Matematyka PR — Maj 2015

Krok 1. Rozpisujemy nierówność z wartością bezwzględną

Nierówność $|2x-8|\le 10$ oznacza, że wyrażenie $2x-8$ leży między $-10$ a $10$:

$-10\le 2x-8\le 10.$

Krok 2. Rozwiązujemy podwójną nierówność

Dodajemy $8$ do każdej części:

$-2\le 2x\le 18.$

Dzielimy każdą część przez $2$:

$-1\le x\le 9.$

Krok 3. Odczytujemy prawy koniec przedziału

Zbiorem rozwiązań jest przedział $⟨-1,9⟩$. Lewy koniec to $-1$, prawy to $k$, więc $k=9$.

Odpowiedź: D. $k=9$.

Krok 1. Analizujemy funkcję na przedziale $x\le 0$

Dla $x\le 0$ mamy $f(x)=x-2$. Rozwiązujemy $f(x)=1$: $x-2=1\Rightarrow x=3$. Ale $3>0$, sprzeczne z założeniem — odrzucamy.

Krok 2. Analizujemy funkcję na przedziale $x>0$

Dla $x>0$: $\sqrt{x+3}-4=1\Rightarrow \sqrt{x+3}=5\Rightarrow x+3=25\Rightarrow x=22$.

Krok 3. Sprawdzamy i podsumowujemy

$x=22>0$ — poprawne. Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: A. jedno rozwiązanie.

Krok 1. Zapisujemy wzór na sześcian różnicy

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$, $a=3$, $b=2\sqrt{3}$.

Krok 2. Obliczamy składniki

$a^3=27$; $3a^{2}b=54\sqrt{3}$; $3a{b}^2=108$; $b^3=24\sqrt{3}$.

Krok 3. Składamy wynik

$(3-2\sqrt{3}{)}^3=27-54\sqrt{3}+108-24\sqrt{3}=135-78\sqrt{3}$.

Odpowiedź: C. $135-78\sqrt{3}$.

Krok 1. Szacujemy maksimum lewej strony

$2\sin x+3\cos x=6$. Ponieważ $\sin x,\cos x\le 1$: $2\sin x+3\cos x\le 5$.

Krok 2. Porównanie

$5<6$ — równość niemożliwa.

Krok 3. Dokładniejsze oszacowanie

Maksimum $a\sin x+b\cos x$ to $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{13}\approx 3,6<6$.

Odpowiedź: A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Krok 1. Postać ogólna prostej

$y=2x+4\Rightarrow 2x-y+4=0$, $A=2,B=-1,C=4$.

Krok 2. Wzór na odległość punktu od prostej

$d=\frac{|2\cdot 0-1\cdot 0+4|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}.$

Krok 3. Usunięcie niewymierności

$d=\frac{4\sqrt{5}}{5}.$

Odpowiedź: B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

Krok 1. Granica pierwszego ułamka

${\lim }_{n\to \infty }\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}=\frac{11}{6}.$

Krok 2. Granica drugiego ułamka

${\lim }_{n\to \infty }\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}=\frac{2}{5}.$

Krok 3. Różnica granic

$\frac{11}{6}-\frac{2}{5}=\frac{55}{30}-\frac{12}{30}=\frac{43}{30}.$

Krok 4. Rozwinięcie dziesiętne

$\frac{43}{30}=1,4\overline{3}.$

Odpowiedź: $\frac{43}{30}=1,433\dots$; kod: 1, 4, 3.

Krok 1. Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej

$f(x)=a(x+1)(x-3)$, $a\ne 0$.

Krok 2. Obliczamy $f(6)$ i $f(12)$

$f(6)=a\cdot 7\cdot 3=21a$; $f(12)=a\cdot 13\cdot 9=117a$.

Krok 3. Iloraz

$\frac{f(6)}{f(12)}=\frac{21a}{117a}=\frac{7}{39}.$

Odpowiedź: $\frac{f(6)}{f(12)}=\frac{7}{39}$.

Krok 1. Pomysł na dowód

Chcemy pokazać $x^4-x^2-2x+3>0$ jako sumę kwadratów i liczby dodatniej.

Krok 2-3. Rozbicie na kwadraty

$x^4-x^2-2x+3=(x^4-2x^2+1)+(x^2-2x+1)+1=(x^2-1{)}^2+(x-1{)}^2+1.$

Krok 4. Wniosek

$(x^2-1{)}^2\ge 0$, $(x-1{)}^2\ge 0$, $+1>0$, suma $\ge 1>0$.

Krok 1. Plan dowodu

Czworokąt $ABCD$ wpisany w okrąg, dwusieczne kątów tworzą $PQRS$. Wystarczy pokazać, że przeciwległe kąty $PQRS$ sumują się do $180°$.

Krok 2. Oznaczenia połówek kątów

$\angle A=2\alpha$, $\angle B=2\beta$.

Krok 3. Wykorzystanie wpisania w okrąg

$\angle C=180°-2\alpha \Rightarrow \frac{\angle C}{2}=90°-\alpha$; $\angle D=180°-2\beta \Rightarrow \frac{\angle D}{2}=90°-\beta$.

Krok 4. Kąty w $PQRS$

$\angle AQD=90°-\alpha +\beta$; $\angle BSC=90°+\alpha -\beta$.

Krok 5-6. Suma przeciwległych kątów

$\angle PQR+\angle PSR=180°$ — więc na $PQRS$ można opisać okrąg.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń

$ABCD$ wpisany w okrąg, $AB=2,BC=3,CD=4,DA=5$. $\alpha =\angle ABC$, $\angle ADC=180°-\alpha$.

Krok 2-3. Twierdzenie cosinusów w obu trójkątach

$A{C}^2=13-12\cos \alpha$ (z $△ABC$); $A{C}^2=41+40\cos \alpha$ (z $△ACD$).

Krok 4. Wyznaczenie $\cos \alpha$

$13-12\cos \alpha =41+40\cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha =-\frac{7}{13}.$

Krok 5. Obliczenie AC

$A{C}^2=13+\frac{84}{13}=\frac{253}{13}\Rightarrow AC=\sqrt{\frac{253}{13}}=\frac{\sqrt{3289}}{13}.$

Odpowiedź: $AC=\sqrt{\frac{253}{13}}=\frac{\sqrt{3289}}{13}$.

Krok 1. Dwa etapy losowania

Urna I: 3 białe, 5 czarnych (8). Losujemy 1 kulę + dokładamy 2 tego koloru do urny II.

Krok 2-3. Prawdopodobieństwa i skład urny II

$P(B_1)=3/8$ (biała), $P(B_2)=5/8$ (czarna). Po dołożeniu: urna II ma 12 kul (10 białych/2 czarne lub 7 białych/5 czarnych).

Krok 4. Prawdopodobieństwa warunkowe

$P(A|B_1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2})/(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=45/66=15/22$; $P(A|B_2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2})/(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=21/66=7/22$.

Krok 5. Prawdopodobieństwo całkowite

$P(A)=\frac{15}{22}\cdot \frac{3}{8}+\frac{7}{22}\cdot \frac{5}{8}=\frac{80}{176}=\frac{5}{11}.$

Odpowiedź: $P(A)=\frac{5}{11}$.

Krok 1. Warunek równoległości

Styczna równoległa do $y=4x$ ma współczynnik 4, czyli $f^{\prime }(x_0)=4$.

Krok 2-3. Pochodna i rozwiązanie

$f^{\prime }(x)=3x^2-4x=4\Rightarrow 3x_0^2-4x_0-4=0\Rightarrow x_0=2$ lub $x_0=-\frac{2}{3}$.

Krok 4-5. Punkty i równania stycznych

$P_2=(2,1)\Rightarrow y=4x-7$; $P_1=(-\frac{2}{3},-\frac{5}{27})\Rightarrow y=4x+\frac{67}{27}$.

Odpowiedź: $y=4x-7$ oraz $y=4x+\frac{67}{27}$.

Krok 1. Warunki na $m$

$m\ne -1$; $\Delta =4m(2m-7)>0\Rightarrow m\in (-\infty ,0)\cup (3,5,+\infty )$.

Krok 2. Przekształcenie warunku

$x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\Rightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2)(1-(x_1^2+x_2^2))=0$. Dwie możliwości: $x_1+x_2=0$ lub $x_1^2+x_2^2=1$.

Krok 3-6. Rozwiązanie obu przypadków

Przypadek (a): $m=2$ — odrzucony (poza dziedziną). Przypadek (b): $5m^2-24m+7=0\Rightarrow m=\frac{12\pm \sqrt{109}}{5}$; tylko $m_2=\frac{12+\sqrt{109}}{5}\approx 4,49$ w dziedzinie.

Odpowiedź: $m=\frac{12+\sqrt{109}}{5}$.

Krok 1-2. Ustawienie i krawędzie boczne

$SD\perp$ podstawa, $SD=2a$. $SA=SC=a\sqrt{5}$, $SB=a\sqrt{6}$.

Krok 3. $AB\perp AS$

$AB\perp AD$ i $AB\perp SD$, więc $AB\perp$ płaszczyźnie $ADS$, stąd $AB\perp AS$.

Krok 4-5. Wysokość i kąt dwuścienny

$AE=CE=a\sqrt{5/6}$ (z pola $△ABS$). Kąt $\angle AEC=\alpha$ to szukany kąt dwuścienny.

Krok 6-7. Twierdzenie cosinusów

$2a^2=\frac{5}{3}{a}^2(1-\cos \alpha )\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{1}{5}\Rightarrow \sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}.$

Odpowiedź: $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Krok 1. Suma współczynników = W(1)=0

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu.

Krok 2. Możliwe ciągi pierwiastków

$(1,4,7)$, $(-2,1,4)$, $(-5,-2,1)$ — trzy pozycje liczby 1 w ciągu arytmetycznym o różnicy 3.

Krok 3-4. Rozpisanie wielomianów

$(1,4,7)\to (a,b,c)=(-12,39,-28)$; $(-2,1,4)\to (-3,-6,8)$; $(-5,-2,1)\to (6,3,-10)$.

Odpowiedź: $(a,b,c)\in \{(-12,39,-28),(-3,-6,8),(6,3,-10)\}$.

Krok 1-2. Przekrój osiowy i wysokość

$2r+2l=20\Rightarrow l=10-r$. $h^2=(10-r{)}^2-r^2=100-20r$, dziedzina $r\in (0,5)$.

Krok 3-5. Funkcja objętości i maksimum

$f(r)=r^4(100-20r)$, $f^{\prime }(r)=100r^3(4-r)$. Maksimum przy $r=4$.

Krok 6. Obliczenie h i V

$h=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$; $V=\frac{1}{3}\pi \cdot 16\cdot 2\sqrt{5}=\frac{32\pi \sqrt{5}}{3}$.

Odpowiedź: $r=4$, $h=2\sqrt{5}$, $V=\frac{32\pi \sqrt{5}}{3}$.