz

$(2 3) (23 x)^{1} (4 y)^{2} .$

Liczymy kolejno: $(2 3) = 3, (23 x)^{1} = 23 x, (4 y)^{2} = 16 y^{2} .$

Zatem: $3 \cdot 23 x \cdot 16 y^{2} = (3 \cdot 2 \cdot 16) 3 x y^{2} = 963 x y^{2} .$

Krok 4. Odczytaj współczynnik

Współczynnik przy $x y^{2}$ to liczba stojąca przed tym iloczynem, czyli $963$ .

Odpowiedź: C. $963$ .

Zadanie 2

1 pkt

Wielomianytwierdzenie Bézoutadzielenie wielomianów

Wielomian $W (x) = 6 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + p$ jest podzielny przez dwumian $x - 1$ dla $p$ równego:

A.
$4$ ,
B.
$- 2$ ,
C.
$2$ ,
D.
$- 4$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Warunek podzielności przez dwumian

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumian $x - 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $1$ jest jego pierwiastkiem, czyli $W (1) = 0$ . Wynika to z twierdzenia Bézouta: reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x - 1$ jest równa wartości $W (1)$ , więc podzielność (reszta $= 0$ ) oznacza po prostu $W (1) = 0$ .

Krok 2. Podstaw $x = 1$

$W (1) = 6 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + p = 6 + 3 - 5 + p = 4 + p .$

Krok 3. Rozwiąż równanie $W (1) = 0$

$4 + p = 0 ⟹ p = - 4.$

Odpowiedź: D. $p = - 4$ .

Zadanie 3

1 pkt

Wyrażenia wymierneFunkcjefunkcje wymierneodczytywanie własności z wykresuprzekształcenia wykresów

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej $y = f (x)$ , której dziedziną jest zbiór $D = (- \infty, 3) \cup (3, + \infty)$ . Wykres ma asymptotę poziomą $y = 2$ , przechodzi m.in. tak, że dla $x < 3$ maleje przecinając oś $O X$ (miejsce zerowe ok. $x = 2$ , wartości od dodatnich do ujemnych), a dla $x > 3$ maleje od $+ \infty$ do asymptoty $y = 2$ . Równanie $∣ f (x) ∣ = p$ z niewiadomą $x$ ma dokładnie jedno rozwiązanie:

Wykres funkcji homograficznej z asymptotami x=3 i y=2

A.
w dwóch przypadkach $p = 0$ lub $p = 3$ ,
B.
w dwóch przypadkach $p = 0$ lub $p = 2$ ,
C.
tylko gdy $p = 3$ ,
D.
tylko gdy $p = 2$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Zrozum, o co pytamy

Badamy równanie $∣ f (x) ∣ = p$ i szukamy tych wartości parametru $p$ , dla których ma ono dokładnie jedno rozwiązanie. Dla $p < 0$ brak rozwiązań (wartość bezwzględna jest nieujemna). Rozważamy $p \geq 0$ .

Krok 2. Jak powstaje wykres $∣ f (x) ∣$

Wykres $g (x) = ∣ f (x) ∣$ tworzymy z wykresu $f$ , odbijając część leżącą pod osią $O X$ symetrycznie w górę. Lewa gałąź $f$ (dla $x < 3$ ) maleje, przecinając oś w $x = 2$ (dla $2 < x < 3$ jest ujemna, schodzi do $- \infty$ ); prawa gałąź (dla $x > 3$ ) maleje od $+ \infty$ do asymptoty $y = 2$ , przyjmując wartości większe od 2.

Krok 3. Policz punkty przecięcia z prostą $y = p$

$p = 0$ : $f (x) = 0$ ma jedyne miejsce zerowe $x = 2$ — jedno rozwiązanie.

$p = 2$ : $f (x) = 2$ (nigdy, bo to asymptota) lub $f (x) = - 2$ (dokładnie raz, na fragmencie $2 < x < 3$ ) — jedno rozwiązanie.

Inne $p > 0$ : prosta przecina wykres $∣ f ∣$ w dwóch punktach.

Krok 4. Wniosek

Dokładnie jedno rozwiązanie ma równanie tylko dla $p = 0$ oraz $p = 2$ .

Odpowiedź: B. $p = 0$ lub $p = 2$ .

Zadanie 4

1 pkt

Rachunek różniczkowypochodnaWyrażenia wymiernefunkcje wymierne

Funkcja $f (x) = \frac{3 x - 1}{x ^{2} + 4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ . Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A.
$f^{'} (x) = \frac{- 3 x ^{2} + 2 x + 12}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$ ,
B.
$f^{'} (x) = \frac{- 9 x ^{2} + 2 x - 12}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$ ,
C.
$f^{'} (x) = \frac{3 x ^{2} - 2 x - 12}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$ ,
D.
$f^{'} (x) = \frac{9 x ^{2} - 2 x + 12}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Rozpoznaj strukturę i wzór na pochodną

Funkcja $f (x) = \frac{3 x - 1}{x ^{2} + 4}$ jest ilorazem, różniczkujemy ze wzoru $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , gdzie $u = 3 x - 1, u^{'} = 3, v = x^{2} + 4, v^{'} = 2 x$ .

Krok 2. Podstaw do wzoru

$f^{'} (x) = \frac{3 ( x ^{2} + 4 ) - ( 3 x - 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} .$

Krok 3. Uprość licznik

$3 (x^{2} + 4) = 3 x^{2} + 12, (3 x - 1) 2 x = 6 x^{2} - 2 x .$ $3 x^{2} + 12 - (6 x^{2} - 2 x) = - 3 x^{2} + 2 x + 12.$

Krok 4. Zapisz wynik

$f^{'} (x) = \frac{- 3 x ^{2} + 2 x + 12}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} .$

Odpowiedź: A. $\frac{- 3 x ^{2} + 2 x + 12}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$ .

Zadanie 5

1 pkt

Granice ciągów i funkcjigranica ciągu

Granica $n \to \infty lim \frac{( p n ^{2} + 4 n ) ^{3}}{5 n ^{6} - 4} = - \frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że:

A.
$p = - 8$ ,
B.
$p = 4$ ,
C.
$p = 2$ ,
D.
$p = - 2$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisz najwyższą potęgę w liczniku

$(p n^{2} + 4 n)^{3} = p^{3} n^{6} + (wyrazy ni \overset{z}{˙} szych stopni)$ — sześcian najwyższego wyrazu $p n^{2}$ daje $p^{3} n^{6}$ .

Krok 2. Wyłącz $n^{6}$ z licznika i mianownika

$\frac{( p n ^{2} + 4 n ) ^{3}}{5 n ^{6} - 4} = \frac{p ^{3} + \frac{c _{1}}{n} + \frac{c _{2}}{n ^{2}} + \frac{c _{3}}{n ^{3}}}{5 - \frac{4}{n ^{6}}} .$

Krok 3. Przejdź do granicy

Wszystkie ułamki z $n$ w mianowniku dążą do 0: $lim_{n \to \infty} \frac{( p n ^{2} + 4 n ) ^{3}}{5 n ^{6} - 4} = \frac{p ^{3}}{5} .$

Krok 4. Rozwiąż równanie

$\frac{p ^{3}}{5} = - \frac{8}{5} \Rightarrow p^{3} = - 8 \Rightarrow p = - 2.$

Odpowiedź: D. $p = - 2$ .

Matematyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 6

2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwaprawdopodobieństwo warunkowe

Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.

Badane grupy	Liczba osób popierających budowę przedszkola	Liczba osób niepopierających budowy przedszkola
Kobiety	5140	1860
Mężczyźni	2260	740

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapis danych

	popiera	nie popiera	razem
kobiety	5140	1860	7000
mężczyźni	2260	740	3000

Szukamy $P (A ∣ B)$ = prawdopodobieństwo, że popiera, pod warunkiem że jest mężczyzną.

Krok 2. Definicja prawdopodobieństwa warunkowego

$P (A ∣ B) = \frac{liczba m ę z ˙ czyzn popieraj ą cych}{liczba wszystkich m ę z ˙ czyzn} .$

Krok 3. Podstawienie liczb

$P (A ∣ B) = \frac{2260}{3000} = \frac{113}{150} .$

Krok 4. Rozwinięcie dziesiętne

$\frac{113}{150} = 0, 75333 \dots = 0, 75 \overline{3} .$

Krok 5. Odczytanie trzech pierwszych cyfr po przecinku

Odpowiedź: $P (A ∣ B) = \frac{113}{150} = 0, 753 \dots$ ; kod: 7, 5, 3.

Zadanie 7

2 pkt

Ciągiciąg geometrycznyszereg geometryczny

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = (\frac{1}{2 x - 371})^{n}$ dla $n \geq 1$ . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $x$ , dla której nieskończony szereg $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ jest zbieżny.

Rozwiązanie

Krok 1. Odczytanie pierwszego wyrazu i ilorazu

$a_{n} = q^{n}$ gdzie $q = \frac{1}{2 x - 371}$ — to ciąg geometryczny z $a_{1} = q$ i ilorazem $q$ .

Krok 2. Warunek zbieżności szeregu

Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy $∣ q ∣ < 1$ . Wyrazy są dodatnie, więc $0 < q < 1$ : $0 < \frac{1}{2 x - 371} < 1.$

Krok 3. Rozwiązanie nierówności

Warunek $2 x - 371 > 0$ oraz $2 x - 371 > 1$ (silniejszy): $2 x > 372 \Rightarrow x > 186.$

Krok 4. Najmniejsza liczba całkowita

$x = 187.$

Sprawdzenie: $2 \cdot 187 - 371 = 3$ , $q = \frac{1}{3} \in (0, 1)$ ✓.

Odpowiedź: $x = 187$ .

Zadanie 8

3 pkt

Wyrażenia algebraicznewzory skróconego mnożeniadowód

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ takich, że $x^{2} + y^{2} = 2$ , prawdziwa jest nierówność $x + y \leq 2$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Plan dowodu

Mamy wykazać, że dla $x, y > 0$ z $x^{2} + y^{2} = 2$ zachodzi $x + y \leq 2$ . Obie strony są dodatnie, więc nierówność jest równoważna nierówności kwadratów.

Krok 2. Podniesienie do kwadratu

$x + y \leq 2 ⟺ (x + y)^{2} \leq 4 ⟺ x^{2} + 2 x y + y^{2} \leq 4.$

Krok 3. Wykorzystanie założenia

$x^{2} + y^{2} = 2 \Rightarrow 2 + 2 x y \leq 4 ⟺ x y \leq 1.$

Krok 4. Dowód $x y \leq 1$

$(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2 x y \Rightarrow 2 \geq 2 x y \Rightarrow x y \leq 1.$

Krok 5. Wniosek

Ciąg równoważności pokazuje, że $x + y \leq 2$ jest prawdziwe.

Zadanie 9

3 pkt

Planimetriaokrąg wpisany i opisanypodobieństwo trójkątówokręgidowód

Dany jest prostokąt $A B C D$ . Okrąg wpisany w trójkąt $B C D$ jest styczny do przekątnej $B D$ w punkcie $N$ . Okrąg wpisany w trójkąt $A B D$ jest styczny do boku $A D$ w punkcie $M$ , a środek $S$ tego okręgu leży na odcinku $M N$ (jak na rysunku). Wykaż, że $M N = A D$ .

Prostokąt ABCD z okręgami wpisanymi w trójkąty ABD i BCD, stycznymi w punktach M i N

Rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenia

W prostokącie $A B C D$ kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty. Środek okręgu wpisanego w trójkąt $A B D$ oznaczmy $S$ , promień $r$ , punkty styczności $F$ (na $A B$ ), $M$ (na $A D$ ), $E$ (na $B D$ ). Drugi okrąg (wpisany w $B C D$ ) styczny do $B D$ w $N$ . $S$ leży na $M N$ .

Krok 2. $A F S M$ to kwadrat, więc $M A = r$

$S M ⊥ A D$ , $S F ⊥ A B$ , $S M = S F = r$ . Czworokąt $A F S M$ ma trzy kąty proste, więc jest prostokątem, a z równości sąsiednich boków — kwadratem: $M A = r$ .

Krok 3. $M N ∥ A B$

$S$ leży na $M N$ , więc $M N$ to ta sama prosta co $M S ⊥ A D$ . Ponieważ $A B ⊥ A D$ też, $M N ∥ A B$ .

Krok 4. Odcinki styczne: $D M = D E = B N$

Z tw. o odcinkach stycznych: $D E = D M = \frac{D A + D B - A B}{2}$ w trójkącie $A B D$ ; $B N = \frac{B C + B D - C D}{2}$ w trójkącie $B C D$ . W prostokącie $B C = A D$ , $C D = A B$ , więc $B N = D M$ .

Krok 5. Trójkąt $S N B$ równoramienny, $S N = B N$

$B S$ dzieli $∠ A B D$ na pół. $S N ∥ A B$ , więc kąty naprzemianległe $∠ N S B = ∠ S B A = ∠ S B N$ . Trójkąt $S N B$ równoramienny: $S N = B N$ .

Krok 6. Suma odcinków

$M N = M S + S N = M A + D M = A D$ (bo $M$ leży na $A D$ ).

Zadanie 10

4 pkt

Funkcja liniowazadania z parametremukłady równań

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$ , dla których wykresy funkcji $f$ i $g$ określonych wzorami $f (x) = x - 2$ oraz $g (x) = 5 - a x$ przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie odciętej punktu przecięcia

$f (x) = x - 2$ , $g (x) = 5 - a x$ . Przyrównujemy: $x - 2 = 5 - a x \Rightarrow (a + 1) x = 7$ .

Krok 2. Warunek dodatniej pierwszej współrzędnej

$x = \frac{7}{a + 1} > 0 ⟺ a + 1 > 0 ⟺ a > - 1$ (przy $a = - 1$ brak punktu wspólnego).

Krok 3. Warunek dodatniej drugiej współrzędnej

$y = x - 2 = \frac{7}{a + 1} - 2 = \frac{5 - 2 a}{a + 1}$ . Przy $a + 1 > 0$ : $5 - 2 a > 0 ⟺ a < \frac{5}{2}$ .

Krok 4. Część wspólna

Odpowiedź: $a \in (- 1, \frac{5}{2})$ .

Matematyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 11

4 pkt

Trygonometrianierówności trygonometrycznecosinus podwojonego kąta

Rozwiąż nierówność $\frac{2 cos x - 3}{cos ^{2} x} < 0$ w przedziale $⟨ 0, 2 π ⟩$ . (W mianowniku jest $cos^{2} x$ — potwierdzone kluczem, który stwierdza $cos^{2} x \geq 0$ dla każdego $x$ .)

Rozwiązanie

Krok 1. Dziedzina

$\frac{2 c o s x - 3}{c o s ^{2} x} < 0$ w $⟨ 0, 2 π ⟩$ . Wykluczamy $cos x = 0$ , czyli $x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$ .

Krok 2. Znak zależy tylko od licznika

$cos^{2} x > 0$ zawsze w dziedzinie, więc nierówność $⟺ 2 cos x - 3 < 0 ⟺ cos x < \frac{3}{2}$ .

Krok 3. Rozwiązanie $cos x < \frac{3}{2}$

$cos x = \frac{3}{2}$ dla $x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$ . Nierówność spełniona dla $x \in (\frac{π}{6}, \frac{11 π}{6})$ .

Krok 4. Usunięcie punktów spoza dziedziny

Odpowiedź: $x \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6})$ .

Zadanie 12

6 pkt

Funkcja kwadratowazadania z parametremwzory Viète'a

Dany jest trójmian kwadratowy $f (x) = x^{2} + 2 (m + 1) x + 6 m + 1$ . Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$ , dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki $x_{1}, x_{2}$ tego samego znaku, spełniające warunek $∣ x_{1} - x_{2} ∣ < 3$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Warunek $Δ > 0$

$f (x) = x^{2} + 2 (m + 1) x + 6 m + 1$ . $Δ = 4 (m + 1)^{2} - 4 (6 m + 1) = 4 m^{2} - 16 m = 4 m (m - 4)$ . $Δ > 0 ⟺ m \in (- \infty, 0) \cup (4, + \infty) = Z_{1}$ .

Krok 2. Warunek $x_{1} x_{2} > 0$

$x_{1} x_{2} = 6 m + 1 > 0 ⟺ m > - \frac{1}{6} = Z_{2}$ .

Krok 3. Warunek $∣ x_{1} - x_{2} ∣ < 3$

$(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 4 m^{2} - 16 m < 9 ⟺ 4 m^{2} - 16 m - 9 < 0$ . $Δ_{m} = 400$ , pierwiastki $m = - \frac{1}{2}, \frac{9}{2}$ . $Z_{3} = (- \frac{1}{2}, \frac{9}{2})$ .

Krok 4. Część wspólna

$Z_{2} \cap Z_{3} = (- \frac{1}{6}, \frac{9}{2})$ ; przecięcie z $Z_{1}$ : $(- \frac{1}{6}, 0) \cup (4, \frac{9}{2})$ .

Odpowiedź: $m \in (- \frac{1}{6}, 0) \cup (4, \frac{9}{2})$ .

Zadanie 13

5 pkt

Geometria analitycznaprosta na płaszczyźnieśrodek odcinkasymetralna

Punkty $A = (30, 32)$ i $B = (0, 8)$ są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta $A B C D$ wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu $x - y + 2 = 0$ jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną $A C$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ tego czworokąta.

Rozwiązanie

Krok 1. Kluczowa obserwacja — czworokąt jest deltoidem

Czworokąt $A B C D$ wpisany w okrąg ma jedyną oś symetrii $y = x + 2$ zawierającą $A C$ . Symetria przeprowadza $B \mapsto D$ : $D$ jest obrazem $B$ względem $A C$ , a $S$ (środek $B D$ ) leży na $A C$ .

Krok 2. Wyznaczenie prostej $B D$

$A C : y = x + 2$ (współczynnik 1), $B D ⊥ A C$ przez $B = (0, 8)$ : $y = - x + 8$ .

Krok 3. Środek $S$

$x + 2 = - x + 8 \Rightarrow x = 3, y = 5$ . $S = (3, 5)$ . $D = (2 \cdot 3 - 0, 2 \cdot 5 - 8) = (6, 2)$ .

Krok 4. Kąt $A D C$ jest prosty

$A C$ to średnica (środek okręgu leży na osi symetrii $A C$ ), więc $∠ A D C = 90°$ (kąt wpisany na średnicy).

Krok 5. Wyznaczenie prostej $C D$

$a_{A D} = \frac{2 - 32}{6 - 30} = \frac{5}{4}$ ; $C D ⊥ A D$ : współczynnik $- \frac{4}{5}$ , przez $D = (6, 2)$ : $y = - \frac{4}{5} (x - 6) + 2$ .

Krok 6. Wyznaczenie $C$

$x + 2 = - \frac{4}{5} (x - 6) + 2 \Rightarrow 9 x = 24 \Rightarrow x = \frac{8}{3}, y = \frac{14}{3}$ .

Odpowiedź: $C = (\frac{8}{3}, \frac{14}{3})$ , $D = (6, 2)$ .

Zadanie 14

3 pkt

Kombinatorykakombinacjewariacjereguła mnożenia

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry $1, 2, 3$ , przy czym cyfra $1$ występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest $15360$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Struktura liczb

Liczby 10-cyfrowe z cyfr {1,2,3}, gdzie 1 pojawia się dokładnie 3 razy.

Krok 2. Wybór pozycji jedynek

$(3 10) = 120$ sposobów.

Krok 3. Wypełnienie pozostałych 7 pozycji

Każda z pozostałych 7 pozycji: 2 lub 3, czyli $2^{7} = 128$ .

Krok 4. Reguła mnożenia

$120 \cdot 128 = 15360$ .

Zadanie 15

6 pkt

Stereometriaostrosłupykąt dwuściennyobjętość

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $A B C D S$ o podstawie $A B C D$ wysokość jest równa $5$ , a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę $12 0^{\circ}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenia

Ostrosłup prawidłowy czworokątny, $a$ - krawędź podstawy, $b$ - krawędź boczna, $H = 5$ . Kąt dwuścienny między sąsiednimi ścianami bocznymi = $120°$ .

Krok 2-3. Analiza kąta i trójkąta $B F O$

$∠ B F D = 120°$ , $F O$ dwusieczna, $∠ B F O = 60°$ . $O B = \frac{a 2}{2}$ , $B F = \frac{O B}{s i n 60°} = \frac{a 6}{3}$ .

Krok 4-5. Powiązanie z apotemą i Pitagoras

$a \cdot l = b \cdot B F \Rightarrow l = \frac{b 6}{3}$ . Układ: $H^{2} + (a /2)^{2} = l^{2}$ i $H^{2} + (a 2 /2)^{2} = b^{2}$ .

Krok 6. Rozwiązanie układu

$a^{2} = 100 \Rightarrow a = 10$ ; $b^{2} = 75 \Rightarrow b = 53$ .

Krok 7. Objętość

$V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 5 = \frac{500}{3}$ .

Odpowiedź: $V = \frac{500}{3}$ .

Matematyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 16

7 pkt

Rachunek różniczkowyoptymalizacjapole figur

Parabola o równaniu $y = 2 - \frac{1}{2} x^{2}$ przecina oś $O x$ w punktach $A = (- 2, 0)$ i $B = (2, 0)$ . Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne $A B C D$ , których dłuższą podstawą jest odcinek $A B$ , a końce $C$ i $D$ krótszej podstawy leżą na paraboli. Wyznacz pole trapezu $A B C D$ w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka $C$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ tego z trapezów, którego pole jest największe.

Rozwiązanie

Krok 1. Wierzchołki trapezu

Parabola $y = 2 - \frac{1}{2} x^{2}$ przecina $O x$ w $A = (- 2, 0)$ , $B = (2, 0)$ , $A B = 4$ . $C = (x, y)$ , $D = (- x, y)$ na paraboli, $x \in (0, 2)$ .

Krok 2-3. Pole jako funkcja $x$

$C D = 2 x$ , $h = 2 - \frac{1}{2} x^{2}$ . $P (x) = \frac{4 + 2 x}{2} (2 - \frac{1}{2} x^{2}) = 4 + 2 x - x^{2} - \frac{1}{2} x^{3}$ .

Krok 4-5. Pochodna i maksimum

$P^{'} (x) = 2 - 2 x - \frac{3}{2} x^{2} = 0 \Rightarrow 3 x^{2} + 4 x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$ (w dziedzinie). Sprawdzenie znaku: maksimum.

Krok 6. Współrzędne C

$y = 2 - \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{2} = \frac{16}{9}$ .

Odpowiedź: $P (x) = 4 + 2 x - x^{2} - \frac{1}{2} x^{3}$ , maksimum przy $C = (\frac{2}{3}, \frac{16}{9})$ .

Przeczytaj także

Zobacz wszystkie

Matematyka PR — Maj 2026

Arkusz maturalny z matematyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2026 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Matematyka PR — Maj 2025

Arkusz maturalny z matematyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2025 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Matematyka PR — Maj 2024

Arkusz maturalny z matematyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2024 (CKE), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.