Arkusze

Fizyka

Fizyka PR — Maj 2025

Arkusz maturalny z fizyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2025 (CKE, Formuła 2023), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Maj 2025 · CKE

Arkusz Zasady oceniania

Zadanie 1.1

2 pkt

Kinematykarzut poziomyspadek swobodny

Rozważamy rzuty wykonane w doświadczalnej komorze próżniowej. Przyjmij model zjawiska, w którym: ruchy ciał odbywają się bez działania sił oporu; ciała poruszają się w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym; poruszające się ciała traktujemy jako punkty materialne; podłoże, na które upadają rzucone ciała, jest poziome; przyśpieszenie ziemskie ma wartość $g = 9, 81 m/ s^{2}$ .

W chwili $t_{0}$ rzucono kulkę K z pewnej wysokości. Prędkość $v_{0}$ kulki K w chwili $t_{0}$ miała kierunek poziomy.

Analizujemy ruch kulki K od chwili $t_{0}$ do chwili $t_{k}$ – momentu uderzenia kulki K o podłoże.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
Wartość prędkości kulki K rośnie wprost proporcjonalnie do czasu, mierzonego od chwili $t_{0}$ .
Wektor przyśpieszenia kulki K podczas jej ruchu ma stałą wartość.
Czas ruchu kulki K od chwili $t_{0}$ do chwili $t_{k}$ zależy od $v_{0}$ – wartości prędkości początkowej kulki.

Rozwiązanie

Stwierdzenie 1. Kulka K wykonuje rzut poziomy: w kierunku poziomym rusza się jednostajnie z prędkością $v_{0}$ , a w kierunku pionowym spada swobodnie z przyśpieszeniem $g$ . Wartość (moduł) prędkości wypadkowej wynosi $v (t) = v_{0}^{2} + (g t)^{2}$ – to nie jest zależność prosta proporcjonalna do czasu (tylko składowa pionowa $v_{y} = g t$ jest do niego proporcjonalna). Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. Na kulkę działa tylko siła grawitacji, więc jej przyśpieszenie jest przez cały czas równe $g$ – ma stały kierunek (w dół), zwrot i wartość. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 3. Czas ruchu (do chwili $t_{k}$ upadku) wynika wyłącznie z ruchu w kierunku pionowym: $h = \frac{1}{2} g t_{k}^{2}$ , a więc zależy tylko od wysokości $h$ , z jakiej rzucono kulkę – nie zależy od prędkości początkowej $v_{0}$ (poziomej). Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: F, P, F.

Zadanie 1.2

3 pkt

Kinematykarzut poziomyrzut pionowy

Z punktu $A$ w chwili $t_{0} = 0 s$ rzucono kulkę $K_{A}$ . Prędkość kulki $K_{A}$ w chwili $t_{0}$ miała kierunek poziomy i wartość równą $v_{0 A} = 8 m/s$ .

Z punktu $B$ – w tej samej chwili $t_{0}$ – rzucono kulkę $K_{B}$ . Prędkość kulki $K_{B}$ w chwili $t_{0}$ miała kierunek pionowy, zwrot w górę i wartość, którą oznaczymy jako $v_{0 B}$ .

Rzucone kulki $K_{A}$ i $K_{B}$ zderzyły się w chwili $t_{z}$ w punkcie $C$ .

Współrzędne punktów $A$ , $B$ i $C$ wyrażone w metrach, w kartezjańskim układzie współrzędnych, są następujące: $A = (0; 12) B = (6; 0) C = (6; y_{C})$

Opisaną sytuację ilustruje rysunek. Przyjmij, że dane w zadaniu są dokładne.

Oblicz $v_{0 B}$ – wartość prędkości początkowej kulki $K_{B}$ w punkcie $B$ . Zapisz obliczenia.

Wykres y(x) z punktami A=(0;12), B=(6;0) i C=(6;yC), wektorami v0A (poziomy z A) i v0B (pionowy z B) oraz wektorem g

Rozwiązanie

Krok 1. Ruch kulki $K_{A}$ . Kulka $K_{A}$ wykonuje rzut poziomy z punktu $A = (0; 12)$ : w poziomie rusza się jednostajnie z prędkością $v_{0 A} = 8 m/s$ , w pionie spada swobodnie. Czas $t_{z}$ potrzebny na przebycie odległości poziomej od $A$ do $C$ (od $x = 0$ do $x = 6 m$ ): $x_{C} = v_{0 A} t_{z} \Rightarrow t_{z} = \frac{6 m}{8 m/s} = 0, 75 s .$

Krok 2. Wysokość kulki $K_{A}$ w chwili zderzenia. W tym czasie kulka $K_{A}$ opadła o $\frac{1}{2} g t_{z}^{2}$ od wysokości startowej $12 m$ : $y_{C} = 12 m - \frac{1}{2} g t_{z}^{2} .$

Krok 3. Ruch kulki $K_{B}$ . Kulka $K_{B}$ startuje z $B = (6; 0)$ pionowo w górę z prędkością $v_{0 B}$ i w chwili $t_{z}$ znajduje się na wysokości: $y_{C} = v_{0 B} t_{z} - \frac{1}{2} g t_{z}^{2} .$

Krok 4. Porównanie. Obie kulki są w tej samej chwili $t_{z}$ w tym samym punkcie $C$ , więc ich rzędne $y_{C}$ są równe: $12 m - \frac{1}{2} g t_{z}^{2} = v_{0 B} t_{z} - \frac{1}{2} g t_{z}^{2} \Rightarrow 12 m = v_{0 B} t_{z} .$

Krok 5. Wynik. $v_{0 B} = \frac{12 m}{0 , 75 s} = 16 m/s .$

Odpowiedź: $v_{0 B} = 16 m/s$ .

Zadanie 2.1

2 pkt

Ruch obrotowy i bryła sztywnamoment bezwładnościenergia ruchu obrotowego

Dany jest jednorodny pełny walec $W_{1}$ oraz wydrążony częściowo (i osiowosymetrycznie) jednorodny walec $W_{2}$ . Walec $W_{1}$ położono na równi pochyłej i puszczono swobodnie. Następnie na tej samej wysokości na tej równi położono walec $W_{2}$ i także puszczono swobodnie (zobacz rysunek). Prędkości początkowe obu walców były równe zero. Walce $W_{1}$ oraz $W_{2}$ staczały się z równi bez poślizgu. Kąt nachylenia równi do poziomego podłoża wynosi $β$ .

Przyjmij następujące dane:

promienie walców są sobie równe: $R_{1} = R_{2} = R$
masy walców są sobie równe: $m_{1} = m_{2} = m$ (walce wykonano z różnych materiałów)
momenty bezwładności walców $W_{1}$ i $W_{2}$ względem osi każdego z nich wyrażają się – odpowiednio – wzorami $I_{1} = k_{1} m R^{2}$ oraz $I_{2} = k_{2} m R^{2}$ , gdzie $k_{1}$ i $k_{2}$ są pewnymi współczynnikami oraz $k_{1} \neq = k_{2}$ .

Uwzględnij następujące założenia: siły tarcia statycznego pomiędzy każdym z walców a powierzchnią równi nie osiągnęły wartości maksymalnych; pomijamy inne (oprócz tarcia statycznego) opory ruchu; ruch walców rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
$k_{2} > k_{1}$
U podnóża równi całkowite energie kinetyczne walców W1 i W2 są sobie równe.
U podnóża równi wartość prędkości ruchu postępowego walca W1 jest mniejsza od wartości prędkości ruchu postępowego walca W2.

Widok z boku dwóch identycznych co do R i m walców W1 (pełny) i W2 (częściowo wydrążony) na dwóch równiach pochyłych o kącie β, tuż przed startem z tej samej wysokości

Rozwiązanie

Stwierdzenie 1. Walec $W_{2}$ jest częściowo wydrążony (materiał jest bardziej „odsunięty” od osi obrotu niż w pełnym walcu $W_{1}$ ), więc przy tej samej masie $m$ i promieniu $R$ jego moment bezwładności jest większy: $I_{2} > I_{1}$ , czyli $k_{2} > k_{1}$ . Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Obie walce startują z tej samej wysokości z prędkością zero, a tarcie statyczne (bez poślizgu) nie wykonuje pracy zmieniającej całkowitą energię mechaniczną. Z zasady zachowania energii mechanicznej cała energia potencjalna $m g h$ zamienia się w energię kinetyczną całkowitą (ruchu postępowego i obrotowego) u podnóża równi – i to dla obu walców, niezależnie od $k_{1}, k_{2}$ , bo $m$ , $R$ , $h$ są takie same. Zatem $E_{k, 1} = E_{k, 2} = m g h$ . Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 3. Całkowita energia kinetyczna każdego walca dzieli się na część postępową $\frac{1}{2} m v^{2}$ i obrotową $\frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{1}{2} k m v^{2}$ (bo $ω = v / R$ ), czyli $m g h = \frac{1}{2} m v^{2} (1 + k)$ , stąd $v = \frac{2 g h}{1 + k}$ . Im większe $k$ , tym mniejsza prędkość postępowa $v$ . Skoro $k_{2} > k_{1}$ , to $v_{W 2} < v_{W 1}$ , czyli prędkość $W_{1}$ jest większa, nie mniejsza, od prędkości $W_{2}$ . Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: P, P, F.

Zadanie 2.2

4 pkt

Ruch obrotowy i bryła sztywnamoment bezwładnościtarcie statyczne

Wyznacz $a$ – wartość przyśpieszenia liniowego walca $W_{2}$ – w zależności tylko od wartości przyśpieszenia ziemskiego $g$ , od kąta $β$ oraz od współczynnika $k_{2}$ . Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na $a$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Siły działające na walec $W_{2}$ . Na walec działają: siła ciężkości $Q$ (składowa wzdłuż równi $Q_{∥} = m g sin β$ ), siła reakcji normalnej równi oraz siła tarcia statycznego $T$ (skierowana wzdłuż równi, przeciwstawna tendencji do zsuwania). Ruch postępowy środka masy opisuje II zasada dynamiki: $ma = m g sin β - T .$

Krok 2. Ruch obrotowy. Tylko siła tarcia $T$ ma niezerowy moment względem osi symetrii walca (ramię $R$ ): $I_{2} ε = R T, I_{2} = k_{2} m R^{2} .$

Krok 3. Związek kinematyczny. Ponieważ walec toczy się bez poślizgu, $a = εR$ , czyli $ε = a / R$ . Podstawiając do równania z kroku 2: $k_{2} m R^{2} \cdot \frac{a}{R} = R T \Rightarrow T = k_{2} ma .$

Krok 4. Eliminacja siły tarcia. Podstawiamy $T = k_{2} ma$ do równania z kroku 1: $ma = m g sin β - k_{2} ma \Rightarrow a (1 + k_{2}) = g sin β .$

Krok 5. Wynik. $a = \frac{sin β}{1 + k _{2}} g .$

Odpowiedź: $a = \frac{g sin β}{1 + k _{2}}$ .

Zadanie 3.1

1 pkt

Drgania i fale mechanicznefaledźwięk

Fale dźwiękowe o dużych częstotliwościach (np. ultradźwięki) mogą w ośrodkach rozchodzić się w postaci wąskich wiązek. Gdy wiązka fali ultradźwiękowej pada na granicę dwóch ośrodków, to – w zależności m.in. od kąta padania na tę granicę – może częściowo wniknąć do drugiego ośrodka i częściowo się odbić od granicy albo może całkowicie się odbić od granicy ośrodków.

Przyjmij, że wartość prędkości dźwięku w powietrzu jest równa $v_{p} = 340 m/s$ , a wartość prędkości dźwięku w wodzie jest równa $v_{w} = 1450 m/s$ .

Zwróć uwagę na to, że wartość prędkości dźwięku w wodzie jest większa od wartości prędkości dźwięku w powietrzu.

Rozważamy falę dźwiękową, która biegnie w powietrzu i przechodzi do wody.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź spośród A–C oraz jej uzasadnienie spośród 1–3.

Długość tej fali dźwiękowej po przejściu z powietrza do wody ..., ponieważ częstotliwość tej fali po przejściu z powietrza do wody ... .

Odpowiedź	Długość fali
A	się zwiększyła
B	się zmniejszyła
C	się nie zmieniła

Uzasadnienie	Częstotliwość fali
1	się zwiększyła
2	się zmniejszyła
3	się nie zmieniła

Rozwiązanie

Krok 1. Częstotliwość przy przejściu między ośrodkami. Częstotliwość fali jest wyznaczona przez źródło drgań i nie zmienia się przy przejściu fali do innego ośrodka – zmieniają się tylko prędkość i długość fali. Częstotliwość się nie zmieniła – to uzasadnienie 3.

Krok 2. Długość fali. Ponieważ $λ = \frac{v}{f}$ , a częstotliwość $f$ jest stała, długość fali jest proporcjonalna do prędkości fali w danym ośrodku. Skoro $v_{w} > v_{p}$ (dźwięk rozchodzi się szybciej w wodzie), to długość fali w wodzie jest większa niż w powietrzu – długość fali się zwiększyła. To odpowiada odpowiedzi A.

Odpowiedź: A3 – długość fali się zwiększyła, ponieważ częstotliwość fali się nie zmieniła.

Fizyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 3.2

3 pkt

Drgania i fale mechanicznefaledźwięk

Rozważamy wiązkę ultradźwięków, która biegnie w powietrzu i pada na taflę wody pod kątem $α_{p} = 45°$ . Tylko jeden z rysunków A–C prawidłowo przedstawia dalszy bieg tej wiązki ultradźwięków od granicy powietrze – woda. Kreską przerywaną oznaczono linie pomocnicze.

Ustal dalszy bieg wiązki ultradźwięków od granicy powietrze – woda. Wykorzystaj odpowiednie prawa/zależności fizyczne i wykonaj niezbędne obliczenia, które doprowadzą do tego ustalenia.

Następnie zaznacz rysunek (spośród A–C), na którym prawidłowo przedstawiono dalszy bieg wiązki ultradźwięków od granicy powietrze – woda.

Trzy warianty A, B, C biegu wiązki ultradźwięków padającej pod kątem 45° na granicę powietrze–woda

Rozwiązanie

Krok 1. Kąt graniczny. Fala przechodzi z ośrodka o mniejszej prędkości (powietrze, $v_{p} = 340 m/s$ ) do ośrodka o większej prędkości (woda, $v_{w} = 1450 m/s$ ). W takiej sytuacji istnieje kąt graniczny $α_{g}$ , po przekroczeniu którego zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie. Z prawa załamania: $\frac{sin α _{g}}{sin 90°} = \frac{v _{p}}{v _{w}} \Rightarrow sin α_{g} = \frac{340}{1450} \approx 0, 2345 \Rightarrow α_{g} \approx 13, 6°.$

Krok 2. Porównanie z kątem padania. Kąt padania wynosi $α_{p} = 45°$ , czyli $α_{p} > α_{g}$ ( $45° > 13, 6°$ ).

Krok 3. Wniosek. Skoro kąt padania jest większy od kąta granicznego, fala nie może załamać się i wniknąć do wody – zachodzi całkowite odbicie od granicy powietrze–woda, z kątem odbicia równym kątowi padania ( $45°$ ), po tej samej stronie granicy (w powietrzu).

Odpowiedź: Nastąpi całkowite odbicie od granicy powietrze–woda – prawidłowy jest rysunek C.

Zadanie 4.1

2 pkt

Drgania i fale mechanicznefalenatężenie fali

Mały głośnik G1 jest źródłem kulistej fali dźwiękowej w powietrzu. Przyjmij, że energia tej fali dźwiękowej rozchodzi się tak samo we wszystkich kierunkach od głośnika G1.

W zadaniach 4.1–4.2 pomijamy efekty związane z odbiciem fali dźwiękowej od przeszkód w otoczeniu oraz z pochłanianiem tej fali w ośrodku.

Energia kulistej fali dźwiękowej, którą emituje głośnik G1 w ciągu każdej sekundy, jest równa $E = 40 mJ$ . Punkt $X$ znajduje się w odległości $r_{X} = 10 m$ od głośnika G1.

Oblicz $I_{X}$ – natężenie dźwięku w punkcie $X$ . Zapisz obliczenia.

Wskazówka: Pole powierzchni kuli o promieniu $r$ jest równe $S = 4 π r^{2}$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Definicja natężenia fali kulistej. Natężenie to moc fali przypadająca na jednostkę powierzchni, przez którą przechodzi. Skoro energia $E$ jest emitowana jednorodnie we wszystkich kierunkach w ciągu czasu $Δ t = 1 s$ , to w odległości $r_{X}$ rozkłada się równomiernie na powierzchni kuli o promieniu $r_{X}$ : $I_{X} = \frac{E}{Δ t \cdot 4 π r _{X}^{2}} .$

Krok 2. Podstawienie danych. $I_{X} = \frac{40 \cdot 1 0 ^{- 3} J}{1 s \cdot 4 π \cdot ( 10 m ) ^{2}} = \frac{0 , 04}{400 π} \frac{J}{s \cdot m ^{2}} \approx 3, 2 \cdot 1 0^{- 5} \frac{W}{m ^{2}} .$

Odpowiedź: $I_{X} \approx 3, 2 \cdot 1 0^{- 5} W/ m^{2}$ .

Zadanie 4.2

3 pkt

Drgania i fale mechanicznefaleinterferencja

W pewnej odległości od głośnika G1 ustawiono taki sam głośnik G2. Oba głośniki emitują – z tą samą mocą i zgodnie w fazie – fale dźwiękowe o częstotliwości $f = 850 Hz$ .

Punkt $A$ znajduje się w odległości $r_{1} = 10, 5 m$ od głośnika G1 oraz w odległości $r_{2} = 11, 5 m$ od głośnika G2. Wartość prędkości dźwięku w powietrzu jest równa $v_{p} = 340 m/s$ .

Ustal, czy w punkcie $A$ nastąpi wzmocnienie interferencyjne, czy – osłabienie interferencyjne. Wykorzystaj odpowiednie zależności fizyczne i warunki zadania oraz wykonaj niezbędne obliczenia, które doprowadzą do tego ustalenia. Następnie zapisz odpowiedź.

Rozwiązanie

Krok 1. Długość fali. $λ = \frac{v _{p}}{f} = \frac{340 m/s}{850 Hz} = 0, 4 m .$

Krok 2. Warunki interferencji. O charakterze interferencji w punkcie $A$ decyduje różnica dróg $r_{2} - r_{1}$ przebytych przez obie fale (źródła są zgodne w fazie):

wzmocnienie, gdy $r_{2} - r_{1} = nλ$ ( $n$ całkowite),
osłabienie, gdy $r_{2} - r_{1} = \frac{2 n \pm 1}{2} λ$ (nieparzysta krotność połowy długości fali).

Krok 3. Obliczenie różnicy dróg wyrażonej w długościach fali. $r_{2} - r_{1} = 11, 5 m - 10, 5 m = 1 m = \frac{1 m}{0 , 4 m} λ = 2, 5 λ = \frac{5}{2} λ .$

Krok 4. Wniosek. Różnica dróg jest nieparzystą krotnością połowy długości fali ( $\frac{5}{2} λ$ ), więc fale docierające do punktu $A$ są w przeciwfazie.

Odpowiedź: W punkcie $A$ nastąpi (maksymalne możliwe dla tego punktu) osłabienie interferencyjne.

Zadanie 5.1

2 pkt

Grawitacja i astronomiaprawo powszechnego ciążeniaprawa Keplera

Planetoida Chiron obiega Słońce po orbicie eliptycznej, a Ziemia obiega Słońce po orbicie, którą w przybliżeniu możemy potraktować jako kołową.

Poniżej podano niektóre dane dotyczące ruchu orbitalnego Chirona oraz Ziemi względem Słońca (podane odległości są zaokrąglone do części dziesiętnych jednostki astronomicznej):

najmniejsza odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_{P} = 8, 5 au$
największa odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_{A} = 18, 9 au$
odległość Ziemi od środka Słońca jest równa $a_{Z} = 1, 0 au$
okres obiegu Ziemi dookoła Słońca wynosi $T_{Z} = 1, 00$ rok ziemski.

W zadaniu pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch Chirona oraz na ruch Ziemi. Orbitę Chirona (z zachowaniem skali elipsy) zilustrowano na rysunku.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
Wektor przyśpieszenia Chirona jest zwrócony do środka Słońca.
Orbita Chirona ma punkt wspólny z orbitą Ziemi.
Okres obiegu Chirona dookoła Słońca jest mniejszy od okresu obiegu Ziemi dookoła Słońca.

Orbita eliptyczna Chirona wokół Słońca S z zaznaczonymi punktami P (peryhelium), A (aphelium), odległościami rP, rA i długością półosi wielkiej aC=½|PA|

Rozwiązanie

Stwierdzenie 1. Na Chirona działa wyłącznie siła grawitacji Słońca, która jest siłą centralną skierowaną zawsze ku środkowi Słońca $S$ . Zgodnie z II zasadą dynamiki przyśpieszenie ma ten sam kierunek i zwrot, co siła wypadkowa. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Najmniejsza odległość Chirona od Słońca to $r_{P} = 8, 5 au$ , czyli cała orbita Chirona leży w odległości co najmniej $8, 5 au$ od Słońca. Orbita Ziemi ma promień $a_{Z} = 1, 0 au$ , więc obie orbity nie mają punktu wspólnego. Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 3. Długość półosi wielkiej orbity Chirona ( $a_{C} = \frac{1}{2} (r_{P} + r_{A}) = \frac{1}{2} (8, 5 + 18, 9) au \approx 13, 7 au$ ) jest dużo większa niż promień orbity Ziemi ( $1, 0 au$ ). Z III prawa Keplera $T^{2} \propto a^{3}$ , więc znacznie większa półoś oznacza znacznie dłuższy okres obiegu – okres Chirona jest większy, nie mniejszy, od okresu Ziemi. Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: P, F, F.

Zadanie 5.2

1 pkt

Grawitacja i astronomiaprawa Keplerazasada zachowania momentu pędu

Wartość prędkości liniowej Chirona w położeniu najbliższym Słońca (punkt $P$ orbity) oznaczymy jako $v_{P}$ . Wartość prędkości liniowej Chirona w położeniu najdalszym od Słońca (punkt $A$ orbity) oznaczymy jako $v_{A}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź spośród A–C oraz jej uzasadnienie spośród 1–3.

Prawidłowy związek pomiędzy $v_{P}$ a $v_{A}$ to ..., ponieważ w ruchu Chirona wokół Słońca nie zmienia się jego ... .

Odpowiedź	Związek
A	$v_{P} = \frac{18 , 9}{8 , 5} v_{A}$
B	$v_{P} = v_{A}$
C	$v_{P} = \frac{8 , 5}{18 , 9} v_{A}$

Uzasadnienie	Wielkość zachowana
1	pęd
2	moment pędu
3	energia kinetyczna

Rozwiązanie

Krok 1. Zasada zachowania momentu pędu. Siła grawitacji Słońca jest siłą centralną (zawsze skierowaną do $S$ ), więc jej moment względem $S$ jest zerowy – moment pędu Chirona względem Słońca jest zachowany podczas całego ruchu po orbicie (to jest treść II prawa Keplera). To wskazuje uzasadnienie 2 (moment pędu).

Krok 2. Moment pędu w punktach $P$ i $A$ . W peryhelium $P$ i aphelium $A$ wektor prędkości jest prostopadły do promienia wodzącego, więc moment pędu wynosi po prostu $L = m v r$ . Z zachowania momentu pędu: $m v_{P} r_{P} = m v_{A} r_{A} \Rightarrow v_{P} = \frac{r _{A}}{r _{P}} v_{A} = \frac{18 , 9}{8 , 5} v_{A} .$ To jest odpowiedź A.

Odpowiedź: A2 – $v_{P} = \frac{18 , 9}{8 , 5} v_{A}$ , ponieważ zachowany jest moment pędu Chirona względem Słońca.

Fizyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 5.3

3 pkt

Grawitacja i astronomiaprawa Keplera

Oblicz $T_{C}$ – okres obiegu Chirona wokół Słońca. Zapisz obliczenia. Wynik podaj w latach ziemskich.

Rozwiązanie

Krok 1. Półoś wielka orbity Chirona. Suma odległości peryhelium i aphelium od Słońca to długość osi wielkiej elipsy, a półoś wielka to jej połowa: $a_{C} = \frac{r _{P} + r _{A}}{2} = \frac{8 , 5 au + 18 , 9 au}{2} = 13, 7 au .$

Krok 2. III prawo Keplera. Chiron i Ziemia obiegają to samo ciało centralne (Słońce), więc: $\frac{T _{C}^{2}}{a _{C}^{3}} = \frac{T _{Z}^{2}}{a _{Z}^{3}} \Rightarrow T_{C} = (\frac{a _{C}}{a _{Z}})^{3} \cdot T_{Z} .$

Krok 3. Podstawienie danych (w au i latach, $a_{Z} = 1$ , $T_{Z} = 1$ ): $T_{C} = (\frac{13 , 7}{1})^{3} \cdot 1 rok \approx 2571 \approx 51 lat .$

Odpowiedź: $T_{C} \approx 51$ lat ziemskich.

Zadanie 6.1

2 pkt

Termodynamikaprzemiany gazoweI zasada termodynamiki

Na wykresie 1. przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od temperatury $T$ w cyklu przemian termodynamicznych $A \to B \to C \to A$ ustalonej masy gazu doskonałego.

Przyjmij, że:

ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_{V} = \frac{3}{2} R$ , gdzie $R$ jest stałą gazową
temperatura, ciśnienie i objętość gazu w stanie $A$ są – odpowiednio – równe $T_{1}$ , $p_{1}$ i $V_{1}$
stany gazu $A$ , $B$ , $C$ , $X$ znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu
liczbę moli gazu oznaczymy jako $n$ .

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
W przemianie $A \to B$ energia wewnętrzna gazu wzrosła.
W przemianie $C \to A$ gaz pobrał ciepło z otoczenia.
Wartość bezwzględna pracy siły parcia gazu w przemianie $B \to C$ jest równa wartości bezwzględnej ciepła pobranego w tej przemianie.

Wykres 1. — zależność ciśnienia p od temperatury T dla cyklu przemian A→B→C→A gazu doskonałego, z zaznaczonym stanem X

Rozwiązanie

Z wykresu odczytujemy współrzędne stanów (w jednostkach $T_{1}$ i $p_{1}$ ): $A = (T_{1}; p_{1})$ , $B = (3 T_{1}; 3 p_{1})$ , $C = (3 T_{1}; p_{1})$ .

Stwierdzenie 1. W przemianie $A \to B$ temperatura wzrasta od $T_{1}$ do $3 T_{1}$ . Energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy tylko od temperatury ( $U = n C_{V} T$ ), więc wzrost temperatury oznacza wzrost energii wewnętrznej. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. W przemianie $C \to A$ ciśnienie jest stałe ( $p = p_{1}$ ), czyli to przemiana izobaryczna, a temperatura spada od $3 T_{1}$ do $T_{1}$ – gaz się oziębia. W przemianie izobarycznej ochłodzenie oznacza, że gaz oddaje ciepło do otoczenia, a nie pobiera go. Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 3. Przemiana $B \to C$ zachodzi przy stałej temperaturze $T = 3 T_{1}$ (na wykresie $p (T)$ to odcinek pionowy) – to przemiana izotermiczna. Dla gazu doskonałego w przemianie izotermicznej energia wewnętrzna nie zmienia się: $Δ U_{B C} = 0$ . Z I zasady termodynamiki $Q_{B C} = Δ U_{B C} + W_{B C} = W_{B C}$ (gdzie $W_{B C}$ to praca wykonana przez gaz, równa co do wartości pracy siły parcia gazu), czyli wartości bezwzględne pracy i ciepła są sobie równe. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: P, F, P.

Zadanie 6.2

4 pkt

Termodynamikarównanie Clapeyronaprzemiany gazowe

Wyznacz $V_{B}$ , $V_{C}$ oraz $V_{X}$ – objętości gazu w stanach $B$ , $C$ oraz $X$ – w zależności tylko od $V_{1}$ . Zapisz odpowiednie równania oraz podaj wzory na $V_{B}$ , $V_{C}$ i $V_{X}$ .

Na wykresie (analogicznym do wykresu 1., lecz w układzie $p (V)$ ) narysuj zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ w opisanym cyklu przemian $A \to B \to C \to A$ . Oznacz stany gazu $A$ , $B$ , $C$ oraz $X$ .

Rozwiązanie

Wykorzystamy równanie Clapeyrona $\frac{p V}{T} = n R = const$ dla par stanów.

Wyznaczenie $V_{B}$ . Ze stanu $A = (T_{1}; p_{1}; V_{1})$ do stanu $B$ ( $T_{B} = 3 T_{1}$ , $p_{B} = 3 p_{1}$ , odczytane z wykresu): $\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{3 p _{1} V _{B}}{3 T _{1}} \Rightarrow V_{B} = V_{1} .$

Wyznaczenie $V_{C}$ . Ze stanu $A$ do stanu $C$ ( $T_{C} = 3 T_{1}$ , $p_{C} = p_{1}$ ): $\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{1} V _{C}}{3 T _{1}} \Rightarrow V_{C} = 3 V_{1} .$

Wyznaczenie $V_{X}$ . Stan $X$ leży na przemianie izotermicznej $B \to C$ (temperatura $3 T_{1}$ ), z ciśnieniem $p_{X} = 2 p_{1}$ odczytanym z wykresu 1. Dla przemiany izotermicznej $p V = const$ , więc korzystając ze stanu $B = (V_{1}; 3 p_{1})$ : $p_{B} V_{B} = p_{X} V_{X} \Rightarrow 3 p_{1} V_{1} = 2 p_{1} V_{X} \Rightarrow V_{X} = \frac{3}{2} V_{1} .$

Kształt wykresu $p (V)$ . Punkty (we współrzędnych $V, p$ ): $A = (V_{1}; p_{1})$ , $B = (V_{1}; 3 p_{1})$ , $C = (3 V_{1}; p_{1})$ , $X = (\frac{3}{2} V_{1}; 2 p_{1})$ . Przemiana $A \to B$ (izochoryczna, $V = V_{1}$ ) to odcinek pionowy, $C \to A$ (izobaryczna, $p = p_{1}$ ) to odcinek poziomy, a $B \to C$ (izotermiczna) to łuk hiperboli $p = \frac{3 p _{1} V _{1}}{V}$ przechodzący przez punkt $X$ .

Odpowiedź: $V_{B} = V_{1}$ , $V_{C} = 3 V_{1}$ , $V_{X} = \frac{3}{2} V_{1}$ .

Zadanie 6.3

2 pkt

TermodynamikaI zasada termodynamikiciepło molowe

Ciepło oddane przez gaz do chłodnicy w jednym cyklu $A \to B \to C \to A$ oznaczymy jako $Q_{o dd}$ .

Wyznacz $Q_{o dd}$ w zależności tylko od $T_{1}$ oraz od liczby moli gazu $n$ , oraz od stałej gazowej $R$ . Zapisz odpowiednie zależności oraz podaj postać wzoru na $Q_{o dd}$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Gdzie gaz oddaje ciepło. W przemianie $A \to B$ (izochorycznej, ogrzewanie) i $B \to C$ (izotermicznej, rozprężanie) gaz pobiera ciepło (patrz zadanie 6.1). Ciepło jest oddawane tylko w przemianie $C \to A$ (izobarycznej, oziębianie): $Q_{o dd} = Q_{C A}$ .

Krok 2. Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu. $C_{p} = C_{V} + R = \frac{3}{2} R + R = \frac{5}{2} R .$

Krok 3. Ciepło w przemianie izobarycznej. Temperatura w przemianie $C \to A$ spada z $3 T_{1}$ do $T_{1}$ , czyli $∣Δ T_{C A} ∣ = 2 T_{1}$ : $∣ Q_{C A} ∣ = n C_{p} ∣Δ T_{C A} ∣ = n \cdot \frac{5}{2} R \cdot 2 T_{1} = 5 n R T_{1} .$

Odpowiedź: $Q_{o dd} = 5 n R T_{1}$ .

Zadanie 7.1

2 pkt

Optyka geometrycznasoczewkikonstrukcja obrazu

Za pomocą cienkiej soczewki szklanej $S$ umieszczonej w powietrzu uzyskano ostry obraz $A^{'} B^{'}$ przedmiotu $A B$ .

Na rysunku przedstawiono położenie przedmiotu $A B$ oraz położenie jego obrazu $A^{'} B^{'}$ . Punkty $A$ i $A^{'}$ leżą na osi optycznej soczewki $S$ .

Przyjmij, że długość boku kratki na rysunku odpowiada w rzeczywistości $1 cm$ .

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
Wytworzony przez soczewkę $S$ ostry obraz $A^{'} B^{'}$ przedmiotu $A B$ można zaobserwować na ekranie.
Soczewka $S$ jest soczewką skupiającą.
Odległość przedmiotu $A B$ od soczewki $S$ jest mniejsza od ogniskowej tej soczewki.

Przedmiot AB (strzałka w górę) i jego obraz A'B' (strzałka w dół) na siatce kratek, z osią optyczną i punktami A, A' na osi

Rozwiązanie

Stwierdzenie 1. Obraz $A^{'} B^{'}$ jest obrazem rzeczywistym – powstaje po drugiej stronie soczewki niż przedmiot, w punkcie, w którym faktycznie przecinają się promienie świetlne (a nie tylko ich przedłużenia). Obraz rzeczywisty można zawsze zaobserwować na ekranie umieszczonym w miejscu jego powstania. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Obraz $A^{'} B^{'}$ jest obrazem rzeczywistym i odwróconym (strzałka $B^{'}$ skierowana w dół, przeciwnie do $B$ ). Tylko soczewka skupiająca (wypukła) może wytworzyć obraz rzeczywisty i odwrócony; soczewka rozpraszająca dałaby zawsze obraz pozorny, prosty i pomniejszony. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 3. Soczewka skupiająca daje obraz rzeczywisty i odwrócony tylko wtedy, gdy przedmiot znajduje się za pierwszym ogniskiem, czyli w odległości większej od ogniskowej ( $x > f$ ). Odległość przedmiotu $A B$ od soczewki $S$ jest więc większa, a nie mniejsza, od ogniskowej. Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: P, P, F.

Fizyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 7.2

3 pkt

Optyka geometrycznasoczewkikonstrukcja obrazu

Na rysunku zamieszczonym we wstępie do zadania 7. wyznacz konstrukcyjnie za pomocą promieni charakterystycznych położenie soczewki $S$ oraz położenie jednego z jej ognisk.

Podpisz położenie soczewki (lub soczewkę) jako $S$ oraz ognisko jako $F$ .

Zapisz w wykropkowanym miejscu wartość ogniskowej $f$ soczewki $S$ .

$f = \dots\dots cm$

Uwaga! Dokładną wartość ogniskowej można wyznaczyć z położenia ogniska, bez wykonywania obliczeń. W tym przykładzie środek soczewki i ogniska leżą w punktach kratowych.

Przedmiot AB i jego obraz A'B' na siatce kratek, do konstrukcji położenia soczewki S i ogniska F promieniami charakterystycznymi

Rozwiązanie

Krok 1. Konstrukcja położenia soczewki $S$ . Promień charakterystyczny biegnący od $B$ przez środek soczewki nie ulega załamaniu (biegnie po linii prostej) i musi trafić w $B^{'}$ . Prosta $B B^{'}$ przecina osię optyczną właśnie w punkcie, w którym znajduje się środek soczewki – to wyznacza położenie soczewki $S$ .

Krok 2. Konstrukcja ogniska. Promień charakterystyczny biegnący od $B$ równolegle do osi optycznej, po załamaniu w soczewce $S$ przechodzi przez ognisko $F$ po stronie obrazu – przecina on promień $B B^{'}$ (po jego załamaniu) w punkcie leżącym na osi optycznej. To jest ognisko $F$ .

Krok 3. Odczyt ogniskowej. Z konstrukcji na siatce kratek odległość między soczewką $S$ a wyznaczonym ogniskiem $F$ wynosi $6$ kratek, a każda kratka odpowiada $1 cm$ : $f = 6 cm .$

Odpowiedź: $f = 6 cm$ .

Zadanie 8

3 pkt

Magnetyzm i indukcjapole magnetyczne

Na rysunku przedstawiono dwie wybrane linie pola magnetycznego wytwarzanego przez długi, prostoliniowy przewodnik $P$ z prądem umieszczony w próżni. Na rysunku przedstawiono widok płaszczyzny prostopadłej do przewodnika $P$ .

Przyjmij następujące założenia oraz dane:

linie pola są współśrodkowymi okręgami o promieniach $r_{1}$ i $r_{2}$ , takich, że $r_{2} = 4 r_{1}$
przewodnik $P$ jest bardzo długi
$B_{1}$ jest wektorem indukcji magnetycznej w punkcie $P_{1}$
pomijamy inne źródła pola magnetycznego
długość boku kratki umieszczonej przy punktach $P_{1}$ i $P_{2}$ odpowiada umownej jednostce wartości wektora indukcji magnetycznej.

Na rysunku oznacz, w którą stronę płynie prąd w przewodniku $P$ . Wpisz odpowiedni symbol ( $⊙$ lub $\otimes$ ) przy literze $P$ , gdzie: $⊙$ – oznacza, że prąd płynie przed płaszczyznę rysunku (w stronę do patrzącego), $\otimes$ – oznacza, że prąd płynie za płaszczyznę rysunku.

Narysuj wektor indukcji magnetycznej $B_{2}$ w punkcie $P_{2}$ . Zachowaj odpowiedni kierunek, właściwy zwrot oraz długość wektora, odpowiadającą jego wartości.

Dwie współśrodkowe linie pola magnetycznego (okręgi o promieniach r1, r2=4r1) wokół przewodnika P, z wektorem B1 w punkcie P1 i kratką jednostkową przy punkcie P2

Rozwiązanie

Krok 1. Kierunek prądu. Z rysunku wektor $B_{1}$ w punkcie $P_{1}$ (leżącym na linii pola o promieniu $r_{1}$ , poniżej przewodnika) jest skierowany w lewo. Zgodnie z regułą prawej ręki, jeśli patrząc na płaszczyznę rysunku widzimy, że linie pola krążą zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to prąd płynie za płaszczyznę rysunku (od patrzącego, w głąb rysunku). Sprawdzenie w punkcie $P_{1}$ (leżącym poniżej przewodnika): dla prądu płynącego w głąb rysunku pole kręci się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a tangens w najniższym punkcie okręgu, przy takim obiegu, jest skierowany w lewo – zgodnie z narysowanym $B_{1}$ . Zatem prąd płynie za płaszczyznę rysunku: przy literze $P$ wpisujemy symbol $\otimes$ .

Krok 2. Wartość $B_{2}$ . Wartość indukcji magnetycznej prostoliniowego przewodnika maleje odwrotnie proporcjonalnie do odległości od przewodnika: $B = \frac{μ _{0} I}{2 π r} \propto \frac{1}{r}$ . Z rysunku $B_{1}$ ma wartość $8$ umownych jednostek (długość wektora $B_{1}$ na kratce), a $r_{2} = 4 r_{1}$ , więc: $B_{2} = B_{1} \cdot \frac{r _{1}}{r _{2}} = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2 umowne jednostki .$

Krok 3. Kierunek i zwrot $B_{2}$ . Wektor $B_{2}$ w punkcie $P_{2}$ (leżącym po prawej stronie przewodnika, na okręgu o promieniu $r_{2}$ ) jest – jak wszystkie wektory pola tego przewodnika – styczny do okręgu przechodzącego przez $P_{2}$ i ma taki sam sens obiegu (zgodny z ruchem wskazówek zegara) jak $B_{1}$ : w punkcie po prawej stronie przewodnika odpowiada to zwrotowi pionowo w dół.

Odpowiedź: prąd płynie za płaszczyznę rysunku ( $\otimes$ przy $P$ ); wektor $B_{2}$ w punkcie $P_{2}$ jest skierowany pionowo w dół i ma wartość $2$ umowne jednostki.

Zadanie 9.1

1 pkt

Optyka falowapolaryzacja

Wiązka niespolaryzowanego światła o natężeniu $I$ pada prostopadle na polaryzator liniowy $P_{1}$ . Światło, które przeszło przez polaryzator $P_{1}$ , dalej pada prostopadle na polaryzator liniowy $P_{2}$ . Przyjmij następujące warunki i oznaczenia:

natężenie światła po przejściu przez $P_{1}$ oznaczymy jako $I_{1}$ , przy czym $I_{1} = \frac{1}{2} I$
natężenie światła po przejściu przez $P_{2}$ oznaczymy jako $I_{2}$
kąt między osiami polaryzacji $O_{1}$ oraz $O_{2}$ polaryzatorów $P_{1}$ oraz $P_{2}$ oznaczymy jako $α$
amplitudę fali elektromagnetycznej (amplitudę natężenia pola elektrycznego) po przejściu przez $P_{1}$ oznaczymy jako $E_{1}$ , a po przejściu przez $P_{2}$ oznaczymy jako $E_{2}$ . Wartości tych wektorów oznaczymy – odpowiednio – jako $E_{1}$ oraz $E_{2}$ .

Na rysunku 2. przedstawiono widok w płaszczyźnie równoległej do obu polaryzatorów, z oznaczonymi osiami polaryzacji $O_{1}$ oraz $O_{2}$ obu polaryzatorów oraz wektorem $E_{1}$ .

Na rysunku 2. narysuj wektor $E_{2}$ – amplitudę natężenia pola elektrycznego po przejściu światła przez polaryzator $P_{2}$ . Zachowaj odpowiedni kierunek, właściwy zwrot oraz długość wektora, odpowiadającą jego wartości.

Rysunek 1. — dwa polaryzatory liniowe P1, P2 z osiami polaryzacji O1, O2 i kątem α między nimi, na drodze wiązki niespolaryzowanego światła; Rysunek 2. — widok w płaszczyźnie równoległej do polaryzatorów z osiami O1, O2, kątem α i wektorem E1

Rozwiązanie

Krok 1. Kierunek wektora $E_{2}$ . Polaryzator przepuszcza jedynie składową pola elektrycznego równoległą do jego osi polaryzacji. Po przejściu przez $P_{2}$ wektor $E_{2}$ musi więc leżeć wzdłuż osi $O_{2}$ .

Krok 2. Wartość wektora $E_{2}$ . Wartość $E_{2}$ to rzut wektora $E_{1}$ na kierunek osi $O_{2}$ : $E_{2} = E_{1} cos α,$ gdzie $α$ jest kątem między osiami $O_{1}$ i $O_{2}$ . Ponieważ $cos α < 1$ dla $α \neq = 0$ , wektor $E_{2}$ jest krótszy od $E_{1}$ .

Krok 3. Rysunek. Wektor $E_{2}$ rysujemy zaczepiony w tym samym punkcie co $E_{1}$ , leżący na osi $O_{2}$ , o zwrocie takim, że jego składowa wzdłuż $E_{1}$ jest zgodna ze zwrotem $E_{1}$ , oraz o długości równej $E_{1} cos α$ (krótszej niż $E_{1}$ ).

Odpowiedź: $E_{2}$ leży na osi $O_{2}$ , ma zwrot taki, że jego składowa wzdłuż $E_{1}$ jest zgodna z $E_{1}$ , a jego długość wynosi $E_{1} cos α$ .

Zadanie 9.2

2 pkt

Optyka falowapolaryzacja

Polaryzatory ustawiono tak, że ich osie polaryzacji były względem siebie pod kątem $α = 45°$ .

Oceń prawdziwość poniższych zależności. Zaznacz P, jeśli zależność jest prawdziwa, albo F – jeśli jest fałszywa.

Zależność	P	F
$E_{1} = 2 E_{2}$
$I_{1} = 2 I_{2}$
$I = 4 I_{2}$

Rozwiązanie

Krok 1. Zależność między $E_{1}$ i $E_{2}$ . Zgodnie z prawem Malusa dla amplitudy: $E_{2} = E_{1} cos α = E_{1} cos 45° = \frac{E _{1}}{2}$ , czyli $E_{1} = 2 E_{2}$ . Zależność jest prawdziwa (P).

Krok 2. Zależność między $I_{1}$ i $I_{2}$ . Natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy, więc prawo Malusa dla natężenia ma postać $I_{2} = I_{1} cos^{2} α$ . Dla $α = 45°$ : $cos^{2} 45° = \frac{1}{2}$ , więc $I_{2} = \frac{1}{2} I_{1}$ , czyli $I_{1} = 2 I_{2}$ . Zależność jest prawdziwa (P).

Krok 3. Zależność między $I$ i $I_{2}$ . Wiemy, że $I_{1} = \frac{1}{2} I$ . Łącząc to z wynikiem z kroku 2 ( $I_{1} = 2 I_{2}$ ): $\frac{1}{2} I = 2 I_{2}$ , czyli $I = 4 I_{2}$ . Zależność jest prawdziwa (P).

Odpowiedź: P, P, P.

Zadanie 10

3 pkt

Fizyka atomowa i kwantowaenergia spoczynkowa

Pewna cząstka porusza się w inercjalnym układzie odniesienia $U$ z prędkością o wartości $v = \frac{1}{2} c$ , gdzie $c$ jest wartością prędkości światła w próżni.

Energia kinetyczna tej cząstki w układzie odniesienia $U$ jest równa $E_{k} = 79, 05 keV$ .

Oblicz $E_{0}$ – energię spoczynkową tej cząstki. Zapisz obliczenia. Wynik podaj w $keV$ , zaokrąglony do trzech cyfr znaczących.

Rozwiązanie

Krok 1. Energia całkowita a energia kinetyczna i spoczynkowa. $E = E_{k} + E_{0} .$

Krok 2. Energia całkowita cząstki relatywistycznej. $E = \frac{m c ^{2}}{1 - ( \frac{v}{c} ) ^{2}} = \frac{E _{0}}{1 - ( \frac{v}{c} ) ^{2}},$ bo $E_{0} = m c^{2}$ .

Krok 3. Łączenie wzorów. $\frac{E _{0}}{1 - ( \frac{v}{c} ) ^{2}} = E_{k} + E_{0} .$

Krok 4. Podstawienie $v = \frac{1}{2} c$ . $1 - (\frac{1}{2})^{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \approx 0, 8660.$ $\frac{E _{0}}{0 , 8660} = 79, 05 keV + E_{0} .$

Krok 5. Rozwiązanie względem $E_{0}$ . $E_{0} (\frac{1}{0 , 8660} - 1) = 79, 05 keV \Rightarrow E_{0} \cdot 0, 1547 \approx 79, 05 keV \Rightarrow E_{0} \approx 510, 9 keV .$

Odpowiedź: $E_{0} \approx 511 keV$ .

Fizyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 11.1

1 pkt

Fizyka atomowa i kwantowamodel Bohrawidma

Rozważamy przejścia elektronu pomiędzy stanami (poziomami) energetycznymi w atomie wodoru. Przejście elektronu ze stanu energetycznego o numerze $n$ i energii $E_{n}$ do stanu energetycznego o numerze $k$ i energii $E_{k}$ oznaczymy w zadaniu jako $n \to k$ .

Długość fali oraz energię fotonu emitowanego przez atom wodoru podczas przejścia $5 \to 3$ oznaczymy – odpowiednio – jako $λ_{53}$ oraz $E_{53}$ . Długość fali oraz energię fotonu emitowanego przez atom wodoru podczas przejścia $4 \to 3$ oznaczymy – odpowiednio – jako $λ_{43}$ oraz $E_{43}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź spośród A–C oraz jej uzasadnienie spośród 1–3.

Relacje pomiędzy długościami fal i energiami fotonów emitowanych podczas opisanych przejść są następujące:

Odpowiedź	Relacja długości fal
A	$λ_{53} > λ_{43}$
B	$λ_{53} < λ_{43}$
C	$λ_{53} = λ_{43}$

Uzasadnienie	Relacja energii fotonów
1	$E_{53} > E_{43}$
2	$E_{53} < E_{43}$
3	$E_{53} = E_{43}$

Rozwiązanie

Krok 1. Energie poziomów. Energia poziomu $n$ atomu wodoru wynosi $E_{n} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}}$ – im wyższy poziom, tym energia bliższa zeru (mniejsza co do wartości absolutnej).

Krok 2. Porównanie energii fotonów. Energia emitowanego fotonu to różnica energii poziomów: $E_{53} = E_{5} - E_{3}$ , $E_{43} = E_{4} - E_{3}$ . Poziom $n = 5$ ma wyższą energię (bliższą zeru) niż poziom $n = 4$ ( $E_{5} > E_{4}$ , bo $- \frac{13 , 6}{25} > - \frac{13 , 6}{16}$ ), więc różnica $E_{5} - E_{3}$ jest większa niż $E_{4} - E_{3}$ : $E_{53} > E_{43} .$ To odpowiada uzasadnieniu 1.

Krok 3. Porównanie długości fal. Energia fotonu i długość jego fali są związane zależnością $E = \frac{h c}{λ}$ – większa energia oznacza krótszą długość fali. Skoro $E_{53} > E_{43}$ , to $λ_{53} < λ_{43}$ . To odpowiada odpowiedzi B.

Odpowiedź: B1 – $λ_{53} < λ_{43}$ , ponieważ $E_{53} > E_{43}$ .

Zadanie 11.2

3 pkt

Fizyka atomowa i kwantowamodel Bohra

Energię fotonu emitowanego podczas przejścia $4 \to 2$ w atomie wodoru oznaczymy jako $E_{42}$ .

Przyjmij model zjawiska, w którym: przed emisją fotonu atom wodoru spoczywał; pomijamy energię kinetyczną atomu wodoru uzyskaną podczas odrzutu przy emisji fotonu (ta energia jest o kilka rzędów wielkości mniejsza od energii emitowanego fotonu).

Oblicz $E_{42}$ . Zapisz obliczenia. Wynik podaj w $eV$ .

Wskazówka: Skorzystaj z Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych.

Rozwiązanie

Krok 1. Zasada zachowania energii. Energia atomu w stanie $n = 4$ ( $E_{4}$ ) zamienia się na energię atomu w stanie $n = 2$ ( $E_{2}$ ) i energię emitowanego fotonu $E_{42}$ : $E_{4} = E_{2} + E_{42} \Rightarrow E_{42} = E_{4} - E_{2} .$

Krok 2. Wzór na energię poziomów atomu wodoru. $E_{n} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}} \Rightarrow E_{42} = - \frac{13 , 6 eV}{4 ^{2}} - (- \frac{13 , 6 eV}{2 ^{2}}) = 13, 6 eV (\frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{4 ^{2}}) .$

Krok 3. Obliczenie. $E_{42} = 13, 6 eV (\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = 13, 6 eV \cdot \frac{3}{16} \approx 2, 55 eV .$

Odpowiedź: $E_{42} \approx 2, 55 eV$ .

Zadanie 12.1

2 pkt

Fizyka jądrowarozpady promieniotwórcze

Izotop plutonu $_{94}^{238} Pu$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany $α$ .

Podczas rozpadu jądra tego izotopu plutonu powstają cząstka $α$ oraz jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako $X$ .

Przyjmij, że w opisanym rozpadzie $α$ : iloraz masy jądra pierwiastka $X$ i masy cząstki $α$ wynosi w zaokrągleniu $\frac{m _{X}}{m _{α}} \approx 58, 5$ ; w chwili tuż przed opisanym rozpadem jądro plutonu $_{94}^{238} Pu$ było nieruchome; wartości prędkości jądra pierwiastka $X$ i cząstki $α$ – powstałych po rozpadzie jądra plutonu $_{94}^{238} Pu$ – są dużo mniejsze od wartości prędkości światła w próżni.

Poniżej przedstawiono niekompletny schemat rozpadu $α$ jądra plutonu $_{94}^{238} Pu$ : $_{94}^{238} Pu \to_{?}^{?} X + α$

Uzupełnij powyższy schemat tak, aby powstało równanie rozpadu $α$ . Wpisz właściwe liczby: atomową i masową, a pod schematem – symbol (lub nazwę) pierwiastka $X$ , którego jądro powstaje w tym rozpadzie.

Rozwiązanie

Krok 1. Zasady zachowania w rozpadzie $α$ . W rozpadzie $α$ jądro emituje cząstkę $α$ (jądro helu, $_{2}^{4} He$ ). Muszą być zachowane: liczba masowa (nukleonów) i liczba atomowa (ładunek): $238 = A_{X} + 4 \Rightarrow A_{X} = 234,$ $94 = Z_{X} + 2 \Rightarrow Z_{X} = 92.$

Krok 2. Identyfikacja pierwiastka. Liczba atomowa $Z = 92$ odpowiada uranowi.

Odpowiedź: $_{94}^{238} Pu \to_{92}^{234} U + α$ ; pierwiastek $X$ to uran (U).

Zadanie 12.2

3 pkt

Fizyka jądrowazasada zachowania pędu

Energie kinetyczne jądra pierwiastka $X$ i cząstki $α$ , tuż po rozpadzie jądra $_{94}^{238} Pu$ , oznaczymy – odpowiednio – jako $E_{k in X}$ i $E_{k in α}$ .

Oblicz iloraz $\frac{E _{k in X}}{E _{k in α}}$ . Zapisz obliczenia.

Wskazówka: Skorzystaj z zasady zachowania pędu.

Rozwiązanie

Krok 1. Zasada zachowania pędu. Przed rozpadem jądro plutonu było nieruchome, więc całkowity pęd układu wynosił zero. Po rozpadzie pęd jądra $X$ i pęd cząstki $α$ muszą się znosić: $m_{X} v_{X} - m_{α} v_{α} = 0 \Rightarrow m_{X} v_{X} = m_{α} v_{α} \Rightarrow \frac{v _{X}}{v _{α}} = \frac{m _{α}}{m _{X}} .$

Krok 2. Iloraz energii kinetycznych. Ponieważ prędkości są dużo mniejsze od $c$ , energię kinetyczną liczymy klasycznie: $E_{k in} = \frac{1}{2} m v^{2}$ : $\frac{E _{k in X}}{E _{k in α}} = \frac{\frac{1}{2} m _{X} v _{X}^{2}}{\frac{1}{2} m _{α} v _{α}^{2}} = \frac{m _{X}}{m _{α}} \cdot (\frac{v _{X}}{v _{α}})^{2} = \frac{m _{X}}{m _{α}} \cdot (\frac{m _{α}}{m _{X}})^{2} = \frac{m _{α}}{m _{X}} .$

Krok 3. Podstawienie danych. $\frac{E _{k in X}}{E _{k in α}} = \frac{m _{α}}{m _{X}} = \frac{1}{58 , 5} \approx 0, 017.$

Odpowiedź: $\frac{E _{k in X}}{E _{k in α}} \approx 0, 017$ (czyli $\approx \frac{1}{58 , 5}$ ).

Zadanie 12.3

3 pkt

Fizyka jądrowaokres połowicznego rozpadu

Próbka $Z$ zawierająca izotop plutonu $_{94}^{238} Pu$ wytwarza energię w postaci ciepła na skutek rozpadu promieniotwórczego tego izotopu plutonu. Moc cieplną generowaną przez tę próbkę oznaczymy jako $P$ .

Próbka $Z$ – w pewnej chwili $t_{0}$ – wytwarzała moc cieplną równą $P_{0} = 100 J/s$ .

Dokładnie po czasie $t = 5$ lat od chwili $t_{0}$ moc cieplna spadła do wartości $P_{t} = 96, 13 J/s$ .

Przyjmij, że moc cieplna wytwarzana przez próbkę $Z$ jest wprost proporcjonalna do liczby jąder izotopu plutonu $_{94}^{238} Pu$ pozostających w próbce $Z$ .

Oblicz $T$ – czas połowicznego rozpadu izotopu plutonu $_{94}^{238} Pu$ . Zapisz obliczenia. Wynik podaj w latach, zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

Wskazówki: 1) Jeśli $a^{c} = b$ oraz $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ , to $c = lo g_{a} b$ . 2) Możesz wykorzystać wzór: $lo g_{a} b = \frac{lo g _{10} b}{lo g _{10} a}$ dla $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Prawo rozpadu promieniotwórczego. Liczba jąder pozostałych po czasie $t$ dana jest wzorem: $\frac{N _{t}}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{t / T} .$

Krok 2. Związek mocy cieplnej z liczbą jąder. Skoro moc cieplna jest proporcjonalna do liczby jąder pozostających w próbce, to: $\frac{P _{t}}{P _{0}} = \frac{N _{t}}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{t / T} .$

Krok 3. Podstawienie danych. $\frac{96 , 13 J/s}{100 J/s} = (\frac{1}{2})^{5 lat / T} \Rightarrow 0, 9613 = (\frac{1}{2})^{5 lat / T} .$

Krok 4. Logarytmowanie. $\frac{5 lat}{T} = lo g_{1/2} 0, 9613 = \frac{lo g _{10} 0 , 9613}{lo g _{10} 0 , 5} .$

Krok 5. Obliczenie. $lo g_{10} 0, 9613 \approx - 0, 01714, lo g_{10} 0, 5 \approx - 0, 30103,$ $\frac{5 lat}{T} \approx \frac{- 0 , 01714}{- 0 , 30103} \approx 0, 0569 \Rightarrow T \approx \frac{5 lat}{0 , 0569} \approx 87, 8 lat .$

Odpowiedź: $T \approx 88$ lat.

Przeczytaj także

Zobacz wszystkie

Fizyka PR — Maj 2026

Arkusz maturalny z fizyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2026 (CKE, Formuła 2023), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Fizyka PR — Maj 2024

Arkusz maturalny z fizyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2024 (CKE, Formuła 2023), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Fizyka PR — Maj 2024 (Formuła 2015)

Arkusz maturalny z fizyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2024 (CKE, Formuła 2015), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.