Arkusze

Fizyka

Fizyka PR — Maj 2024 (Formuła 2015)

Arkusz maturalny z fizyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2024 (CKE, Formuła 2015), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Maj 2024 · CKE

Arkusz Zasady oceniania

Zadanie 1.1

1 pkt

Dynamikasiłaopór powietrza

Kropla wody oderwała się od dachu budynku w chwili $t_{A}$ i następnie opadała pionowo w powietrzu. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność wartości $v$ prędkości kropli od czasu $t$ od chwili $t_{A} = 0 s$ do chwili $t_{F} = 4 s$ , w której kropla uderzyła o podłoże. Na wykresie oznaczono wybrane punkty: $A, B, C, D, E, F$ . Ruch kropli opisujemy w układzie odniesienia związanym z ziemią i zakładamy, że jest to układ inercjalny.

Do analizy zagadnienia przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

podczas opadania kropli działają na nią dwie siły: siła oporu powietrza $F_{o}$ oraz siła grawitacji $F_{g}$ (pomijamy siłę wyporu aerostatycznego)
kropla jest kulą o promieniu $R$ , a jej masa się nie zmienia
wartość siły oporu działającej na kroplę wyraża się wzorem: $F_{o} = k ρ_{p} S v^{2}$ gdzie $k$ jest pewnym współczynnikiem, $ρ_{p}$ jest gęstością powietrza, $S$ jest polem przekroju poprzecznego przez środek kropli, $v$ jest wartością prędkości kropli
ruch kropli od chwili $t_{D}$ traktujemy jako jednostajny prostoliniowy, czyli przyjmij, że część $D F$ wykresu jest poziomym odcinkiem.

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Od chwili $t_{A}$ do chwili $t_{D}$ wartość przyśpieszenia kropli

Odpowiedź		Uzasadnienie: ponieważ wartość siły wypadkowej działającej w tym czasie na kroplę
A.	się zwiększa,	1.	się zwiększa.
B.	się zmniejsza,	2.	się zmniejsza.
C.	pozostaje stała,	3.	pozostaje stała.

Wykres zależności v(t) prędkości opadającej kropli od czasu, z zaznaczonymi punktami A, B, C, D, E, F

Rozwiązanie

Krok 1. Jak zmienia się siła oporu. Z wykresu widać, że od chwili $t_{A}$ do $t_{D}$ prędkość kropli rośnie (krzywa jest coraz bardziej płaska, zbliżając się do wartości granicznej). Siła oporu $F_{o} = k ρ_{p} S v^{2}$ rośnie wraz z kwadratem prędkości, natomiast siła grawitacji $F_{g} = m g$ jest stała (masa kropli się nie zmienia).

Krok 2. Jak zmienia się siła wypadkowa. Obie siły są skierowane przeciwnie (grawitacja w dół, opór w górę, przeciwnie do ruchu), więc siła wypadkowa wynosi $F_{w y p} = F_{g} - F_{o}$ . Skoro $F_{o}$ rośnie, a $F_{g}$ jest stałe, różnica $F_{w y p}$ maleje w miarę zbliżania się do chwili $t_{D}$ , w której opór zrównuje się z grawitacją (ruch staje się jednostajny).

Krok 3. Przyśpieszenie. Z II zasady dynamiki $a = \frac{F _{w y p}}{m}$ . Skoro $m$ jest stałe, a $F_{w y p}$ maleje, to wartość przyśpieszenia kropli od $t_{A}$ do $t_{D}$ się zmniejsza (od wartości $g$ przy starcie, do zera w chwili $t_{D}$ ).

Odpowiedź: B2 — wartość przyśpieszenia się zmniejsza, ponieważ wartość siły wypadkowej działającej na kroplę się zmniejsza.

Zadanie 1.2

3 pkt

Dynamikasiłaopór powietrzaanaliza wykresu

Punkt $K$ na diagramach 1.–2. reprezentuje kroplę. Długość boku kratki na każdym diagramie odpowiada umownej jednostce siły. Na diagramach 1.–2. narysowano siłę grawitacji działającą na kroplę, natomiast nie narysowano siły oporu $F_{o}$ .

Na diagramie 1. narysuj i oznacz siłę oporu $F_{o E}$ przyłożoną w punkcie $K$ , działającą na kroplę w chwili $t_{E} = 3, 6 s$ . Na diagramie 2. narysuj i oznacz siłę oporu $F_{o B}$ przyłożoną w punkcie $K$ , działającą na kroplę w chwili $t_{B} = 0, 4 s$ .

Zachowaj odpowiednie kierunki, zwroty oraz dokładne długości wektorów, odpowiadające wartościom tych sił. Wykorzystaj fakt, że wartość siły oporu jest wprost proporcjonalna do kwadratu wartości prędkości kropli: $F_{o} \propto v^{2}$ .

Diagram 1. i Diagram 2. — punkt K reprezentujący kroplę z narysowaną siłą grawitacji Fg, przygotowane do dorysowania siły oporu

Rozwiązanie

Diagram 1. (chwila $t_{E} = 3, 6 s$ ). Chwila $t_{E}$ leży już w przedziale $D F$ , w którym ruch kropli jest jednostajny prostoliniowy — siła wypadkowa jest wtedy zerowa, czyli siła oporu równoważy siłę grawitacji: $F_{g} = - F_{o E} .$ Na diagramie wektor $F_{g}$ ma długość $8$ jednostek kratki, więc wektor $F_{o E}$ rysujemy o tej samej długości ( $8$ jednostek), skierowany przeciwnie do $F_{g}$ , czyli w górę.

Diagram 2. (chwila $t_{B} = 0, 4 s$ ). Korzystamy z proporcjonalności $F_{o} \propto v^{2}$ oraz z faktu, że w chwili $t_{E}$ wartość siły oporu jest równa wartości siły grawitacji: $\frac{F _{o B}}{F _{g}} = \frac{F _{o B}}{F _{o E}} = (\frac{v _{B}}{v _{E}})^{2} .$ Z wykresu w zadaniu 1.1. odczytujemy prędkości w punktach $B$ i $E$ : $v_{B} \approx 3, 5 m/s$ , $v_{E} \approx 7, 0 m/s$ . Zatem: $\frac{F _{o B}}{F _{g}} = (\frac{3 , 5}{7 , 0})^{2} = \frac{1}{4} .$ Skoro wektor $F_{g}$ ma długość $8$ jednostek kratki, wektor $F_{o B}$ rysujemy o długości $\frac{1}{4} \cdot 8 = 2$ jednostek kratki, skierowany w górę (przeciwnie do ruchu, czyli przeciwnie do $F_{g}$ ).

Odpowiedź: na diagramie 1. wektor $F_{o E}$ o długości $8$ jednostek kratki, w górę; na diagramie 2. wektor $F_{o B}$ o długości $2$ jednostek kratki, w górę.

Zadanie 1.3

4 pkt

Dynamikasiłaopór powietrza

Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć $v_{E}$ – wartość prędkości, z jaką kropla opada w powietrzu ruchem jednostajnym prostoliniowym – w zależności od: promienia kropli $R$ , gęstości powietrza $ρ_{p}$ , gęstości wody $ρ_{w}$ , wartości przyśpieszenia ziemskiego $g$ oraz współczynnika $k$ . Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać tego wzoru.

Wskazówka: objętość kuli o promieniu $R$ wyraża się wzorem $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Rozwiązanie

Krok 1. Warunek ruchu jednostajnego. Gdy kropla opada ruchem jednostajnym prostoliniowym, z I zasady dynamiki siła wypadkowa jest zerowa, czyli siła oporu równoważy siłę grawitacji: $F_{o} = F_{g} .$

Krok 2. Zapisanie wzorów na obie siły. Siła oporu: $F_{o} = k ρ_{p} S v_{E}^{2}$ . Siła grawitacji: $F_{g} = m g$ , gdzie $m$ to masa kropli. $k ρ_{p} S v_{E}^{2} = m g .$

Krok 3. Wyrażenie $S$ i $m$ przez promień $R$ . Pole przekroju kropli (kuli) to pole koła o promieniu $R$ : $S = π R^{2}$ . Masę kropli wyrazimy przez jej gęstość i objętość: $m = V_{k r o pl i} ρ_{w}$ , a objętość kuli $V_{k r o pl i} = \frac{4}{3} π R^{3}$ , więc: $m = \frac{4}{3} π R^{3} ρ_{w} .$

Krok 4. Podstawienie do równania równowagi sił. $k ρ_{p} π R^{2} v_{E}^{2} = \frac{4}{3} π R^{3} ρ_{w} g .$ Skracamy $π R^{2}$ z obu stron: $k ρ_{p} v_{E}^{2} = \frac{4}{3} R ρ_{w} g .$

Krok 5. Wyznaczenie $v_{E}$ . $v_{E}^{2} = \frac{4 ρ _{w} R g}{3 k ρ _{p}} \Rightarrow v_{E} = \frac{4 ρ _{w} R g}{3 k ρ _{p}} .$

Odpowiedź: $v_{E} = \frac{4 ρ _{w} R g}{3 k ρ _{p}}$ .

Zadanie 2.1

2 pkt

Ruch obrotowy i bryła sztywnawarunki równowagimoment siły

Cienka jednorodna belka o masie $m_{b}$ została podparta w punkcie $P$ , pokrywającym się z punktem $S$ środka masy belki (tzn. początkowo $P = S$ ). W tej sytuacji belka pozostawała w równowadze, w pozycji poziomej.

Następnie na przeciwległych końcach tej belki zawieszono na cienkich nitkach dwa ciała o różnych masach $m_{1}$ i $m_{2}$ , takich, że $m_{1} > m_{2}$ . W tej sytuacji belka się przechyliła.

W kolejnym kroku doświadczenia przesunięto podporę belki wraz z punktem podparcia belki w taki sposób, że belka została zrównoważona i utrzymywała się nieruchomo w pozycji poziomej. Odległość punktu $P$ podparcia belki od punktu $S$ środka masy belki – w sytuacji po zrównoważeniu belki – oznaczymy jako $x$ , czyli: $x = ∣ S P ∣$

Ustal i zapisz, w którą stronę – bliżej masy $m_{1}$ czy masy $m_{2}$ – należy przesunąć podporę wraz z punktem $P$ podparcia belki, aby można było zrównoważyć belkę w pozycji poziomej.

Uzasadnij swoje stwierdzenie. W uzasadnieniu powołaj się na warunek statyki bryły sztywnej.

Belka podparta w punkcie P z ciałami o masach m1 i m2 zawieszonymi na końcach, belka przechylona w stronę m1

Rozwiązanie

Krok 1. Warunek równowagi bryły sztywnej. Belka pozostaje w równowadze, gdy suma momentów sił względem punktu podparcia $P$ jest równa zeru — moment obracający belkę w jedną stronę musi równoważyć moment obracający w drugą stronę.

Krok 2. Sytuacja wyjściowa. Gdy podpora znajduje się w środku masy belki ( $P = S$ ), ramiona ciężarów $m_{1}$ i $m_{2}$ względem $P$ są sobie równe (obie masy wisą na końcach belki, w tej samej odległości od środka). Skoro $m_{1} > m_{2}$ , moment siły ciężkości od $m_{1}$ jest większy niż od $m_{2}$ , więc belka przechyla się w stronę $m_{1}$ .

Krok 3. Kierunek przesunięcia podpory. Aby zrównoważyć belkę, moment od $m_{1}$ (silniejszy, bo większa masa) musi działać na krótszym ramieniu, a moment od $m_{2}$ (słabszy) na dłuższym ramieniu — tak, aby iloczyny siły i ramienia (momenty) się wyrównały. Oznacza to, że podporę należy przesunąć bliżej masy $m_{1}$ .

Odpowiedź: podporę wraz z punktem $P$ należy przesunąć bliżej masy $m_{1}$ , ponieważ z warunku równowagi momentów sił (bryły sztywnej) większa siła ciężkości ( $m_{1} g$ ) wymaga krótszego ramienia względem punktu podparcia niż mniejsza siła ciężkości ( $m_{2} g$ ).

Zadanie 2.2

3 pkt

Ruch obrotowy i bryła sztywnawarunki równowagimoment siły

Masy ciał zawieszonych na końcach belki wynoszą odpowiednio: $m_{1} = 2, 00 kg$ , $m_{2} = 1, 50 kg$ .

Masa belki jest równa $m_{b} = 0, 20 kg$ .

Długość belki jest równa $d = 42, 0 cm$ .

Oblicz $x$ – odległość punktu $P$ podparcia belki od punktu $S$ środka masy belki, w sytuacji po zrównoważeniu belki. Wynik zapisz zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenia ramion. Niech $P$ będzie przesunięty o $x$ w stronę $m_{1}$ względem środka $S$ . Ramię ciężaru belki (działającego w $S$ ) względem $P$ wynosi $x$ . Ramię ciężaru $m_{2}$ (koniec belki dalszy od $m_{1}$ ) wynosi $(\frac{d}{2} + x)$ , a ramię ciężaru $m_{1}$ (koniec bliższy) wynosi $(\frac{d}{2} - x)$ .

Krok 2. Warunek równowagi momentów względem $P$ . Moment od $m_{1}$ (bliżej, krótsze ramię) równoważy sumę momentów od $m_{2}$ i od ciężaru belki: $(\frac{d}{2} - x) m_{1} g = x m_{b} g + (\frac{d}{2} + x) m_{2} g .$

Krok 3. Rozwiązanie równania względem $x$ . Dzielimy przez $g$ i porządkujemy: $\frac{d}{2} m_{1} - x m_{1} = x m_{b} + \frac{d}{2} m_{2} + x m_{2},$ $\frac{d}{2} (m_{1} - m_{2}) = x (m_{1} + m_{b} + m_{2}),$ $x = \frac{d ( m _{1} - m _{2} )}{2 ( m _{1} + m _{b} + m _{2} )} .$

Krok 4. Podstawienie danych. $x = \frac{42 , 0 cm \cdot ( 2 , 00 kg - 1 , 50 kg )}{2 \cdot ( 2 , 00 kg + 0 , 20 kg + 1 , 50 kg )} = \frac{42 , 0 cm \cdot 0 , 50 kg}{2 \cdot 3 , 70 kg} = \frac{21 , 0 cm \cdot kg}{7 , 40 kg} \approx 2, 84 cm .$

Odpowiedź: $x \approx 2, 8 cm$ .

Fizyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 3.1

2 pkt

Drgania i fale mechaniczneruch harmonicznyanaliza wykresu

Ciężarek o masie $m = 100, 0 g$ jest zawieszony na sprężynie i wykonuje drgania harmoniczne w kierunku pionowym, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Przyjmujemy, że ciężarek drga wzdłuż osi $y$ skierowanej pionowo w górę. Na wykresie przedstawiono zależność współrzędnej prędkości $v_{y}$ ciężarka od czasu $t$ . Dodatnia wartość współrzędnej prędkości $v_{y}$ oznacza, że zwrot wektora prędkości ciężarka jest w górę, a ujemna wartość – że zwrot wektora prędkości jest w dół. Prędkość ciężarka określamy w układzie odniesienia związanym z ziemią.

Przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

na ciężarek działają tylko siła sprężystości $F_{s}$ sprężyny i siła grawitacji $F_{g}$
wartość siły sprężystości, z jaką sprężyna działa na ciężarek, jest wprost proporcjonalna do wydłużenia sprężyny ponad jej długość swobodną (gdy jest nierozciągnięta)
układ odniesienia związany z ziemią traktujemy jako układ inercjalny
pomijamy opory ruchu
pomijamy masę sprężyny
przyśpieszenie grawitacyjne ziemskie ma wartość $g = 9, 81 m/ s^{2}$ .

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
W chwili $t = 0, 2 s$ siły działające na ciężarek się równoważą.
Energia kinetyczna ciężarka w chwili $t = 0, 1 s$ jest równa energii kinetycznej ciężarka w chwili $t = 0, 3 s$ .
Wartość przyśpieszenia ciężarka w chwili $t = 0, 4 s$ jest większa od wartości przyśpieszenia ciężarka w chwili $t = 0, 5 s$ .

Wykres zależności współrzędnej prędkości vy ciężarka na sprężynie od czasu t — funkcja sinusoidalna z amplitudą 0,6 m/s i okresem 0,4 s

Rozwiązanie

Z wykresu odczytujemy okres drgań $T = 0, 4 s$ , amplitudę prędkości $v_{ma x} = 0, 6 m/s$ , a prędkość $v_{y} = 0$ (punkty zwrotne, maksymalne wychylenie) w chwilach $t = 0, 2 s$ , $t = 0, 4 s$ , $t = 0, 6 s$ , natomiast prędkość maksymalną (co do wartości) w chwilach $t = 0, 1 s$ , $t = 0, 3 s$ , $t = 0, 5 s$ — to punkty równowagi.

Stwierdzenie 1. W chwili $t = 0, 2 s$ prędkość jest zerowa, czyli ciężarek znajduje się w położeniu maksymalnego wychylenia (skrajnym), a nie w położeniu równowagi. W skrajnym położeniu siła sprężystości jest ekstremalna i nie równoważy siły grawitacji (bo tam działa maksymalna siła wypadkowa, przywracająca ciężarek do środka). Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. W chwilach $t = 0, 1 s$ i $t = 0, 3 s$ z wykresu odczytujemy $∣ v_{y} ∣ = 0, 6 m/s$ w obu przypadkach (te chwile są symetryczne względem $t = 0, 2 s$ ). Energia kinetyczna $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ zależy tylko od wartości prędkości, więc jest taka sama w obu chwilach. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 3. W chwili $t = 0, 4 s$ prędkość jest zerowa (skrajne wychylenie) — tam przyśpieszenie jest maksymalne. W chwili $t = 0, 5 s$ prędkość jest maksymalna (położenie równowagi) — tam przyśpieszenie jest zerowe. Zatem przyśpieszenie w $t = 0, 4 s$ jest większe od przyśpieszenia w $t = 0, 5 s$ . Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P, P.

Zadanie 3.2

2 pkt

Drgania i fale mechaniczneruch harmoniczny

Siły działające na ciężarek się równoważą, gdy ciężarek znajduje się w punkcie o współrzędnej $y = 0$ , natomiast najwyższe i najniższe położenia ciężarka znajdują się – odpowiednio – w punktach o współrzędnych: $y = A$ oraz $y = - A$ . W pewnej chwili ruchu drgającego ciężarek znalazł się w punkcie $P$ (leżącym w najniższym położeniu, $y = - A$ ).

Narysuj i podpisz siłę sprężystości $F_{s}$ i siłę grawitacji $F_{g}$ działające na ciężarek w punkcie $P$ . Zachowaj relację (większy, równy, mniejszy) między wartościami tych sił i zapisz tę relację – wpisz odpowiedni znak wybrany spośród: $>$ , $=$ , $<$ .

$F_{s} \dots\dots F_{g}$

Oś y z zaznaczonymi punktami A, 0, -A oraz punktem P w najniższym położeniu ciężarka, przygotowana do narysowania sił Fs i Fg

Rozwiązanie

Krok 1. Położenie $P$ . Punkt $P$ to najniższe położenie ciężarka ( $y = - A$ ), czyli miejsce, w którym sprężyna jest najbardziej rozciągnięta.

Krok 2. Kierunki sił. Siła grawitacji $F_{g}$ jest zawsze skierowana pionowo w dół. Siła sprężystości $F_{s}$ (przy rozciągniętej sprężynie) jest skierowana w stronę położenia swobodnego sprężyny, czyli pionowo w górę.

Krok 3. Relacja wartości sił. W najniższym położeniu ciężarek zaraz zacznie przyśpieszać w górę (wraca do położenia równowagi), więc siła wypadkowa musi być skierowana w górę. Skoro $F_{g}$ działa w dół a $F_{s}$ w górę, aby wypadkowa była w górę, musi być $F_{s} > F_{g}$ .

Odpowiedź: w punkcie $P$ wektor $F_{s}$ jest skierowany w górę, wektor $F_{g}$ w dół, przy czym $F_{s} > F_{g}$ .

Zadanie 3.3

4 pkt

Drgania i fale mechaniczneruch harmoniczny

Oblicz wartość siły sprężystości działającej na ciężarek w chwili, gdy znajduje się on w najniższym położeniu podczas ruchu drgającego. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Siła wypadkowa w najniższym położeniu. W najniższym położeniu siła sprężystości ma największą wartość i jest większa od ciężaru ciężarka, więc siła wypadkowa wynosi: $F_{w y p ma x} = F_{s ma x} - F_{g} .$

Krok 2. II zasada dynamiki. Z II zasady dynamiki dla ruchu drgającego w tym położeniu: $m a_{ma x} = F_{s ma x} - m g .$

Krok 3. Związek między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością maksymalną. W ruchu harmonicznym $a_{ma x} = ω v_{ma x}$ , gdzie $ω = \frac{2 π}{T}$ . Z wykresu w zadaniu 3.1. odczytujemy $v_{ma x} = 0, 6 m/s$ oraz $T = 0, 4 s$ . Zatem: $F_{s ma x} = m (\frac{2 π}{T} v_{ma x} + g) .$

Krok 4. Podstawienie danych. $F_{s ma x} = 0, 1000 kg \cdot (\frac{2 π \cdot 0 , 6 m/s}{0 , 4 s} + 9, 81 m/ s^{2}) = 0, 1000 kg \cdot (9, 42 + 9, 81) m/ s^{2} \approx 1, 92 N .$

Odpowiedź: $F_{s ma x} \approx 1, 92 N$ .

Zadanie 4.1

2 pkt

Drgania i fale mechaniczneefekt Dopplera

Ambulans z włączoną syreną dźwiękową jedzie wzdłuż prostego odcinka drogi. Przez pewien czas porusza się wzdłuż prostej pomiędzy obserwatorami $B$ oraz $A$ , którzy stoją przy drodze. Prędkość ambulansu oznaczymy jako $v$ .

Do obserwatora $A$ , do którego zbliża się ambulans, dociera dźwięk o długości fali $λ_{A}$ . Do obserwatora $B$ , od którego oddala się ambulans, dociera dźwięk o długości fali $λ_{B}$ .

Przyjmij model zjawiska, w którym częstotliwość dźwięku wytwarzanego przez głośnik syreny ambulansu (źródło dźwięku) była stała i wynosiła $f_{0}$ (tzn. membrana głośnika syreny drgała z częstotliwością $f_{0}$ ). Pomiń inne źródła dźwięku.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
Obserwator $B$ słyszy dźwięk syreny o częstotliwości mniejszej od $f_{0}$ .
Gdy ambulans oddala się od obserwatora $B$ i jednocześnie hamuje, to $B$ słyszy dźwięk o rosnącej częstotliwości.
Gdy ambulans oddala się od obserwatora $B$ i jednocześnie przyśpiesza, to $B$ słyszy dźwięk o malejącej częstotliwości.

Ambulans jadący z prędkością v pomiędzy obserwatorami B (z lewej) i A (z prawej), stojącymi przy drodze

Rozwiązanie

Stwierdzenie 1. Ambulans oddala się od obserwatora $B$ , więc – zgodnie z efektem Dopplera dla oddalającego się źródła – $B$ słyszy dźwięk o częstotliwości mniejszej od częstotliwości źródła $f_{0}$ . Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Gdy ambulans oddala się i jednocześnie hamuje (zmniejsza swoją prędkość), efekt Dopplera słabnie — usłyszana częstotliwość (niższa od $f_{0}$ ) zbliża się do $f_{0}$ , czyli rośnie. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 3. Gdy ambulans oddala się i jednocześnie przyśpiesza, efekt Dopplera się wzmacnia — usłyszana częstotliwość coraz bardziej odbiega od $f_{0}$ w dół, czyli maleje. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: P, P, P.

Zadanie 4.2

4 pkt

Drgania i fale mechaniczneefekt Dopplera

Przez pewien czas ambulans poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym pomiędzy obserwatorami $B$ oraz $A$ . Wtedy iloraz długości fal dźwięku rejestrowanego przez tych obserwatorów wynosił: $\frac{λ _{B}}{λ _{A}} = 1, 2$ Prędkość dźwięku w powietrzu ma wartość $v_{d} = 340 m/s$ .

Oblicz $v$ – wartość prędkości ambulansu. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Wzory Dopplera na częstotliwości. Częstotliwość rejestrowana przez zbliżającego się obserwatora $A$ i oddalającego się obserwatora $B$ : $f_{A} = f_{0} \cdot \frac{v _{d}}{v _{d} - v}, f_{B} = f_{0} \cdot \frac{v _{d}}{v _{d} + v} .$ Stąd iloraz częstotliwości: $\frac{f _{A}}{f _{B}} = \frac{v _{d} + v}{v _{d} - v} .$

Krok 2. Związek falowy między częstotliwością a długością fali. Prędkość dźwięku w ośrodku nie zależy od ruchu źródła, zatem $v_{d} = f_{A} λ_{A} = f_{B} λ_{B}$ , więc: $\frac{f _{A}}{f _{B}} = \frac{λ _{B}}{λ _{A}} .$

Krok 3. Wykorzystanie warunku zadania. Podstawiamy dany iloraz długości fal: $\frac{λ _{B}}{λ _{A}} = 1, 2 = \frac{v _{d} + v}{v _{d} - v} .$

Krok 4. Rozwiązanie względem $v$ . $1, 2 (v_{d} - v) = v_{d} + v \Rightarrow 1, 2 v_{d} - 1, 2 v = v_{d} + v \Rightarrow 0, 2 v_{d} = 2, 2 v \Rightarrow v = \frac{v _{d}}{11} .$

Krok 5. Podstawienie danych. $v = \frac{340 m/s}{11} \approx 30, 9 m/s \approx 31 m/s .$

Odpowiedź: $v \approx 31 m/s$ .

Fizyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 5.1

2 pkt

Grawitacja i astronomiaprawo powszechnego ciążenia

Ziemia i Księżyc poruszają się dookoła punktu $S$ – ich wspólnego środka masy – po orbitach eliptycznych, które są zbliżone do orbit kołowych.

Przyjmij następujące warunki zadania i oznaczenia:

środek Ziemi oznaczymy jako punkt $Z$ , środek Księżyca oznaczymy jako punkt $K$ , a odcinek łączący środek Ziemi ze środkiem Księżyca oznaczymy jako $Z K$
odległość $∣ Z K ∣$ pomiędzy środkiem Ziemi a środkiem Księżyca się zmienia
stosunek masy Ziemi do masy Księżyca wynosi $\frac{M _{Z}}{M _{K}} \approx 81, 28$
Ziemia i Księżyc są kulami, każda ze sferycznie symetrycznym rozkładem masy.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
Wartość siły grawitacji, którą Księżyc działa na Ziemię, jest równa wartości siły grawitacji, którą Ziemia działa na Księżyc.
Punkt $S$ dzieli odcinek $Z K$ w następującym stosunku: $\dfrac{	ZS	}{
Wartość siły oddziaływania grawitacyjnego Ziemi na Księżyc jest stała w czasie.

Rozwiązanie

Stwierdzenie 1. Z III zasady dynamiki Newtona (zasady akcji i reakcji) siły, jakimi oddziałują na siebie dwa ciała, mają równe wartości i przeciwne zwroty — niezależnie od różnicy mas. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Punkt $S$ (środek masy układu) dzieli odcinek $Z K$ w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do mas: bliżej masywniejszego ciała (Ziemi). Zachodzi zależność $∣ Z S ∣ \cdot M_{Z} = ∣ S K ∣ \cdot M_{K}$ , czyli $\frac{∣ Z S ∣}{∣ S K ∣} = \frac{M _{K}}{M _{Z}} \approx \frac{1}{81 , 28}$ . Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 3. Wartość siły grawitacji zależy od odległości między ciałami: $F_{g} = \frac{G M _{Z} M _{K}}{∣ Z K ∣ ^{2}}$ . Skoro odległość $∣ Z K ∣$ się zmienia (orbity są eliptyczne, nie idealnie kołowe), to i wartość tej siły się zmienia — nie jest stała w czasie. Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: P, P, F.

Zadanie 5.2

3 pkt

Grawitacja i astronomiaprawo powszechnego ciążeniapole grawitacyjne

Na odcinku $Z K$ – łączącym środek Ziemi ze środkiem Księżyca – znajduje się taki punkt $P$ , w którym wartość wypadkowej siły grawitacji pochodzącej od Ziemi i od Księżyca, działającej na punkt materialny znajdujący się w punkcie $P$ , jest równa zero.

Oblicz odległość punktu $P$ od środka Ziemi, gdy odległość między środkiem Ziemi a środkiem Księżyca wynosi $∣ Z K ∣ = 384400 km$ . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenia. Niech $x = ∣ P Z ∣$ będzie szukaną odległością punktu $P$ od środka Ziemi, a $y = ∣ P K ∣ = ∣ Z K ∣ - x$ odległością od środka Księżyca.

Krok 2. Warunek zerowej siły wypadkowej. W punkcie $P$ siła grawitacji od Ziemi równoważy siłę grawitacji od Księżyca (mają one przeciwne kierunki, bo Ziemia i Księżyc są po przeciwnych stronach punktu $P$ ): $\frac{G M _{Z} m}{x ^{2}} = \frac{G M _{K} m}{y ^{2}} \Rightarrow \frac{M _{Z}}{x ^{2}} = \frac{M _{K}}{y ^{2}} .$

Krok 3. Wykorzystanie danego stosunku mas. Podstawiamy $M_{Z} = 81, 28 M_{K}$ oraz $y = ∣ Z K ∣ - x$ : $\frac{81 , 28}{x ^{2}} = \frac{1}{( ∣ Z K ∣ - x ) ^{2}} \Rightarrow \frac{x}{∣ Z K ∣ - x} = 81, 28 \approx 9, 0155.$

Krok 4. Rozwiązanie względem $x$ . $x \approx 9, 0155 (∣ Z K ∣ - x) \Rightarrow x (1 + 9, 0155) \approx 9, 0155 \cdot ∣ Z K ∣ \Rightarrow x \approx \frac{9 , 0155}{10 , 0155} \cdot ∣ Z K ∣.$

Krok 5. Podstawienie danych. $x \approx \frac{9 , 0155}{10 , 0155} \cdot 384400 km \approx 346000 km .$

Odpowiedź: $∣ P Z ∣ \approx 346000 km$ .

Zadanie 6

3 pkt

Elektrostatykaprawo Coulombapole elektryczne

Trzy punktowe, ujemne ładunki elektryczne: $Q_{1}$ , $Q_{2}$ i $Q_{3}$ umieszczono nieruchomo w próżni w wierzchołkach kwadratu. Długość boku tego kwadratu jest równa $a$ . Wartości ładunków $Q_{1}$ , $Q_{2}$ i $Q_{3}$ wyrażają się poprzez pewną wartość $q$ następująco: $Q_{1} = - 2 q, Q_{2} = - q, Q_{3} = - 2 q, gdzie q > 0.$ Punkt przecięcia przekątnych kwadratu oznaczymy jako $S$ ( $Q_{1}$ i $Q_{2}$ leżą w dolnych wierzchołkach kwadratu, $Q_{3}$ w górnym prawym wierzchołku, naprzeciw brakującego wierzchołka).

Narysuj i podpisz $E_{S}$ – wektor wypadkowego natężenia pola elektrycznego w punkcie $S$ . Zachowaj odpowiedni kierunek i zwrot tego wektora.

Zapisz wzór pozwalający wyznaczyć $E_{S}$ – wartość tego wektora – w zależności tylko od $a$ , od $q$ oraz od odpowiedniej stałej fizycznej.

Kwadrat o boku a z ładunkami Q1=-2q, Q2=-q, Q3=-2q w trzech wierzchołkach i punktem S w przecięciu przekątnych

Rozwiązanie

Krok 1. Wkłady od ładunków $Q_{1}$ i $Q_{3}$ . Ładunki $Q_{1} = - 2 q$ i $Q_{3} = - 2 q$ są równe i leżą w wierzchołkach kwadratu położonych po przekątnej względem siebie, w tej samej odległości $\frac{a 2}{2}$ od środka $S$ . Wektory natężenia pola od tych dwóch (równych, ujemnych) ładunków są skierowane do nich (bo pole ładunku ujemnego jest skierowane do ładunku) i mają jednakowe wartości oraz przeciwne kierunki wzdłuż tej samej przekątnej — dlatego znoszą się: $E_{1 S} + E_{3 S} = 0$ .

Krok 2. Wypadkowe pole pochodzi tylko od $Q_{2}$ . Zatem: $E_{S} = E_{1 S} + E_{2 S} + E_{3 S} = E_{2 S} .$ Ładunek $Q_{2} = - q$ jest ujemny, więc wektor $E_{S}$ jest skierowany od punktu $S$ w stronę ładunku $Q_{2}$ (wzdłuż przekątnej $S - Q_{2}$ ).

Krok 3. Odległość od $Q_{2}$ do $S$ . Punkt $S$ jest środkiem kwadratu, więc jego odległość od każdego wierzchołka wynosi połowę przekątnej: $d = \frac{a 2}{2} .$

Krok 4. Wartość natężenia. $E_{S} = E_{2 S} = \frac{k ∣ Q _{2} ∣}{d ^{2}} = \frac{k q}{( \frac{a 2}{2} ) ^{2}} = \frac{k q}{\frac{a ^{2}}{2}} = \frac{2 k q}{a ^{2}} .$

Odpowiedź: wektor $E_{S}$ leży na przekątnej kwadratu i jest skierowany od $S$ w stronę ładunku $Q_{2}$ ; jego wartość wynosi $E_{S} = \frac{2 k q}{a ^{2}}$ (równoważnie $E_{S} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \cdot \frac{2 q}{a ^{2}}$ ).

Zadanie 7.1

2 pkt

Prąd elektryczny stałyprawa Kirchhoffałączenie oporników

Do źródła stałego napięcia $U$ podłączono trzy identyczne oporniki: $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ , oraz amperomierz A – zgodnie ze schematem obwodu elektrycznego (rysunek 1.): oporniki $R_{1}$ i $R_{2}$ są połączone szeregowo (gałąź górna), a ta gałąź jest połączona równolegle z opornikiem $R_{3}$ (gałąź dolna); amperomierz A mierzy całkowity prąd płynący od źródła. Opór każdego opornika jest stały i równy $R$ : $R_{1} = R_{2} = R_{3} = R .$

W pewnym momencie opornik $R_{1}$ uległ uszkodzeniu, a obwód w tym miejscu został przerwany (rysunek 2.).

Napięcie $U$ zasilające obwód jest takie samo w obu opisanych powyżej sytuacjach. Opór wewnętrzny amperomierza A i źródła napięcia oraz opór przewodów pomijamy.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W obwodzie elektrycznym zilustrowanym na rysunku 1. (tzn. w sytuacji początkowej):

Stwierdzenie	P	F
Natężenie prądu płynącego przez opornik $R_{1}$ jest równe natężeniu prądu płynącego przez amperomierz A.
Napięcie elektryczne na oporniku $R_{1}$ jest równe napięciu elektrycznemu na oporniku $R_{2}$ .
Natężenie prądu płynącego przez opornik $R_{1}$ jest mniejsze od natężenia prądu płynącego przez opornik $R_{3}$ .

Rysunek 1. i Rysunek 2. — schemat obwodu z opornikami R1, R2, R3 i amperomierzem A, przed i po uszkodzeniu opornika R1

Rozwiązanie

Stwierdzenie 1. Amperomierz A mierzy całkowity prąd płynący od źródła, czyli sumę prądów obu gałęzi (górnej $R_{1}$ – $R_{2}$ i dolnej $R_{3}$ ): $I_{A 1} = I_{g \overset{o}{ˊ} r n y} + I_{d o l n y}$ . Prąd przez $R_{1}$ to tylko $I_{g \overset{o}{ˊ} r n y}$ , który jest mniejszy od całości. Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. Oporniki $R_{1}$ i $R_{2}$ są połączone szeregowo w tej samej gałęzi, więc płynie przez nie ten sam prąd. Skoro mają też ten sam opór $R$ , z prawa Ohma $U = I R$ napięcia na nich są sobie równe. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 3. Gałąź górna ( $R_{1} + R_{2} = 2 R$ ) ma dwa razy większy opór niż gałąź dolna ( $R_{3} = R$ ), a napięcie na obu gałęziach (równolegle) jest takie samo. Zatem prąd w gałęzi górnej (przez $R_{1}$ ) jest dwa razy mniejszy niż w gałęzi dolnej (przez $R_{3}$ ). Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P, P.

Zadanie 7.2

1 pkt

Prąd elektryczny stałypraca i moc prądu

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Moc cieplna wydzielana na oporniku $R_{3}$ po przerwaniu obwodu (rysunek 2.), w porównaniu do mocy cieplnej wydzielanej na oporniku $R_{3}$ w sytuacji początkowej (rysunek 1.), była

Odpowiedź		Uzasadnienie: ponieważ napięcie między zaciskami X oraz Y
A.	większa,	1.	się nie zmieniło.
B.	mniejsza,	2.	wzrosło.
C.	taka sama,	3.	zmalało.

Rozwiązanie

Krok 1. Napięcie między zaciskami X i Y. Opornik $R_{3}$ jest zawsze podłączony bezpośrednio między zaciski $X$ i $Y$ – niezależnie od tego, czy gałąź górna ( $R_{1}$ , $R_{2}$ ) działa, czy jest przerwana. Napięcie zasilające $U$ jest przyłożone do całego układu między $X$ i $Y$ (poprzez idealny amperomierz i źródło bez oporu wewnętrznego), więc napięcie na zaciskach $X$ – $Y$ jest równe $U$ w obu sytuacjach i się nie zmienia.

Krok 2. Moc na $R_{3}$ . Moc cieplna wydzielana na $R_{3}$ wynosi $P = \frac{U _{X Y}^{2}}{R _{3}}$ . Skoro $U_{X Y}$ i $R_{3}$ są takie same w obu sytuacjach, moc na $R_{3}$ jest taka sama.

Odpowiedź: C1 — moc cieplna na $R_{3}$ była taka sama, ponieważ napięcie między zaciskami X oraz Y się nie zmieniło.

Fizyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 7.3

3 pkt

Prąd elektryczny stałyprawa Kirchhoffałączenie oporników

Natężenie prądu, jakie wskazuje amperomierz A przed przerwaniem obwodu (rysunek 1.), oznaczymy jako $I_{A 1}$ . Natężenie prądu, jakie wskazuje amperomierz A po przerwaniu obwodu (rysunek 2.), oznaczymy jako $I_{A 2}$ .

Oblicz iloraz $\frac{I _{A 2}}{I _{A 1}}$ . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Sytuacja 1. (przed uszkodzeniem). Opór gałęzi górnej ( $R_{1} + R_{2}$ ) wynosi $2 R$ , opór gałęzi dolnej ( $R_{3}$ ) wynosi $R$ . Opór zastępczy tych dwóch gałęzi połączonych równolegle: $\frac{1}{R _{Z 1}} = \frac{1}{2 R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{2 R} \Rightarrow R_{Z 1} = \frac{2 R}{3} .$ Całkowity prąd płynący od źródła (wskazanie amperomierza): $I_{A 1} = \frac{U}{R _{Z 1}} = \frac{3 U}{2 R} .$

Krok 2. Sytuacja 2. (po uszkodzeniu $R_{1}$ ). Gałąź górna jest przerwana, więc cały prąd płynie tylko przez $R_{3} = R$ : $I_{A 2} = \frac{U}{R} .$

Krok 3. Iloraz natężeń. $\frac{I _{A 2}}{I _{A 1}} = \frac{\frac{U}{R}}{\frac{3 U}{2 R}} = \frac{U}{R} \cdot \frac{2 R}{3 U} = \frac{2}{3} .$

Odpowiedź: $\frac{I _{A 2}}{I _{A 1}} = \frac{2}{3}$ .

Zadanie 8.1

1 pkt

Termodynamikaprzemiany gazoweI zasada termodynamiki

Na wykresie przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ w cyklu przemian termodynamicznych ustalonej masy gazu doskonałego. Te przemiany gazu zachodzą podczas pracy pewnego silnika cieplnego S. Gaz oddaje ciepło do chłodnicy, a pobiera ciepło z grzejnika.

Stany gazu, w których zmienia się rodzaj przemiany termodynamicznej, oznaczono symbolami: G1, G2, G3, G4. Wielkości $p_{1}$ i $V_{1}$ są – odpowiednio – ciśnieniem i objętością gazu w stanie G1 (cykl: G1 $\to$ G2 izochorycznie od $p_{1}$ do $2 p_{1}$ przy $V_{1}$ ; G2 $\to$ G3 izobarycznie od $V_{1}$ do $3 V_{1}$ przy $2 p_{1}$ ; G3 $\to$ G4 izochorycznie od $2 p_{1}$ do $p_{1}$ przy $3 V_{1}$ ; G4 $\to$ G1 izobarycznie od $3 V_{1}$ do $V_{1}$ przy $p_{1}$ ). Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_{V} = \frac{3}{2} R$ , gdzie $R$ jest stałą gazową.

W cyklu pracy silnika S gaz oddaje do chłodnicy ciepło równe (co do wartości bezwzględnej): $∣ Q_{o dd} ∣ = 9, 5 \cdot p_{1} V_{1}$

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Ciepło pobrane z grzejnika przez gaz w cyklu pracy silnika S jest równe

Wykres cyklu przemian gazu doskonałego w układzie p-V — prostokąt G1-G2-G3-G4 pomiędzy V1, 3V1 i p1, 2p1

A.
$∣ Q_{p o b} ∣ = 13, 5 \cdot p_{1} V_{1}$
B.
$∣ Q_{p o b} ∣ = 11, 5 \cdot p_{1} V_{1}$
C.
$∣ Q_{p o b} ∣ = 7, 5 \cdot p_{1} V_{1}$
D.
$∣ Q_{p o b} ∣ = 5, 5 \cdot p_{1} V_{1}$

Rozwiązanie

Krok 1. Praca netto gazu w cyklu. Cykl na wykresie $p (V)$ jest prostokątem o bokach $Δ V = 3 V_{1} - V_{1} = 2 V_{1}$ i $Δ p = 2 p_{1} - p_{1} = p_{1}$ . Analiza kierunku strzałek (G1 $\to$ G2 w górę, G2 $\to$ G3 w prawo, G3 $\to$ G4 w dół, G4 $\to$ G1 w lewo) pokazuje, że cykl jest przebiegany zgodnie z ruchem wskazówek zegara — to cykl silnikowy, w którym gaz wykonuje pracę netto dodatnią, równą polu prostokąta: $W_{n e tt o} = Δ V \cdot Δ p = 2 V_{1} \cdot p_{1} = 2 p_{1} V_{1} .$

Krok 2. I zasada termodynamiki dla całego cyklu. Po pełnym cyklu gaz wraca do stanu początkowego, więc zmiana energii wewnętrznej w cyklu jest zerowa: $Δ U_{cy k l} = 0$ . Z I zasady termodynamiki: $Q_{n e tt o} = Δ U_{cy k l} + W_{n e tt o} = W_{n e tt o} = 2 p_{1} V_{1} .$ Ciepło netto to różnica ciepła pobranego i oddanego: $Q_{n e tt o} = ∣ Q_{p o b} ∣ - ∣ Q_{o dd} ∣.$

Krok 3. Wyznaczenie $∣ Q_{p o b} ∣$ . $∣ Q_{p o b} ∣ = Q_{n e tt o} + ∣ Q_{o dd} ∣ = 2 p_{1} V_{1} + 9, 5 p_{1} V_{1} = 11, 5 p_{1} V_{1} .$

Odpowiedź: B. $∣ Q_{p o b} ∣ = 11, 5 \cdot p_{1} V_{1}$ .

Zadanie 8.2

3 pkt

Termodynamikaprzemiany gazoweI zasada termodynamiki

Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć $∣Δ U_{41} ∣$ – wartość bezwzględną zmiany energii wewnętrznej gazu w przemianie G4 $\to$ G1 – tylko za pomocą wielkości: $p_{1}$ i $V_{1}$ . Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać tego wzoru.

(Przypomnienie: stan G1 ma parametry $(V_{1}, p_{1})$ , stan G4 ma parametry $(3 V_{1}, p_{1})$ ; ciepło molowe przy stałej objętości $C_{V} = \frac{3}{2} R$ .)

Rozwiązanie

Krok 1. Energia wewnętrzna gazu doskonałego. Dla gazu doskonałego z $C_{V} = \frac{3}{2} R$ energia wewnętrzna $n$ moli w temperaturze $T$ wynosi $U = n C_{V} T = \frac{3}{2} n R T$ . Z równania stanu gazu $n R T = p V$ , więc: $U = \frac{3}{2} p V .$

Krok 2. Zmiana energii wewnętrznej w przemianie G4 $\to$ G1. $Δ U_{41} = U_{1} - U_{4} = \frac{3}{2} p_{1} V_{1} - \frac{3}{2} p_{4} V_{4} .$

Krok 3. Podstawienie parametrów stanów. Stan G1: $(V_{1}, p_{1})$ . Stan G4: $(3 V_{1}, p_{1})$ (przemiana G4 $\to$ G1 jest izobaryczna, przy ciśnieniu $p_{1}$ ). Zatem: $Δ U_{41} = \frac{3}{2} p_{1} V_{1} - \frac{3}{2} p_{1} \cdot 3 V_{1} = \frac{3}{2} p_{1} V_{1} - \frac{9}{2} p_{1} V_{1} = - 3 p_{1} V_{1} .$

Krok 4. Wartość bezwzględna. $∣Δ U_{41} ∣ = 3 p_{1} V_{1} .$

Odpowiedź: $∣Δ U_{41} ∣ = 3 p_{1} V_{1}$ .

Zadanie 9

2 pkt

Termodynamikatemperaturagaz doskonały

Dwa zbiorniki o jednakowych objętościach napełniono gazami jednoatomowymi: argonem i helem. W pierwszym zbiorniku znajduje się 1 mol argonu, a w drugim zbiorniku znajduje się 1 mol helu. Temperatury obu gazów są jednakowe. Przyjmij, że gazy te są gazami doskonałymi.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Stwierdzenie	P	F
Średnia energia kinetyczna atomów argonu jest równa średniej energii kinetycznej atomów helu.
Średnia wartość prędkości atomów argonu jest równa średniej wartości prędkości atomów helu.
Ciśnienie argonu w pierwszym zbiorniku jest równe ciśnieniu helu w drugim zbiorniku.

Rozwiązanie

Stwierdzenie 1. Średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu doskonałego zależy tylko od temperatury: $\overset{ˉ}{E}_{k} = \frac{3}{2} k_{B} T$ , a nie od rodzaju gazu (masy atomu). Skoro temperatury obu gazów są równe, średnie energie kinetyczne atomów argonu i helu są równe. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Ze wzoru $\overset{ˉ}{E}_{k} = \frac{1}{2} m \overline{v^{2}}$ wynika, że przy tej samej energii kinetycznej średnia prędkość zależy od masy atomu: $v \propto \frac{1}{m}$ . Atomy helu są lżejsze od atomów argonu, więc mają większą średnią prędkość — prędkości nie są równe. Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 3. Z równania Clapeyrona $p V = n R T$ : oba zbiorniki mają tę samą objętość $V$ , tę samą liczbę moli ( $n = 1$ ) i tę samą temperaturę $T$ , więc ciśnienia $p = \frac{n R T}{V}$ są sobie równe, niezależnie od rodzaju gazu. Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: P, F, P.

Zadanie 10.1

2 pkt

Optyka geometrycznasoczewki

Układ dwóch soczewek umieszczonych na wspólnej osi optycznej można wykorzystać do zmiany szerokości (średnicy) wiązki światła, biegnącej równolegle do osi optycznej układu.

Na rysunku 1. przedstawiono bieg wiązki światła przechodzącej przez układ soczewek. Układ składa się z dwóch soczewek skupiających S1 i S2 o ogniskowych odpowiednio $f_{1} = 15 cm$ i $f_{2} = 40 cm$ . Soczewki są tak ustawione, że prawe ognisko soczewki S1 i lewe ognisko soczewki S2 znajdują się w tym samym punkcie $F$ na osi optycznej $O$ .

Szerokość wiązki światła, która pada na soczewkę S1, jest równa $d_{1} = 2, 25 mm$ .

Uwaga: wymiary na rysunku 1. są umowne (rysunek jest poglądowy).

Oblicz $d_{2}$ – szerokość wiązki światła, która wychodzi z soczewki S2. Zapisz obliczenia.

Rysunek 1. — wiązka światła o szerokości d1 przechodząca przez soczewkę skupiającą S1, skupiająca się w punkcie F i rozbiegająca do soczewki S2, z której wychodzi wiązka o szerokości d2

Rozwiązanie

Krok 1. Podobieństwo trójkątów. Wiązka padająca na S1 (szerokość $d_{1}$ ) skupia się w punkcie $F$ , a następnie rozbiega się do soczewki S2 (szerokość $d_{2}$ ). Trójkąt utworzony przez promienie między S1 i $F$ oraz trójkąt między $F$ i S2 są podobne (mają wspólny wierzchołek w $F$ i równoległe podstawy $d_{1}$ , $d_{2}$ ), a ich wysokości to odpowiednio ogniskowe $f_{1}$ (odległość S1– $F$ ) i $f_{2}$ (odległość $F$ –S2). Z podobieństwa trójkątów: $\frac{d _{1}}{f _{1}} = \frac{d _{2}}{f _{2}} .$

Krok 2. Wyznaczenie $d_{2}$ . $d_{2} = d_{1} \cdot \frac{f _{2}}{f _{1}} .$

Krok 3. Podstawienie danych. $d_{2} = 2, 25 mm \cdot \frac{40 cm}{15 cm} = 2, 25 mm \cdot \frac{8}{3} = 6 mm .$

Odpowiedź: $d_{2} = 6 mm$ .

Fizyka

Poziom rozszerzony

799 zł

Szczegóły

Zadanie 10.2

2 pkt

Optyka geometrycznasoczewki

Zwiększenie szerokości wiązki światła można uzyskać, jeżeli wykorzysta się układ optyczny złożony z jednej soczewki rozpraszającej R i jednej soczewki skupiającej S.

Na rysunku 2. przedstawiono tylko soczewkę rozpraszającą R o ogniskowej $f_{R} = - 15 cm$ oraz oś optyczną $O$ takiego układu soczewek. Przedstawiono także fragment wiązki światła, biegnącej równolegle do osi optycznej układu i padającej na soczewkę R.

Druga soczewka S w tym układzie jest skupiająca i ma ogniskową $f_{S} = 40 cm$ . Ta soczewka została umieszczona w takim miejscu na osi optycznej, że wiązka światła, która wychodzi z układu soczewek (przez soczewkę S), jest równoległa do osi optycznej i poszerzona.

Odległość między znacznikami na osi optycznej układu jest równa $5 cm$ .

Narysuj soczewkę skupiającą S w takim miejscu, aby wiązka światła, która wychodzi z tej soczewki S, była równoległa do osi optycznej i poszerzona. Następnie dorysuj dalszy (tzn. od soczewki R do S oraz po przejściu przez S) bieg promieni P1 i P2, które ograniczają wiązkę światła.

Rysunek 2. — soczewka rozpraszająca R na osi optycznej O, z fragmentem wiązki światła (promienie P1, P2) padającej równolegle na R, przygotowany do dorysowania soczewki S

Rozwiązanie

Krok 1. Bieg promieni po przejściu przez soczewkę rozpraszającą R. Promienie równoległe do osi optycznej, padające na soczewkę rozpraszającą R, po załamaniu rozbiegają się tak, jakby wychodziły z pozornego (wirtualnego) ogniska przedmiotowego, leżącego przed soczewką R (po stronie, z której padało światło), w odległości $∣ f_{R} ∣ = 15 cm$ od R.

Krok 2. Warunek na wyjściu równoległej, poszerzonej wiązki z soczewki S. Aby po przejściu przez soczewkę skupiającą S wiązka wyszła równolegle do osi optycznej, punkt, z którego (pozornie) rozbiegają się promienie wpadające na S, musi leżeć w przedniej ogniskowej S, czyli w odległości $f_{S} = 40 cm$ od soczewki S.

Krok 3. Wyznaczenie położenia soczewki S. Punkt, z którego rozbiegają się promienie (wirtualne ognisko soczewki R) leży $15 cm$ przed soczewką R. Odległość tego punktu od soczewki S musi wynosić $40 cm$ , zatem odległość między soczewkami R i S wynosi: $d_{R S} = f_{S} - ∣ f_{R} ∣ = 40 cm - 15 cm = 25 cm,$ czyli soczewkę S należy umieścić $25 cm$ (pięć znaczników po $5 cm$ ) za soczewką R.

Krok 4. Bieg promieni P1, P2. Od R do S promienie P1 i P2 należy narysować jako rozbiegające się (tak, jakby wychodziły z wirtualnego ogniska R, $15 cm$ przed R). Po przejściu przez S promienie muszą stać się równoległe do osi optycznej, przy czym rozstaw między nimi (szerokość wiązki) jest większy niż szerokość wiązki padającej na R.

Odpowiedź: soczewkę skupiającą S należy umieścić w odległości $25 cm$ od soczewki R (za nią); promienie P1 i P2 rysujemy jako rozbiegające się między R i S (z wirtualnego ogniska R), a za S — jako równoległe do osi optycznej i szerzej rozstawione niż przed R.

Zadanie 11

3 pkt

Elektrostatykanapięcie

Elektron został rozpędzony w jednorodnym polu elektrycznym (w próżni) od punktu $A$ do punktu $B$ . Wartość prędkości elektronu w punkcie $A$ była równa zero, a wartość prędkości elektronu w punkcie $B$ była równa $v = 2, 000 \cdot 1 0^{4} m/s$ .

Przyjmij do obliczeń, że:

masa elektronu jest równa (w zaokrągleniu): $m_{e} \approx 9, 109 \cdot 1 0^{- 31} kg$
wartość bezwzględna ładunku elektrycznego elektronu wynosi: $∣ e ∣ \approx 1, 602 \cdot 1 0^{- 19} C$ .

Oblicz napięcie elektryczne $U_{A B}$ między punktami $A$ oraz $B$ . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Twierdzenie o pracy i energii kinetycznej. Praca siły pola elektrycznego działającej na elektron jest równa zmianie jego energii kinetycznej. Elektron startuje z prędkością zerową w punkcie $A$ , więc: $∣ e ∣ U_{A B} = E_{k B} - E_{k A} = E_{k B} - 0.$

Krok 2. Energia kinetyczna w punkcie $B$ . $E_{k B} = \frac{1}{2} m_{e} v^{2} .$

Krok 3. Połączenie wzorów i wyznaczenie napięcia. $∣ e ∣ U_{A B} = \frac{1}{2} m_{e} v^{2} \Rightarrow U_{A B} = \frac{m _{e} v ^{2}}{2∣ e ∣} .$

Krok 4. Podstawienie danych. $U_{A B} = \frac{9 , 109 \cdot 1 0 ^{- 31} kg \cdot ( 2 , 000 \cdot 1 0 ^{4} m/s ) ^{2}}{2 \cdot 1 , 602 \cdot 1 0 ^{- 19} C} = \frac{9 , 109 \cdot 1 0 ^{- 31} \cdot 4 , 000 \cdot 1 0 ^{8}}{3 , 204 \cdot 1 0 ^{- 19}} V \approx 1, 137 \cdot 1 0^{- 3} V .$

Odpowiedź: $U_{A B} \approx 1, 14 mV$ .

Zadanie 12.1

1 pkt

Fizyka jądrowarozpady promieniotwórczeczas połowicznego rozpadu

Izotop fluoru $_{9}^{18} F$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany $β^{+}$ . Podczas rozpadu jądra tego izotopu fluoru powstają: cząstka $β^{+}$ , jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako X, oraz tzw. neutrino elektronowe $ν$ . Neutrino ma zerowy ładunek elektryczny, a jego masę możemy pominąć.

Masy jąder i cząstek uczestniczących w opisanym rozpadzie $β^{+}$ , wyrażone w jednostkach atomowych, mają następujące wartości:

$m_{F} = 17, 99600 u$ – masa jądra fluoru $_{9}^{18} F$
$m_{X} = 17, 99477 u$ – masa powstałego jądra
$m_{β} = 0, 00055 u$ – masa cząstki $β^{+}$
$m_{ν} = 0, 00000 u$ – masę neutrina pomijamy.

Próbka z izotopem $_{9}^{18} F$ jest badana przez licznik promieniowania, który pokazuje całkowitą liczbę rozpadów $β^{+}$ jąder tego izotopu fluoru po upływie danego czasu (od rozpoczęcia pomiaru). Liczbę jąder izotopu fluoru $_{9}^{18} F$ , znajdujących się w próbce w chwili początkowej, oznaczymy jako $N_{0}$ . Łączną liczbę jąder, które uległy temu rozpadowi po upływie czasu $t$ od chwili początkowej $t_{0} = 0 min$ , oznaczymy jako $N_{r}$ .

Na wykresie przedstawiono zależność ilorazu $\frac{N _{r}}{N _{0}}$ od czasu $t$ .

Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowane miejsce.

Czas połowicznego rozpadu jądra fluoru $_{9}^{18} F$ wynosi $\dots\dots$ minut.

Wykres zależności ilorazu Nr/N0 (liczby rozpadłych jąder fluoru do liczby początkowej) od czasu t w minutach — krzywa nasycająca się do 1

Rozwiązanie

Krok 1. Związek między $N_{r} / N_{0}$ a czasem połowicznego rozpadu. Liczba jąder, które nie rozpadły się po czasie $t$ , wynosi $N (t) = N_{0} - N_{r} (t)$ , a zgodnie z prawem rozpadu promieniotwórczego $N (t) = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}}$ . Zatem: $\frac{N _{r}}{N _{0}} = 1 - (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}} .$ Czas połowicznego rozpadu $T_{1/2}$ to taka chwila $t$ , dla której połowa jąder uległa rozpadowi, czyli $\frac{N _{r}}{N _{0}} = 0, 5$ .

Krok 2. Odczyt z wykresu. Na wykresie krzywa $\frac{N _{r}}{N _{0}} (t)$ przyjmuje wartość $0, 5$ w chwili $t \approx 110 min$ .

Odpowiedź: czas połowicznego rozpadu jądra fluoru $_{9}^{18} F$ wynosi $110$ minut.

Zadanie 12.2

2 pkt

Fizyka jądrowareakcje jądrowerozpady promieniotwórcze

Poniżej przedstawiono schemat rozpadu $β^{+}$ jądra fluoru $_{9}^{18} F$ (w schemacie rozpadu pominięto cząstkę neutrino): $_{9}^{18} F ⟶_{?}^{?} X +_{1}^{0} β$ gdzie X oznacza jądro pierwiastka $\dots\dots$

Uzupełnij powyższy schemat tak, aby powstało równanie rozpadu $β^{+}$ . Wpisz właściwe liczby: atomową i masową powstałego jądra, a także symbol (lub nazwę) pierwiastka, którego jądro powstaje w tym rozpadzie.

Rozwiązanie

Krok 1. Zasada zachowania liczby nukleonów (liczby masowej). W rozpadzie $β^{+}$ liczba masowa się nie zmienia (neutron i proton mają w przybliżeniu tę samą masę, a przemiana $β^{+}$ to zamiana protonu w neutron z emisją $β^{+}$ i neutrina). Jądro fluoru ma liczbę masową $18$ , więc powstałe jądro X również ma liczbę masową $18$ .

Krok 2. Zasada zachowania ładunku (liczby atomowej). Cząstka $β^{+}$ ma ładunek $+ 1$ (w jednostkach ładunku elementarnego). Fluor ma liczbę atomową $9$ . Z zachowania ładunku: $9 = Z_{X} + 1$ , więc $Z_{X} = 8$ . Liczba atomowa $8$ odpowiada pierwiastkowi tlenowi (O).

Krok 3. Zapisanie pełnego równania rozpadu. $_{9}^{18} F ⟶_{8}^{18} O +_{1}^{0} β (+ ν) .$

Odpowiedź: powstaje jądro $_{8}^{18} O$ — jądro tlenu.

Zadanie 12.3

3 pkt

Fizyka jądrowaenergia wiązaniadeficyt masy

Masy jąder i cząstek uczestniczących w opisanym rozpadzie $β^{+}$ podano we wstępie do zadania 12.

Przyjmij, że jądro fluoru $_{9}^{18} F$ przed rozpadem $β^{+}$ spoczywało, oraz wykorzystaj związek: $1 u \cdot c^{2} \approx 931, 5 MeV$ ( $c$ to wartość prędkości światła w próżni).

Oblicz łączną energię kinetyczną produktów rozpadu $β^{+}$ jądra fluoru $_{9}^{18} F$ . Wynik podaj w MeV, zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

Rozwiązanie

Krok 1. Zasada zachowania energii dla rozpadu. Energia całkowita (spoczynkowa + kinetyczna) przed rozpadem jest równa energii całkowitej po rozpadzie. Jądro fluoru przed rozpadem spoczywało ( $E_{k in F} = 0$ ), a masę neutrina pomijamy ( $E_{0 ν} \approx 0$ ): $m_{F} c^{2} = m_{X} c^{2} + m_{β} c^{2} + E_{k in},$ gdzie $E_{k in}$ to łączna energia kinetyczna wszystkich produktów (jądra X, cząstki $β^{+}$ i neutrina).

Krok 2. Wyznaczenie $E_{k in}$ z deficytu masy. $E_{k in} = (m_{F} - m_{X} - m_{β}) \cdot c^{2} .$

Krok 3. Podstawienie danych (w jednostkach atomowych). $m_{F} - m_{X} - m_{β} = 17, 99600 u - 17, 99477 u - 0, 00055 u = 0, 00068 u .$

Krok 4. Przeliczenie na MeV. $E_{k in} = 0, 00068 u \cdot c^{2} = 0, 00068 \cdot 931, 5 MeV \approx 0, 6334 MeV .$

Odpowiedź: łączna energia kinetyczna produktów rozpadu $E_{k in} \approx 0, 63 MeV$ .

Przeczytaj także

Zobacz wszystkie

Fizyka PR — Maj 2026

Arkusz maturalny z fizyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2026 (CKE, Formuła 2023), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Fizyka PR — Maj 2025

Arkusz maturalny z fizyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2025 (CKE, Formuła 2023), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Fizyka PR — Maj 2024

Arkusz maturalny z fizyki, poziom rozszerzony, sesja Maj 2024 (CKE, Formuła 2023), z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.